Calcular frecuencias relativas acumuladas

Hemos preguntado a cada uno de los miembros de dos grupos cuál es su deporte favorito.



Resulta difícil comparar directamente las respuestas, porque la población de los dos grupos es diferente: en la primera encuesta hemos preguntado a 141 individuos, mientras que en la segunda hemos preguntado a 445. En este tipo de situaciones manejamos las frecuencias relativas.

I. Calcular las frecuencias relativas
Ejemplo: observemos de nuevo la encuesta anterior. Para poder comparar los resultados de la misma, calculamos las frecuencias relativas de cada uno de los deportes en cada uno de los dos grupos. Para ello, dividimos cada cantidad (que es la frecuencia o frecuencia absoluta) entre la población total de dicho grupo.
Estos son los resultados obtenidos (redondeados a las centésimas 0,01):



Podemos comprobar que la suma de las frecuencias relativas en cada caso es igual a 1 (en la primera tabla no sale exactamente 1, sino 0,99 a causa del redondeo).
Definición: en un estudio estadístico, la frecuencia relativa de un determinado valor o de una clase es el cociente entre su frecuencia absoluta y el total de la población. A menudo este cociente se expresa como un porcentaje.
II. Calcular las frecuencias relativas acumuladas
Ejemplo: se ha clasificado a los internautas españoles mayores de 18 años según cinco rangos de edad. Los resultados han sido los siguientes:



Queremos calcular la proporción de internautas que son mayores de 35 años.
En este caso, la característica que está siendo estudiada (la edad) es cuantitativa, y los rangos de edad aparecen en orden creciente. Observando la tabla podemos ver que el 55% (23 + 32 = 55) de los individuos de la población son menores de 35 años. Podemos decir que la frecuencia relativa acumulada del rango de edad 25 < x < 34 es el 55%.
Las frecuencias relativas acumuladas se calculan igual que las frecuencias absolutas acumuladas.
A continuación, se presenta la tabla completa con las frecuencias relativas acumuladas, en orden creciente:



Para las frecuencias relativas acumuladas crecientes, los valores van incrementándose hasta llegar al 100 (si las frecuencias están expresadas en %) o al 1 (si las frecuencias no están expresadas en %, sino en tantos por uno).
Definición: para una característica cuantitativa, la frecuencia relativa acumulada creciente de un valor v es la suma de las frecuencias relativas de los valores menores o iguales que v.
Nota: en el ejemplo presentado al principio de este artículo (la encuesta sobre el deporte preferido), no podemos calcular frecuencias acumuladas, ni absolutas ni relativas, ya que la característica estudiada es cualitativa, no cuantitativa.

Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita

Nosotros podemos trazar la mediatriz de cada uno de los lados de un triángulo.
¿Qué propiedad cumplen las tres mediatrices de un triángulo y qué es la circunferencia circunscrita a un triángulo?

I. Las mediatrices de un triángulo

Definición: la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a este segmento que pasa por su punto medio.
Propiedad: todos los puntos que forman parte de la mediatriz de un segmento AB cumplen la condición de que están a la misma distancia de A y B, es decir, de los extremos del segmento (decimos que son equidistantes aA y B).
Esta propiedad nos permite una construcción fácil, usando la regla y el compás, de la mediatriz del segmento AB que mostramos en la figura 1.

La expresión mediatrices de un triángulo se refiere a las mediatrices de los lados del triángulo. Por consiguiente, un triángulo tiene tres mediatrices.

II. La circunferencia circunscrita a un triángulo
1. Propiedad

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes. El punto de intersección se encuentra a la misma distancia de los tres vértices del triángulo, y es el único punto que cumple esta propiedad. Este punto se denominacircuncentro.
Por lo tanto, el circuncentro es el centro de una circunferencia cuyo trazado pasa por los tres vértices del triángulo.

Notas:
—Esta circunferencia se llama circunferencia circunscrita al triángulo. También podemos decir que el triángulo se encuentra inscrito en la circunferencia o que la circunferencia circunscribe al triángulo. La palabra circunscribe proviene del latín y significa “escribir alrededor”, y la palabra inscrito significa “escribir dentro”.
—En la práctica, solo es necesario trazar dos mediatrices para encontrar el circuncentro que nos permite trazar la circunferencia circunscrita.
2. Posición del circuncentro
En la figura 2, el circuncentro se encuentra dentro del triángulo. En cambio, si observamos la figura 3, vemos que se encuentra fuera del triángulo.

En la figura 4, el circuncentro se encuentra en el punto medio del lado BC. Esto nos confirma que este triángulo es rectángulo y que el ángulo recto se encuentra en A.

