Teoría de matrices y Álgebra lineal

Teoría de matrices y Álgebra lineal, ramas de las matemáticas, relacionadas entre sí, que son herramientas fundamentales en las matemáticas puras y aplicadas, y cada vez más importantes en las ciencias físicas, biológicas y sociales.

TEORÍA DE MATRICES

Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.

Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes: 

En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera. Para delimitar la matriz, en vez de paréntesis, se pueden utilizar también corchetes.

Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha. Utilizando esta notación, el elemento de la segunda fila y tercera columna de M₁ es -1. Tanto a las filas como a las columnas se las denomina líneas.

El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en este orden, así M₁, M₂, M₃ y M₄ son de tamaño 3 × 3 (3 por 3), 3 × 3, 3 × 2 y 2 × 3 respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m × n se representan normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice, i, indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues, el elemento a₂₃ está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general

se puede representar de forma abreviada como A = (a_ij), en donde los posibles valores de los índices i = 1, 2,..., m y j = 1, 2,..., n se han de dar explícitamente si no se sobrentienden. Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas (o columnas) es el orden de la matriz. Dos matrices A = (a_ij) y B = (b_ij), son iguales si y sólo si son de igual tamaño y si para todo i y j, a_ij = b_ij. Si A = (a_ij) es una matriz cuadrada, los elementos a₁₁, a₂₂, a₃₃,... forman la diagonal principal de la matriz. La matriz traspuesta A^T de una matriz A es otra matriz en la cual la fila i es la columna i de A, y la columna j es la fila j de A. Por ejemplo, tomando la matriz M₃ anterior,

es la matriz traspuesta de M₃.

La adición y la multiplicación de matrices están definidas de manera que ciertos conjuntos de matrices forman sistemas algebraicos. Consideremos los elementos de las matrices números reales cualesquiera. La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0; la matriz unidad I_m de orden m, es una matriz cuadrada de orden m en la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. El orden de la matriz unidad se puede omitir si se sobrentiende con el resto de la expresión, con lo que I_m se escribe simplemente I.

La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. Si A = (a_ij) y B = (b_ij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se define como la matriz (c_ij), en la que c_ij = a_ij + b_ij, es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes. Así, para las matrices mencionadas anteriormente

En el conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño la adición tiene las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa. Además hay una matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O + A = A y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.

El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor izquierdo, A, es igual al número de filas del factor derecho, B; si A = (a_ij) es de tamaño m × n y B = (b_jk) es de tamaño n × p, el producto AB = C = (c_ik) es de tamaño m × p, y c_ik está dado por

es decir, el elemento de la fila i y la columna k del producto es la suma de los productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor derecho.

ÁLGEBRA LINEAL

El concepto geométrico de vector como segmento rectilíneo de módulo, dirección y sentido dados, se puede generalizar como se muestra a continuación. Un n-vector (vector n-dimensional, vector de orden n o vector de dimensión n) es un conjunto ordenado de n elementos de un cuerpo. Al igual que en la teoría de matrices, los elementos de un vector pueden ser números reales. