Coordenadas de puntos en el plano

Coordenadas de puntos en el plano

¿Has oído hablar alguna vez de “un sistema de coordenadas”? Vamos a aprender aquí a interpretar y representar puntos en un sistema de coordenadas, pero antes hemos de saber representar un punto sobre un eje…

REPRESENTACIÓN DE PUNTOS SOBRE UN EJE

Un eje es una línea recta, horizontal o vertical, sobre la que señalamos un punto de referencia, llamado origen, y sobre el que representamos los números enteros:

·                     Si el eje es horizontal, hacia la derecha se representan los enteros positivos, y hacia la izquierda los enteros negativos.

·                     Si el eje es vertical, hacia arriba se representan los enteros positivos, y hacia abajo los enteros negativos.

Por ejemplo, si representamos los puntos A(3), B(-2), C(5), D(-3), E(-1) y F(1), tendremos que contar desde el origen, el cero, tantas unidades hacia la derecha (si el número es positivo) o hacia la izquierda (si el número es negativo) como indique el valor sin signo (a ese valor se le llama valor absoluto) del número que queremos representar:

SISTEMA DE COORDENADAS

Un sistema de coordenadas está formado por dos ejes perpendiculares, que se cortan en un punto O, que se llama origen de coordenadas. Sobre cada eje se señalan unas marcas o que se corresponden con los números enteros, positivos y negativos, tal y como acabamos de ver, al representar puntos sobre un eje.

Al eje horizontal se le llama eje de abscisas, y se le representa por la letra X.

Al eje vertical se le llama eje de ordenadas, y se le representa por la letra Y.

Si prolongamos los dos ejes, vemos que el plano queda dividido en cuatro regiones, llamadas cuadrantes, que se numeran así:

Un punto P del plano quedará determinado por un par de números (x, y), que son las coordenadas cartesianas del punto P.

Para facilitar la lectura de las coordenadas de cualquier punto marcado en el plano, o para representar un punto del que conocemos sus coordenadas, a veces el sistema de coordenadas aparece cuadriculado.

Veamos ahora, con algunos ejemplos, las coordenadas de puntos en cada uno de los cuadrantes, y sobre los ejes de coordenadas.

Primer cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas positivas (+, +). Por ejemplo, los puntos A(3, 1), B(2, 2) y C (4, 3) pertenecen al I cuadrante:

Segundo cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son negativa la x y positiva la y (-, +). Por ejemplo, los puntos D (-3, 1), E (-2, 2) y F (-4, 3) pertenecen al II cuadrante:

Tercer cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas negativas (-, -). Por ejemplo, los puntos G (-3, -1), H (-2, -2) e I (-4, -3) pertenecen al III cuadrante:

Cuarto cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son positiva la x y negativa la y (+, -). Por ejemplo, los puntos J (3, -1), K (2, -2) y L (4, -3) pertenecen al IV cuadrante:

Sobre los ejes de coordenadas.

En este caso, de coordenadas de puntos que están sobre los ejes de coordenadas, pueden darse dos situaciones: que el punto esté sobre el eje X o que esté sobre el eje Y.

Si está sobre el eje X, las coordenadas del punto serán (x, 0), siendo x positiva o negativa, según si está a la derecha o a la izquierda del origen. Por ejemplo, los puntos M(1, 0), N (-1, 0) y P (4, 0) están sobre el eje X:

Si el punto está sobre el eje Y, las coordenadas del punto serán (0, y), siendo y positiva o negativa, según si está por encima o por debajo del origen. Por ejemplo, los puntos Q (0, -3), R (0, 1) y S (0, -1) están sobre el eje Y:

Si quieres practicar, puedes representar los puntos siguientes (además, uniéndolos obtendrás un dibujo…): A (0, 9), B(5, 2), C(0, 2), D(-8, 2), E(0, 8), F (0, 0), G(8, 0), H(6, -3), I(-6, -3), J(-8, 0), K(0,0)

Cuerpos redondos

Cuerpos redondos

Una lata de refresco, la punta de un lapicero y un balón son cuerpos geométricos que tienen parte de su superficie, o toda ella, curva. La lata es un cilindro, la punta del lápiz es un cono y el balón una esfera. A estos tres cuerpos, cilindro, cono y esfera, se les llama cuerpos redondos.

EL CILINDRO

Las columnas de un templo clásico, un rodillo de amasar o el rulo de una apisonadora son también ejemplos de cilindros. El cilindro se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, que se mantiene fijo, como en una puerta giratoria. Los elementos del cilindro son:

·                     Las bases: son dos círculos iguales.

·                     El radio del cilindro: es el radio de las bases.

·                     El eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el lado alrededor del cual el rectángulo gira para formar el cilindro.

