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Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado







Imagina el siguiente experimento: colocamos tres puntos, AM y B en una circunferencia y dibujamos el ángulo . Ahora trazamos un nuevo ángulo , siendo O el centro de la circunferencia, y entonces medimos el ángulo . A continuación, cambiamos la posición del punto M, dejando fijos los puntos A y B. Posiblemente tengamos la impresión de que el tamaño del ángulo es siempre igual a la mitad del ángulo . ¿Estaremos en lo cierto?

I. Definiciones
A y B son dos puntos cualesquiera de una circunferencia que tiene el centro en el punto O. El ángulo es conocido con el nombre de ángulo central de la circunferencia. A partir de ahora diremos que el ángulo intercepta el arco AB.

Nota: los puntos A y B de la figura de arriba definen dos ángulos centrales: un ángulo central menor que intercepta el menor arco que forman y B, y un ángulo central mayor que intercepta el arco mayor que forman y B.
AB y M son tres puntos distintos de una circunferencia. El ángulo recibe el nombre de ángulo inscrito. También podemos decir que este ángulo intercepta el arco AB.

II. Propiedades
1. Ángulo inscrito y ángulo central interceptan el mismo arco
Propiedad: la amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la amplitud del ángulo central que intercepta el mismo arco.
Ejemplo: en la figura 3, el ángulo inscrito y el ángulo central interceptan el mismo arco AB; podemos deducir que:


2. Ángulos inscritos que interceptan el mismo arco
Propiedad: dos ángulos inscritos (en la misma circunferencia) que interceptan el mismo arco, tienen el mismo tamaño.
Ejemplo: en la figura 4, los ángulos inscritos interceptan el mismo arco AB. Deducimos que .

Podemos demostrar esta última propiedad: para hacerlo llamaremos O al centro de la circunferencia.
El ángulo inscrito y el ángulo central interceptan el mismo arco.
Así, usando la propiedad anterior, tenemos que: .
De la misma forma, el ángulo inscrito y el ángulo central interceptan el mismo arco AB.
Usando la propiedad anterior, tenemos también que: .
A partir de estas dos igualdades podemos deducir el siguiente resultado: .
III. Aplicaciones
1. Calcular la amplitud de un ángulo
Problema: consideremos una estrella regular de cinco puntas. Podemos construirla trazando las diagonales que unen los vértices del pentágono regular ABCDE representado en la figura 5.
Vamos a calcular la amplitud del ángulo .

Solución: sabemos que los vértices de un pentágono regular se encuentran todos en la misma circunferencia: llamaremos O al centro de esta circunferencia.
Consideremos un ángulo central y el ángulo inscrito : ambos interceptan el mismo arco CD, por tanto, podemos deducir que: .
El ángulo central de un pentágono regular es igual a .
Por lo tanto, tenemos que y, en consecuencia, , o bien .
2. Demostración de una propiedad
Vamos a demostrar una propiedad que ya hemos estudiado: un triángulo inscrito en una semicircunferencia, es siempre un triángulo rectángulo.
Tomemos una circunferencia con centro en O y diámetro BC, así como un punto A, distinto de B y C, en la misma. Vamos a demostrar que el triángulo , inscrito en la semicircunferencia, tiene un ángulo recto en A.

Solución: consideremos el ángulo central y el inscrito : ambos interceptan el mismo arco BC, por ello podemos deducir que .
El ángulo es un ángulo llano (180º) ya que BC es el diámetro de la circunferencia con centro en O. Por lo tanto, .
Podemos deducir que: . Por lo tanto, el triángulo tiene un ángulo recto en A. Se trata de un triángulo rectángulo.

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