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Describir un cono y construir su desarrollo







Un cucurucho de helado, el sombrero de un mago y la llama de una antorcha son todos distintos tipos de cono.

¿Cuál es la definición matemática de este sólido? Y, ¿cómo podemos construir uno?

I. Descripción de un cono recto
1. Observación

Observa el cono recto que hay dibujado arriba en perspectiva.
El cono es un sólido con los siguientes elementos:
—una base, que es el círculo sobre el que se apoya; el círculo de la ilustración tiene un centro en O y un radio r.
—una superficie lateral, que es la cara curva del cono, creada por todos los segmentos que se pueden trazar al unir el punto S con todos los puntos del borde del círculo que forman su base. Estos segmentos se llamangeneratrices del cono; todas ellas son de la misma longitud y las identificaremos mediante la letra g.
El punto S descansa sobre una línea que pasa por O y es perpendicular al plano del círculo. El punto S se llama vértice del cono y el segmento SO (también llamado h) es la altura del cono.
Si recordamos el teorema de Pitágoras, podemos comprobar que en un cono recto se cumple que: .
Nota: la expresión altura de un cono recto puede usarse tanto para referirse al segmento SO como a su longitud.
2. ¿Qué es un cono recto?
Un cono recto es un cuerpo geométrico formado por dos superficies: una plana y circular, que es la base, y otra curva, llamada superficie lateral. Esta última es generada por la hipotenusa (generatriz) de un triángulo rectángulo cuando se le hace girar en torno a uno de sus catetos. Dado que el cono es un cuerpo que se forma en el espacio al hacer girar o rotar una figura plana, se dice que el cono es un cuerpo de revolución (la palabra revolución deriva de la palabra latina volvere, que significa “rotar”).
Un experimento puede ayudarnos a entender todo esto:
—fijamos una goma a los extremos S y O del cateto de un triángulo rectángulo;
—enroscamos la goma y la soltamos de golpe: el triángulo comienza a girar y podremos ver cómo se dibuja en el aire una figura geométrica que llamaremos cono de revolución.

El cono es creado por la revolución (rotación) del triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos. Este es el motivo por el cual la superficie del cono recibe el nombre de superficie de revolución.
Todos los cuerpos geométricos que se pueden crear mediante este proceso se llaman cuerpos de revolución.
No todos los conos tienen superficies generadas por revolución. La figura 3 nos muestra un cono en el que su superficie lateral no es una superficie de revolución.

II. Construir un cono recto
Podemos conseguir el desarrollo de un cono recto cuyo radio mide 3 cm y que tiene una altura de 4 cm.
Vamos a entenderlo observando la ilustración de abajo. Imagina que hemos impregnado de tinta toda la superficie lateral del cono. Si estampamos el cono y lo hacemos rodar sobre una hoja de papel, conseguimos dibujar una figura geométrica en forma de sector circular. Lo que estamos viendo es el desarrollo de la superficie lateral del cono.

El desarrollo de la base es un círculo con un radio de 3 cm y el desarrollo de la superficie lateral es un sector circular. Para poder dibujar este desarrollo, necesitamos calcular el radio y la amplitud angular de este sector.
El radio del sector circular obtenido es igual a la longitud de la generatriz g (o SM) del cono. Calcular la longitud de es lo mismo que hallar el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo . Como ya hemos visto, aplicando el teorema de Pitágoras: , por lo tanto, . Es decir, el radio del sector circular mide 5 cm.

La longitud del arco del sector circular es igual al perímetro de la base del cono. Como ya sabemos que , el valor del perímetro sería: .
El perímetro de la circunferencia mayor, donde estaría insertado el sector circular sería de: .
Si llamamos x al ángulo del sector circular, podemos escribir la siguiente proporción:

Por lo tanto, ; que si eliminamos denominadores: ; y si despejamos y simplificamos obtenemos:

El ángulo del sector que nos muestra el desarrollo de este cono mide 216°.

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