·                     La generatriz: es el lado del rectángulo opuesto al eje de giro.

·                     La altura del cilindro: es la longitud de la generatriz.

·                     La superficie lateral: es la cara curva del cilindro.

Si cortamos el cilindro por su superficie lateral, en vertical, y por los bordes de sus bases, y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo:

EL CONO

El cucurucho de un helado y el tejado de una choza son ejemplos de conos. El cono se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Los elementos del cono son:

·                     La base: es el círculo sobre el que se apoya.

·                     El radio del cono: es el radio de la base.

·                     El vértice: es la cúspide o pico del cono.

·                     La generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma el cono al girar o, lo que es lo mismo, cualquier segmento trazado entre el vértice del cono y un punto del contorno o circunferencia de su base.

·                     El eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo para formar el cono.

·                     La altura: es la longitud del cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo.

·                     La superficie lateral: es la cara curva del cono.

Si cortamos el cono por su superficie lateral, siguiendo la generatriz, y por el borde de su base, y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo:

LA ESFERA

Una pelota de playa, una naranja o una canica son ejemplos de esferas. La esfera se forma por el giro de un semicírculo alrededor de su diámetro. Los principales elementos de una esfera son su centro y su radio.

La esfera no tiene desarrollo como los demás cuerpos geométricos.

Al cortar una esfera de distintas maneras, con superficies planas, obtenemos distintas figuras: hemisferio, casquete esférico o zona esférica.

El hemisferio, si la cortamos por la mitad.

El casquete esférico, si cortamos la esfera con una sola superficie plana y no por el centro. En la Tierra, que es prácticamente una esfera, llamamos casquetes polares a los situados junto al polo norte y al polo sur.

La zona esférica, si la cortamos con dos superficies planas y paralelas.

LA ESFERA TERRESTRE

Como la Tierra tiene forma casi esférica (está un poco achatada por los polos), la llamamos la esfera terrestre.

Sobre ella trazamos unas líneas imaginarias, que nos permitirán precisar la posición de cualquier punto sobre ella, por ejemplo, la situación de tu pueblo o ciudad. Esas líneas son: el eje terrestre, el ecuador, los paralelos y los meridianos.

El eje de rotación o eje terrestre, en cuyos extremos se sitúan el polo norte y el polo sur.

El ecuador, que es la circunferencia máxima perpendicular al eje terrestre.

Los paralelos, circunferencias paralelas al ecuador, menores que él.

Los meridianos, semicircunferencias que unen los polos. Se llama meridiano cero al que pasa por Greenwich, que es una ciudad inglesa muy cerca de Londres.

Los poliedros

Los poliedros

Una caja de zapatos, un dado y muchos otros objetos con superficies planas que ves a tu alrededor, tienen forma poliédrica. Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos.

Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides.

LOS PRISMAS

Los prismas tienen dos caras (sus bases) que son iguales y paralelas entre sí. Sus caras laterales son paralelogramos.

Los elementos de un prisma son los siguientes:

·                     Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta.

·                     Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.

·                     Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.

·                     Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.

·                     Las diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del prisma. Se pueden trazar las diagonales de una cara o entre dos caras.

Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…

Si cortamos un prisma por una de sus aristas laterales y por las de sus bases, y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo. Si lo hacemos al revés, primero dibujamos su desarrollo y luego lo recortamos del papel, lo podremos construir uniéndolo por sus aristas.

LAS PIRÁMIDES

Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Una tienda de campaña o las pirámides de Egipto son ejemplos de este tipo de poliedros.

Los elementos de una pirámide son los siguientes:

·                     La base: es la cara en la que se apoya la pirámide.

·                     Las caras laterales: son las caras que comparten uno de sus lados con la base. La suma de sus áreas es la superficie lateral de la pirámide.

·                     Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.

·                     Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.

·                     Las apotemas: son las alturas de las caras laterales de la pirámide.

Se nombran según sea el polígono de su base: pirámide triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal...

Al cortar una pirámide por una de sus aristas laterales y por las de su base, y extenderla sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo. El desarrollo de una pirámide recta está formado por la base y por tantos triángulos como lados tenga el polígono de la base.

LOS POLIEDROS REGULARES

Decimos que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales.

En los poliedros regulares se cumple una curiosa relación:

Número de caras + número de vértices = número de aristas + 2

Si quieres comprobarla, fíjate en el número de caras, de vértices y de aristas de cada uno de los siguientes poliedros regulares:

Solo hay cinco poliedros regulares, que son: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

El tetraedro tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros.

El cubo tiene 6 caras, que son cuadrados.

El octaedro tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros.

El dodecaedro tiene 12 caras, que son pentágonos regulares.

El icosaedro tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.