Resumiendo:
—Si todos los ángulos del triángulo son agudos, el circuncentro se encuentra dentro del triángulo.
—Si el triángulo es rectángulo, el circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.
—Si el triángulo tiene un ángulo obtuso, el circuncentro estará fuera del triángulo.

Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro

Sobre cualquier triángulo se pueden trazar tres medianas.
¿Cuáles son las propiedades de estas líneas y qué es el baricentro del triángulo?

I. Las medianas de un triángulo
Una mediana de un triángulo es un segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio de su lado opuesto.

Notas:
—En un triángulo hay tres medianas (tantas como número de ángulos).
—Una mediana divide al triángulo en dos triángulos más pequeños que tienen áreas iguales.
II. El baricentro de un triángulo
1. Propiedades
En un triángulo, las tres medianas son concurrentes. Su punto de intersección recibe el nombre de baricentro del triángulo.
En la figura 2, el punto señalado por la letra G es el baricentro del triángulo.

Nota: en la práctica, para localizar el baricentro, tan solo necesitamos trazar dos de las medianas del triángulo.
2. Posición del baricentro
El baricentro de un triángulo está situado a del vértice y a del punto medio del lado opuesto. En otras palabras, el baricentro divide a cada mediana en dos segmentos de forma que uno es doble del otro.
En la figura 2: , y .
Por lo tanto, el baricentro de un triángulo está siempre situado dentro del triángulo.
El baricentro es el centro geométrico del triángulo.

Construir un triángulo

Si tienes que construir un triángulo, necesitarás por lo menos tres datos para conseguirlo. Por ejemplo, las longitudes de los tres lados; la longitud
de dos lados y la amplitud de uno de sus ángulos; o la longitud de un lado y la amplitud de dos de sus ángulos. 

¿Cómo podemos construir un triángulo usando estos parámetros?

I. Método general
Construir un triángulo supone utilizar correctamente los instrumentos de dibujo (regla graduada, compás, transportador de ángulos, escuadra y cartabón).

Siempre comenzaremos trazando un lado de longitud dada; los dos extremos del lado serán dos de los vértices del triángulo que vayamos a dibujar. El tercer vértice lo calcularemos como punto de intersección de dos arcos, o de un arco y de una recta, o incluso de dos rectas.

II. Construir un triángulo
1. Conocemos tres lados
Queremos construir un triángulo tal que: AB = 4 cm, AC = 3,5 cm y BC = 2,5 cm.
En la figura 1 mostramos las etapas de su construcción.

2. Conocemos dos lados y un ángulo
Queremos construir un triángulo tal que: AB = 3 cm, AC = 4,8 cm y Â = 26°.
Las etapas de construcción se muestran en la figura 2.

3. Conocemos un lado y dos ángulos
Queremos construir un triángulo tal que: AB = 2,4 cm,  = 135° y = 25°.
En la figura 3 se muestran las etapas de construcción.

Construir diferentes polígonos regulares

¿Qué es un polígono regular? Tu primera respuesta quizá sea: un polígono donde todos sus lados tienen la misma longitud; sin embargo, también hay polígonos irregulares que tienen todos los lados de la misma longitud.

Entonces, ¿cuál es la definición de polígono regular? ¿Y qué propiedades podemos usar para construir pentágonos, hexágonos u octógonos regulares?

I. Definición
Un polígono regular es un polígono cuyos lados tienen todos la misma longitud y cuyos ángulos tienen todos la misma amplitud.
La figura 1 muestra cinco polígonos regulares.


Para todos los polígonos regulares hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices. Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia circunscrita al polígono. El centro de esta circunferencia es el centro del polígono.

II. Ejemplos de construcción
1. Construir un pentágono a partir de su circunferencia circunscrita
Propiedad práctica: en un polígono regular con centro en O, todos los ángulos centrales formados por dos radios de la circunferencia circunscrita que se unen a dos vértices consecutivos del polígono, deben tener la misma amplitud. Si el polígono tiene n lados, este ángulo, medido en grados, es igual a .
Ejemplo: un pentágono tiene 5 lados, así que la medida de cada uno de sus ángulos centrales es: .
La figura 2 nos muestra las etapas en la construcción de un pentágono.



2. Construir un octógono a partir de la longitud de uno de sus lados
Propiedad práctica: A, B y C son tres vértices consecutivos de un polígono con centro en O. El ángulo del polígono y el ángulo central son suplementarios. Además, el segmento OB es la bisectriz del ángulo .
Observa esta propiedad en un cuadrado:

Ejemplo: Queremos construir un octógono regular con una longitud concreta para su lado, que llamaremos AB.
Un octógono tiene ocho lados, por lo que la amplitud de cada uno de sus ángulos centrales es: . Nos ayudaremos de las tres figuras siguientes para visualizar mejor la medida de los ángulos en un octógono.

Usando la propiedad anterior (180º = ángulo interior + ángulo central) podemos calcular lo que mide cada ángulo interior del octógono: 180° – 45° = 135°.

Podemos ver así que la mitad de cada ángulo interior es: .

Para construir ahora el octógono, comenzamos trazando el lado AB del octógono de la longitud que queramos, y a continuación construiremos un triángulo isósceles donde .
El punto O deberá ser el centro del octógono.
La figura 7 nos muestra los pasos a seguir en la construcción del octógono.

Nota: también podemos construir las sucesivas caras del octógono sin necesidad de usar la circunferencia circunscrita, ya que sabemos que cada ángulo interior del octógono mide 135º, pero este método de construcción nos llevaría mucho más tiempo.
3. Construir un hexágono regular usando el compás
Un hexágono tiene seis lados, de manera que cada ángulo central mide .
Por lo tanto, cada ángulo interior del hexágono mide 180° – 60° = 120°.
Y, en consecuencia, vemos que la mitad del ángulo correspondiente a cada vértice tiene una amplitud de: . En la figura 8 vemos las medidas de los ángulos en un hexágono regular.

De esta manera, podemos comprobar que los triángulos formados al unir el centro y dos vértices consecutivos, son equiláteros (es decir, el radio de la circunferencia circunscrita y el lado del hexágono miden lo mismo). Sabiendo esto, podemos construir un hexágono regular a partir de su circunferencia circunscrita: trasladando la longitud del radio seis veces a lo largo de la circunferencia.

Usar las propiedades de un paralelogramo

Para comprobar que un cuadrilátero es un paralelogramo, simplemente tenemos que demostrar que cumple alguna de las propiedades de los paralelogramos. En cambio, si partimos del hecho de que un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces podemos usar sus propiedades para deducir otros resultados que nos interesen.

I. Propiedades de un paralelogramo
Si un cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, entonces:
—sus lados opuestos son paralelos: AB || DC y AD || BC;
—sus lados opuestos son de la misma longitud: AB = DC y AD = BC;


—el punto medio de cada una de sus diagonales coincide con el punto donde se cruzan (el centro de simetría del paralelogramo);

—sus ángulos opuestos son iguales: y ;

—dos ángulos consecutivos son suplementarios: por ejemplo, .

II. Usar las propiedades de un paralelogramo

1. El centro de simetría
Enunciado: ABCD es un paralelogramo. O es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo . Queremos construir la circunferencia circunscrita al triángulo .
Solución: podríamos, por supuesto, dibujar las mediatrices del triángulo , pero hay un método más sencillo.
—ABCD es un paralelogramo, por tanto I, el punto donde se cruzan sus diagonales, es el centro de simetría.
—Usando I como centro de simetría, podemos comprobar que A es el reflejo de C, B el reflejo de D, y D el reflejo de B. La circunferencia circunscrita a es el reflejo de la circunscrita a .
—Podemos construir el punto O' de forma sencilla, ya que es el reflejo de O respecto del centro de simetría I, y entonces ya podemos dibujar la circunferencia usando O' como centro, la cual deberá pasar por el vértice C.


2. La longitud de los lados opuestos
Enunciado: ABCD y ABEC son paralelogramos. Queremos comprobar que C es el centro de DE.

Solución:
—Los puntos ABCD forman un paralelogramo, por lo tanto, las rectas AB y CD son paralelas y de la misma longitud.
—Asimismo, los puntos ABEC forman un paralelogramo, por tanto, las rectas AB y EC son paralelas y de igual longitud.
—Las dos rectas CD y EC son paralelas a la recta AB; por eso son paralelas entre ellas. Además, tienen un punto en común, C; por tanto son continuación una de la otra. Todo esto nos viene a decir que los puntos D, C yE forman parte de la misma recta (1).

—También AB = DC = CE (2).
—Puesto que los puntos D y E no son los mismos, (1) y (2) podemos afirmar que C es el centro de DE.
3. Ángulos
Enunciado: ABCD es un paralelogramo. La amplitud del ángulo es el triple que la de .
Queremos encontrar la amplitud de los ángulos de ABCD.
Solución:
—El enunciado del problema afirma que  (1).
—Además, ABCD es un paralelogramo, por lo tanto los ángulos y son suplementarios.
—De tal manera que  (2).
—Teniendo (1) y (2): ; esto es . Así que .
—Esto significa que y .
—Y como los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, tenemos que: y .