Construir diferentes polígonos regulares

¿Qué es un polígono regular? Tu primera respuesta quizá sea: un polígono donde todos sus lados tienen la misma longitud; sin embargo, también hay polígonos irregulares que tienen todos los lados de la misma longitud.

Entonces, ¿cuál es la definición de polígono regular? ¿Y qué propiedades podemos usar para construir pentágonos, hexágonos u octógonos regulares?

I. Definición
Un polígono regular es un polígono cuyos lados tienen todos la misma longitud y cuyos ángulos tienen todos la misma amplitud.
La figura 1 muestra cinco polígonos regulares.


Para todos los polígonos regulares hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices. Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia circunscrita al polígono. El centro de esta circunferencia es el centro del polígono.

II. Ejemplos de construcción
1. Construir un pentágono a partir de su circunferencia circunscrita
Propiedad práctica: en un polígono regular con centro en O, todos los ángulos centrales formados por dos radios de la circunferencia circunscrita que se unen a dos vértices consecutivos del polígono, deben tener la misma amplitud. Si el polígono tiene n lados, este ángulo, medido en grados, es igual a .
Ejemplo: un pentágono tiene 5 lados, así que la medida de cada uno de sus ángulos centrales es: .
La figura 2 nos muestra las etapas en la construcción de un pentágono.



2. Construir un octógono a partir de la longitud de uno de sus lados
Propiedad práctica: A, B y C son tres vértices consecutivos de un polígono con centro en O. El ángulo del polígono y el ángulo central son suplementarios. Además, el segmento OB es la bisectriz del ángulo .
Observa esta propiedad en un cuadrado:

Ejemplo: Queremos construir un octógono regular con una longitud concreta para su lado, que llamaremos AB.
Un octógono tiene ocho lados, por lo que la amplitud de cada uno de sus ángulos centrales es: . Nos ayudaremos de las tres figuras siguientes para visualizar mejor la medida de los ángulos en un octógono.

Usando la propiedad anterior (180º = ángulo interior + ángulo central) podemos calcular lo que mide cada ángulo interior del octógono: 180° – 45° = 135°.

Podemos ver así que la mitad de cada ángulo interior es: .

Para construir ahora el octógono, comenzamos trazando el lado AB del octógono de la longitud que queramos, y a continuación construiremos un triángulo isósceles donde .
El punto O deberá ser el centro del octógono.
La figura 7 nos muestra los pasos a seguir en la construcción del octógono.

Nota: también podemos construir las sucesivas caras del octógono sin necesidad de usar la circunferencia circunscrita, ya que sabemos que cada ángulo interior del octógono mide 135º, pero este método de construcción nos llevaría mucho más tiempo.
3. Construir un hexágono regular usando el compás
Un hexágono tiene seis lados, de manera que cada ángulo central mide .
Por lo tanto, cada ángulo interior del hexágono mide 180° – 60° = 120°.
Y, en consecuencia, vemos que la mitad del ángulo correspondiente a cada vértice tiene una amplitud de: . En la figura 8 vemos las medidas de los ángulos en un hexágono regular.

De esta manera, podemos comprobar que los triángulos formados al unir el centro y dos vértices consecutivos, son equiláteros (es decir, el radio de la circunferencia circunscrita y el lado del hexágono miden lo mismo). Sabiendo esto, podemos construir un hexágono regular a partir de su circunferencia circunscrita: trasladando la longitud del radio seis veces a lo largo de la circunferencia.