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Ecuación indeterminada




Ecuación indeterminada, en matemáticas, nombre dado a una ecuación carente de un conjunto único de soluciones, por lo que no se puede resolver de forma única. Una ecuación indeterminada puede tener un número infinito de soluciones. Estas ecuaciones sólo tienen solución si se añaden restricciones adicionales al problema; una restricción puede ser que las soluciones deben ser números enteros.
Un ejemplo sencillo de este tipo de problemas es el siguiente: ¿cuántas monedas de cinco y veinticinco unidades se necesitan para tener cincuenta unidades? Algebraicamente, este problema se reduce a resolver la ecuación 5x + 25y = 50. Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones si se admiten soluciones fraccionarias, pero el enunciado del problema prohibe estas soluciones, pues un tercio de moneda de 5, por ejemplo, no tiene sentido. Con esta restricción, está claro que hay tres y sólo tres soluciones: diez monedas de 5 y ninguna de 25, cinco de 5 y una de 25, y ninguna de 5 y dos de 25. Algunos de estos problemas no tienen solución, por ejemplo: ¿cuántas monedas de 5 y 25 se necesitan para tener 37 unidades?
En problemas más complejos, la solución o soluciones no son tan fáciles de encontrar, por lo que ha sido necesario desarrollar un álgebra extensa para encontrar estas soluciones. El más simple de estos problemas puede expresarse en forma de una ecuación algebraica lineal con dos incógnitas (como la ecuación mostrada en el párrafo anterior), que se resuelve utilizando el método descubierto por los matemáticos griegos Diofante y Euclides. Las soluciones, si existen, se encuentran calculando el máximo común divisor de los coeficientes de la x y de la y en la ecuación. En la ecuación anterior, los coeficientes eran 5 y 25, con lo que su máximo común divisor es 5. Si el máximo común divisor es un submúltiplo del segundo miembro de la ecuación (50 es divisible por 5), la ecuación tiene una o más soluciones enteras.
Para más información y ejemplos sencillos, véase Análisis diofántico. Muchos de los grandes matemáticos, como el alemán Carl Friedrich Gauss dedicaron bastante tiempo a la búsqueda de soluciones enteras para ecuaciones indeterminadas complejas.

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