Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales

Definimos los vectores a partir de traslaciones. Ya sabemos que las traslaciones se pueden definir usando paralelogramos. Por tanto, vectores y paralelogramos están relacionados. Pero, ¿cómo es esa relación?

I. Paralelogramos e igualdades vectoriales
1. Caracterizar un paralelogramo usando una igualdad vectorial
Si ABDC es un paralelogramo, entonces la traslación que transforma A en B también transforma C en D.
Además sabemos que si la traslación que transforma A en B también transforma C en D, entonces

.
Estas dos propiedades nos permiten enunciar lo siguiente: si ABDC es un paralelogramo, entonces

Recíprocamente, si

, entonces ABDC es un paralelogramo.
Nota: el orden de los puntos C y D no es el mismo en el nombre del paralelogramo, ABDC, que en la igualdad vectorial,

.
Caso especial: el paralelogramo ABDC se puede “aplanar”, lo que sucede cuando los puntos A, B, C y D están alineados.

En resumen:

significa que ABDC es un paralelogramo (posiblemente aplanado).
2. Igualdades vectoriales obtenidas a partir de un paralelogramo
Sea un paralelogramo ABDC. A partir de él obtenemos la igualdad vectorial

Pero este paralelogramo también podríamos nombrarlo así: ACDB, de donde obtendríamos la igualdad vectorial

Si llamamos a este paralelogramo BACD, obtenemos la igualdad vectorial

Si llamamos a este paralelogramo CABD, obtenemos la igualdad vectorial

En resumen: un paralelogramo nos permite escribir cuatro igualdades vectoriales.
Consideremos las igualdades

. Los vectores

tienen el mismo módulo y la misma dirección, aunque no el mismo sentido. Los llamamos vectores opuestos.
Cada igualdad de dos vectores nos permite escribir la igualdad de los vectores opuestos.
II. Igualdad vectorial y punto medio
En el apartado anterior hemos visto que si

, entonces ABDC es un paralelogramo. Y sabemos que si un cuadrilátero ABDC es un paralelogramo, entonces sus diagonales AD y BC tienen el mismo punto medio. A partir de aquí podemos deducir la siguiente propiedad: si