La Parábola

Parábola (matemáticas)

Parábola (matemáticas), una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e bajo el mismo ángulo α.

La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:

• Eje, e.
• Vértice, V.
• Distancia de F a d, p.

La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1.

Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.

Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.

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EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA PARÁBOLA

Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es: y² = 2px

Las curvas de ecuación y = ax² + bx + c también son parábolas. Su eje es paralelo al eje Y, y su vértice se encuentra en el punto de abscisa -b/2a.

Mamografía

Mamografía

Mamografía

La mamografía es una técnica especial de rayos X que se utiliza para visualizar los tejidos blandos de la mama como un medio de detección del cáncer de mama en la mujer. Esta mamografía muestra calcificaciones (manchas de baja densidad) en una neoplasia. El pezón está a la izquierda. La mayoría de los cánceres de mama se originan en el conducto de la glándula mamaria o glándula productora de leche. El resto procede del propio tejido glandular. La mayoría de los tumores demuestran una conducta invasiva (maligna) precoz, aunque también existen formas no invasivas.

Mamografía, imagen radiográfica de la mama que ayuda al médico a detectar y valorar la presencia de anomalías en esta glándula. La mamografía se realiza de forma habitual en mujeres que carecen de síntomas de cáncer de mama. Esta técnica permite descubrir el cáncer en fases muy tempranas, cuando el tratamiento es más eficaz. La mamografía puede detectar anomalías de la mama de dimensiones tan reducidas como 0,5 cm, un tamaño demasiado pequeño para que una mujer o su médico sean capaces de percibir un bulto.

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REALIZACIÓN DE UNA MAMOGRAFÍA

Mujer realizándose una mamografía

Los médicos utilizan las imágenes de la mama obtenidas con rayos X, llamadas mamografías, para detectar tumores y otras irregularidades en la mama antes de que lleguen a formar un bulto. Las mamografías permiten detectar tumores en los estados tempranos, antes de que se diseminen por otras partes del cuerpo. La Sociedad Americana del Cáncer recomienda que las mujeres mayores de 40 años se hagan una mamografía anual.

Las mamografías suelen ser realizadas por técnicos en radiología, mientras que es un médico (radiólogo) quien interpreta la imagen. El procedimiento consiste en una compresión de la mama entre dos piezas de plástico para aumentar la cantidad de tejido mamario que se expone a los rayos X. Los técnicos suelen obtener estas radiografías desde dos ángulos diferentes (proyecciones). La compresión de la mama entre las dos piezas de plástico puede ser algo molesta, pero no daña la mama y, de hecho, reduce la dosis necesaria de rayos X. La cantidad de radiación que se recibe durante la mamografía es muy similar a la de una radiografía dental.

La mama está formada por tejido mamario glandular y tejido graso. El tejido mamario es relativamente denso y en la imagen mamográfica se visualiza de color blanco. El tejido graso es menos denso y aparece en la imagen con una tonalidad negra o gris. Los tumores malignos tienen una densidad muy parecida a la del tejido mamario normal y en la mamografía se observan como manchas blanquecinas. A veces, se detecta un pequeño moteado sobre la imagen que corresponde a depósitos de calcio de tamaño muy pequeño. Por lo general, estos depósitos son inofensivos, aunque en ocasiones son un signo temprano de cáncer. Una imagen anormal en una mamografía también puede corresponder a una diversidad de patologías benignas, como un quiste (un saco lleno de líquido) o un fibroadenoma (tumor benigno).

