Demostración matemática

Demostración matemática

Demostración matemática: figuras 1 y 2

Estos diagramas se pueden utilizar para demostrar el teorema de Pitágoras, que dice que si un triángulo rectángulo tiene catetos A y B e hipotenusa C, entonces A2 + B2 = C2. Las figuras 1 y 2 contienen ambas cuatro triángulos rectángulos con catetos A y B e hipotenusa C. Dado que ambas figuras tienen la misma área, si se eliminan los cuatro triángulos de la figura 1, el área restante debe ser igual a la que queda si se eliminan de la figura 2. En la figura 1, el área restante es A2 + B2, y en la figura 2, es C2. Por tanto, A2 + B2 = C2, lo que demuestra el teorema de Pitágoras.

Demostración matemática, argumento utilizado para mostrar la veracidad de una proposición matemática. En las matemáticas modernas una demostración comienza con una o más declaraciones denominadas premisas, y prueba, utilizando las reglas de la lógica, que si las premisas son verdaderas, entonces una determinada conclusión debe ser también cierta.

Los métodos y estrategias utilizados para construir un argumento matemático convincente han evolucionado desde los tiempos antiguos y todavía siguen cambiando. Esto se puede comprobar con el teorema de Pitágoras, que recibe su nombre del matemático y filósofo griego del siglo V a.C. Pitágoras, y que establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. La mayor parte de las civilizaciones antiguas consideraron que este teorema era cierto pues coincidía con sus observaciones experimentales. Sin embargo, los griegos, entre otros, comprobaron que la simple observación o la opinión común no garantizan la verdad matemática. Así, antes del siglo V a.C. se aceptaba que todas las longitudes se podían expresar como el cociente de dos números enteros, pero un anónimo matemático griego demostró que esto no era posible con la longitud de la diagonal de un cuadrado de área unidad.

Un ejemplo de demostración matemática es el siguiente razonamiento que prueba que el teorema de Pitágoras es cierto. Las figuras 1 y 2 muestran que la relación A²+ B² = C² se cumple para cualquier triángulo rectángulo con catetos A y B e hipotenusa C. La figura 1 muestra cómo un cuadrado de lado A + B se puede dividir en cuatro triángulos rectángulos, un cuadrado de lado A y un cuadrado de lado B. La figura 2 muestra que el mismo cuadrado de lado A + B se puede también dividir en cuatro triángulos rectángulos más un cuadrado de lado C. Como los dos cuadrados de lado A + B deben tener igual área, seguirán teniendo la misma superficie si se eliminan los cuatro triángulos rectángulos en ambos. El área total restante en el lado izquierdo es A² +  B², y el área del cuadrado que queda en el lado derecho es C². Por tanto, A² + B² = C².

El matemático griego Euclides estableció algunas de las consideraciones fundamentales de las demostraciones matemáticas modernas. En su libro Elementos, escrito hacia el año 300 a.C., se encuentran bastantes demostraciones en los campos de la geometría y del álgebra. El libro ilustra el sistema griego de escribir demostraciones matemáticas empezando por identificar claramente los supuestos iniciales y a partir de éstos razonar de una manera lógica hasta obtener la conclusión deseada. Además, en este tipo de argumentos Euclides utilizaba resultados de otras demostraciones cuya certeza era conocida, llamados teoremas, y proposiciones aceptadas explícitamente por ser evidentes, llamadas axiomas. Este sistema aún se utiliza hoy.

En el siglo XX se han escrito demostraciones tan complejas que una sola persona no es capaz de entender todos y cada uno de los razonamientos utilizados. En el año 1976 se utilizó un ordenador o computadora para completar la demostración del teorema de los cuatro colores. Este teorema dice que cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa cumpliendo que dos regiones con una línea fronteriza común tienen distintos colores. El uso de un ordenador en esta demostración produjo discusiones considerables en la comunidad matemática. El principal problema es saber si el teorema se puede considerar demostrado sin que ningún ser humano compruebe todos los pasos y detalles de la demostración.