La circunferencia y el círculo

La circunferencia y el círculo

El aro de una canasta de baloncesto y un anillo son circunferencias. La circunferencia es una figura curva, cerrada (no tiene un punto de principio ni de final) y plana (la dibujamos sobre una superficie plana), cuyos puntos están todos a la misma distancia de su centro. Si colocamos el anillo, por ejemplo, sobre una lámina de papel y coloreamos la zona que queda dentro de la circunferencia, esta superficie plana coloreada es un círculo.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Algunos elementos de la circunferencia son: radio, cuerda, diámetro y arco.

·                     El radio es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con su centro.

·                     Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. A la cuerda que pasa por el centro se le llama diámetro.

·                     El diámetro mide el doble que el radio, y divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.

·                     Un arco es la parte de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

La longitud de una circunferencia es igual a su diámetro multiplicado por el número p (que vale 3,14 y se lee “pi”): Longitud de la circunferencia = diámetro × p

Si quisiéramos, por ejemplo, saber lo que avanza la rueda de una bicicleta de 40 cm de diámetro cada vez que da una vuelta, hallaríamos la longitud de su circunferencia: Longitud = 40 × 3,14 = 125,6 cm

Si quieres, puedes practicar con el ejemplo siguiente.

Si en cada viaje, un tiovivo da 30 vueltas, ¿qué distancia recorrerás si te montas en un caballito que está a 2 metros de su eje o centro?

Cada vuelta recorrerás una circunferencia de 2 m de radio; por tanto, su diámetro será: diámetro = 2 × radio = 4 m

Y la longitud de la circunferencia: longitud = diámetro × 3,14 longitud = 4 × 3,14 = 12,56 m

Si en cada viaje se dan 30 vueltas, la distancia recorrida será: 30 × 12,56 = 376,8 m

POSICIONES DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Sobre una superficie plana, una recta y una circunferencia pueden estar en una de estas tres posiciones:

1. La recta exterior a la circunferencia: no tienen ningún punto en común.

2. La recta tangente a la circunferencia: tienen un punto en común.

3. La recta secante a la circunferencia: tienen dos puntos en común.

POSICIONES DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias sobre una superficie plana, pueden ocupar distintas posiciones una respecto a la otra, pudiendo ser: exteriores, interiores, concéntricas, tangentes exteriores, tangentes interiores o secantes.

1. Exteriores: no tienen ningún punto en común.

2. Interiores: no tienen ningún punto en común.

3. Concéntricas: tienen el mismo centro, pero diferentes radios.

4. Tangentes exteriores: tienen un punto en común.

5. Tangentes interiores: tienen un punto en común.

6. Secantes: tienen dos puntos en común.

EL CÍRCULO

El círculo es la figura que forman una circunferencia y su interior. No debes confundir la circunferencia, que es una línea curva, con el círculo, que es la superficie que encierra esa línea.

Un sector circular es la parte de círculo comprendida entre dos radios y el arco que abarcan.

Un semicírculo es la superficie limitada por un diámetro y la semicircunferencia: es la mitad del círculo.

Un segmento circular es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su arco.

ÁREA DEL CÍRCULO

El área de un círculo de radio R es igual a p por su radio al cuadrado: Área del círculo = p × R²

Vamos a calcular el área del círculo en los dos ejemplos siguientes.

1. Halla el área de una pizza que mide 15 cm de radio.

La pizza tiene forma circular, así que: Área de la pizza = p × R²

Como R² = 15² = 225:  Área = 3,14 × 225 = 706,5 cm²

2. Una diana de dardos tiene 40 cm de diámetro. Calcula el área que ocupa.

Como el diámetro es el doble del radio: Radio = diámetro : 2 Radio = 40 : 2 = 20 cm

Y como R² = 20² = 400: Área = 3,14 × 400 = 1.256 cm²

LA CORONA CIRCULAR

Una corona circular es la zona que queda comprendida entre dos circunferencias de diferentes radios.

Para hallar el área de una corona circular, restamos del área del círculo grande el área del círculo pequeño. Siendo R el radio del círculo grande y r el del pequeño,

El área será:  Área = p × R² – p × r²

Si quieres, puedes practicar con el siguiente ejemplo:

Una tarta redonda se ha adornado, en su parte central, de 9 cm de radio, con mermelada de fresa, y en la corona circular que queda hasta el borde, de radio 13 cm, con nata. Halla la superficie de tarta adornada con nata.

Hallamos el área de toda la tarta (del círculo grande); como R² = 13² = 169: Área = p × R² = 3,14 × 169 = 530,66 cm²

Y ahora hallamos el área de la parte central(del círculo más pequeño); como r² = 9² = 81: área = p × r² = 3,14 × 81 = 254,34 cm²

El área de la zona adornada con nata será: Área de la corona = 530,66 – 254,34 = 276,32 cm²