En general, se suele detectar alguna anomalía en un 5 a un 10% de todas las mamografías realizadas. En las mujeres en las que se observa alguna alteración deben realizarse otras pruebas diagnósticas que permitan diferenciar un proceso benigno de un cáncer. El médico puede recomendar la realización de otra mamografía que proporcione una imagen ampliada o una proyección más definida del área sospechosa. Para diferenciar un quiste líquido de una masa sólida (que puede ser benigna o cancerosa), se suele realizar una ecografía de la mama. Esta técnica emplea ondas sonoras de alta frecuencia (véase Ultrasonido) para diferenciar los distintos tipos de tejidos y es muy útil para el análisis de estructuras llenas de líquido. En algunos casos, es necesario realizar una aspiración con aguja fina o una biopsia de la zona sospechosa de la mama. Para la aspiración, se utiliza una aguja fina y larga con la que se extraen líquido y células del bulto de la mama. En la biopsia se emplea un bisturí para extirpar parte o todo el tejido anómalo. Después, se analizan al microscopio las células o el tejido extirpado con el fin de determinar la presencia o no de células cancerosas.

Las mamografías se realizan en lugares diversos, como las consultas de los médicos, los departamentos de radiología de los hospitales o las unidades móviles acondicionadas para ello.

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PRECISIÓN DE LA MAMOGRAFÍA

Aunque la mayoría de los científicos están de acuerdo en que las mamografías son útiles para detectar el cáncer de mama, el procedimiento no es infalible. Las mamografías no descubren siempre la presencia de un cáncer. Los científicos calculan que con esta técnica pasan desapercibidos un 25% de los casos de cáncer de mama en mujeres entre los 40 y 49 años y cerca de un 10% en mujeres más mayores. Por otra parte, una mamografía anormal no indica necesariamente la presencia de un cáncer de mama. De hecho, sólo cerca de un 3% de las mujeres entre 40 y 49 años de edad y un 12% de las mujeres entre 50 y 69 años que presentan un resultado anormal en la mamografía tienen un cáncer de mama. En el resto de los casos, la imagen anómala se identifica después como tejido benigno o normal.

Algunos expertos han mostrado su preocupación respecto a la imprecisión de la mamografía y al perjuicio potencial que un resultado erróneo puede originar. Una mamografía normal en una mujer que tiene cáncer de mama puede tranquilizarla falsamente, de modo que disminuya la vigilancia sobre el cáncer de mama. Una imagen mamográfica anormal en una mujer que no padece cáncer de mama la hace someterse a una biopsia quirúrgica u otras pruebas diagnósticas innecesarias. Además, un resultado anormal en una mamografía provoca en la mujer un nivel de ansiedad muy importante que se mantiene incluso después de saber que no tiene cáncer de mama.

Varios estudios han demostrado que la realización de mamografías de forma regular disminuye el número de muertes por cáncer de mama en las mujeres entre 50 y 69 años, si éstas reciben tratamiento adecuado una vez diagnosticado el cáncer. Sin embargo, los estudios relativos a la eficacia de las mamografías en la prevención de las muertes por cáncer de mama en mujeres jóvenes entre los 40 y 49 años no están tan claros.

Hipérbola

Hipérbola

Hipérbola, una de las cónicas. Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo β menor que α.

La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F′, llamados focos, y un número positivo k,

la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, P, tales que la diferencia de distancias a los focos es igual a k:

 |d₁ – d₂| = k.

La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, r y r′, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:

• Centro, O.
• Vértices, A y A′.
• Distancia entre los vértices,

• Distancia entre los focos,

El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que b² = c² – a²

La excentricidad de una hipérbola es e = c/a.

Puesto que c > a se verifica que e > 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un número mayor que 1.

Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.

Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar.

Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado en las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y aviones determinar su posición, sobre una carta marina.

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EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA HIPÉRBOLA

Si situamos el eje X en la línea de los focos de una hipérbola y el eje Y en la mediatriz del segmento FF′, entonces la ecuación de la hipérbola adopta la expresión siguiente, llamada ecuación reducida de una hipérbola:

Las asíntotas tienen las ecuaciones

Si a = b, la hipérbola es equilátera. Su ecuación es: x² – y² = a²

y sus asíntotas son las rectas y = x, y = -x.

También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y = a/x. Sus asíntotas son los ejes coordenados.