El Grupo en matemáticas

El Grupo en matemáticas

Grupos: figuras 1, 2 y 3

En matemáticas un grupo está formado por un conjunto de elementos, incluyendo un elemento neutro y un elemento recíproco para cada elemento, y una operación. La operación toma dos elementos cualesquiera para dar otro elemento del conjunto. La figura 1 ilustra cinco de los seis elementos que, junto con el elemento neutro e, transforman un triángulo equilátero en sí mismo: r 1 gira el triángulo 120º, r 2 lo gira 240º, y f 1, f 2 y f 3 voltean al triángulo alrededor de las rectas L 1, L 2 y L 3 respectivamente. Las figuras 2 y 3 muestran cómo al aplicar f 2 y después r 1 a un triángulo equilátero el efecto es idéntico a aplicar sólo f 1.

Operaciones de un grupo: figura 4

Esta tabla de multiplicar muestra el resultado de multiplicar cualquier pareja del grupo de seis elementos que transforman un triángulo equilátero en sí mismo. Para saber el resultado de multiplicar dos de ellos, se busca el primero en la columna de la izquierda y el segundo en la fila superior; el resultado se encuentra en la intersección de la fila y la columna correspondientes. Por ejemplo, la tabla indica que f 1 veces r 2, es decir, girar el triángulo 240° y después voltearlo alrededor del vértice superior, es igual que f 3, que es voltearlo alrededor del vértice inferior izquierdo.

Grupo (matemáticas), estructura básica del álgebra moderna, formada por un conjunto de elementos y una operación. Esta operación toma dos elementos cualesquiera del conjunto para dar otro elemento del conjunto, cumpliéndose ciertas condiciones. La teoría de los grupos es muy estudiada en matemáticas, y se utiliza en muchos campos científicos. Por ejemplo, los grupos se utilizan en química para describir la simetría de moléculas, y el grupo de Lorentz es parte central de la relatividad especial. Así mismo, la teoría de grupos desempeña un papel importante en la física atómica, en donde ha ayudado al descubrimiento de nuevas partículas elementales.

Un ejemplo de grupo es el conjunto de todos los números enteros con la operación de la adición ordinaria. La operación + (suma) toma dos números como el 3 y el 7 y da su suma: 3 + 7. La adición de números enteros cumple tres propiedades que son comunes a todos los grupos. En un grupo generalizado, la operación ∘ toma dos elementos como x e y para formar el elemento x∘y.

Veamos dichas propiedades:

(1) Asociativa: Para sumar -3, 4 y 6 se puede hacer como (-3 + 4) + 6 = 1 + 6 = 7 o como -3 + (4 + 6) = -3 + 10 = 7. En un grupo estos dos métodos distintos deben dar siempre el mismo resultado para tres elementos cualesquiera. En otras palabras, (x∘y)∘z = x∘(y∘z) para todas las x, y y z del grupo.

(2) Elemento neutro: El número 0 tiene la propiedad de que al ser sumado a otro número por la derecha o por la izquierda da como resultado el mismo número. Por ejemplo, 6 + 0 = 6 = 0 + 6. En todo grupo debe haber siempre un elemento especial, denotado por e, con la propiedad de que x∘e = x = e∘x para cualquier elemento x del grupo. Este elemento especial se denomina elemento neutro del grupo.

(3) Elemento recíproco: El número -6 se denomina recíproco o inverso del 6 pues al sumar -6 y 6 da 0, el elemento neutro. En un grupo genérico, para todo elemento x debe existir un elemento y tal que x∘y = e = y∘x.

Formalmente, un grupo es un conjunto de elementos junto con una operación (∘) que satisface las propiedades (1), (2) y (3). Si además de estas propiedades, se cumple que x∘y = y∘x (propiedad conmutativa) para cualquier pareja de elementos del grupo, entonces se dice que es un grupo conmutativo o abeliano. El conjunto de los números enteros con la operación de la adición es un grupo abeliano pues el orden de los sumandos no altera la suma, como muestra el ejemplo 2 + 7 = 7 + 2.

El conjunto de los enteros con la operación de la sustracción no es un grupo porque no tiene la propiedad asociativa. Por ejemplo, (5 - 4) - 3 es distinto de 5 - (4 - 3). El conjunto que sólo contiene a los números 1 y -1 junto con la operación de la multiplicación es un grupo abeliano. En este último ejemplo, el elemento neutro es 1, y el recíproco o inverso de -1 es -1 pues (-1)∘(-1) = 1.

Los grupos aparecen a menudo relacionados con simetrías. Por ejemplo, tomemos las seis maneras en que un triángulo equilátero se puede mover manteniéndose igual a sí mismo. En la figura 1 se muestra el conjunto de los movimientos, que está formado por e, en la que el triángulo no se mueve, por las rotaciones r₁ y r₂ de 120 y 240 grados respectivamente alrededor del centro en el sentido de las agujas del reloj, y por los volteos f₁, f₂ y f₃ alrededor de las líneas L₁, L₂ y L₃ respectivamente. Se define una operación en este conjunto de movimientos de manera que x∘y es el resultado de hacer primero y y luego x. Por ejemplo, r₁∘f₂ es el resultado de primero voltear alrededor de L₂ para dar la figura 2 y después rotarlo 120 grados para obtener la figura 3. Esta última figura se puede obtener también con sólo hacer f₁, y por tanto r₁∘f₂ = f₁. Este resultado se anota en la tabla de multiplicar de la figura 4: f₁ aparece en una casilla a la derecha de la r₁ de la primera columna y por debajo de la f₂ de la primera fila. Se puede demostrar que estos seis elementos junto con la operación ∘ aquí definida forman un grupo donde e es el elemento neutro. No es un grupo conmutativo porque r₁∘f₂ es distinto de f₂∘r₁, como se puede ver en la figura 4.