Simetrías y traslaciones

Simetrías y traslaciones

Al estudiar las figuras geométricas es frecuente encontrarnos con que “una figura es simétrica de otra” o que “una figura se ha obtenido por traslación de otra”.

Vamos a estudiar en qué consisten las simetrías y las traslaciones, apoyándonos en una cuadrícula, que nos va a facilitar su comprensión.

Una cuadrícula también nos va a permitir hallar el área de figuras dibujadas sobre ella, siempre que su trazo englobe cuadros enteros o partes de cuadros con las que sumemos cuadros completos.

SIMETRÍAS

Una figura es simétrica de otra con respecto a una línea, que llamamos eje de simetría, si cumple que:

1.                 las dos figuras son idénticas, pero una mira hacia un lado y la otra hacia el lado contrario (tienen diferente orientación);

2.                 el segmento que une cada punto de la figura con su punto simétrico es perpendicular al eje de simetría;

3.                 la distancia de cualquier punto al eje de simetría es igual que la de su simétrico a dicho eje.

Observa que los dos muñecos tienen la misma forma y tamaño, pero uno mira hacia la derecha y el otro hacia la izquierda:

Además, la línea que une los dos ojos es perpendicular al eje, y la distancia que hay entre cada uno de ellos y el eje es la misma.

Aunque habitualmente cuando dibujamos una figura simétrica a otra elegimos un eje vertical, podemos obtener figuras simétricas respecto a un eje en cualquier otra dirección.

¿No te recuerda el eje de simetría a la superficie de un espejo en el que ves reflejada tu propia imagen?

TRASLACIONES

Trasladar una figura es desplazar todos sus puntos una misma distancia, de manera que la figura resultante tiene la misma forma y orientación que la figura original, lo único que cambia es su posición. Veámoslo con el siguiente ejemplo:

El pez rojo lo hemos obtenido trasladando el azul 5 cuadros hacia abajo.

El pez verde lo hemos obtenido trasladando el azul 10 cuadros hacia la derecha.

El pez naranja lo hemos obtenido trasladando el azul 12 cuadros hacia la derecha y 6 cuadros hacia abajo.

Todos tienen la misma forma, tamaño y orientación (los cuatro miran hacia la derecha).

ÁREAS DE FIGURAS SOBRE CUADRÍCULA

Para medir la superficie de una figura plana, dibujamos una cuadrícula que la contenga. Si cada cuadrado de la cuadrícula equivale a una unidad de superficie, calculando el número de cuadrados que quedan comprendidos dentro de la figura, tendremos una medida de su área.

El área de una figura es la medida de su superficie.

Veamos un ejemplo: 

La superficie de la cruz de color rojo ocupa 4 cuadrados (o lo que es lo mismo, la cruz tiene un área de 4 cuadrados). Para medir los del dibujo del barco azul, ten en cuenta que tiene medios cuadrados coloreados; si los sumamos obtenemos un área de 3 cuadrados.

La flecha verde ocupa 6 cuadrados en total. Fíjate que, en este caso, el lado izquierdo de la punta de flecha junto con el lado derecho suman 2 cuadrados (pues la línea de uno cualquiera de los lados es la diagonal del rectángulo formado por dos cuadrados, y lo divide en dos partes iguales).

En figuras con líneas curvas, tenemos que fijarnos en si algunas de las superficies limitadas por esas líneas y los cuadrados se complementan entre sí. Por ejemplo, en la figura de la izquierda cada trozo coloreado de rojo unido a un trozo de color verde suma un cuadrado. Su área es, por tanto, de 6 cuadrados:

En la figura central, cada trozo verde sumado a cada trozo rojo son 4 cuadrados. Por tanto, esta figura tiene un área de 12 cuadrados. En la de la derecha, cada trozo rojo sumado a un trozo verde da 2 cuadrados; su área es, por tanto, de 8 cuadrados.