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Programación linealProgramación lineal




Programación lineal, técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones (véase Álgebra; Función; Matemáticas). El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente en operaciones industriales y militares.
La programación lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma polinómica dada (véase Binomio). En el siguiente ejemplo se muestra un tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30 dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente para maximizar los beneficios?
Sean x e y los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y no pueden ser números negativos,

Los datos de corte, ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:


En un gráfico, estas desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.
El problema radica en hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).
Para satisfacer las cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura 1.

El beneficio será máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y, donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior, es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1 y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.

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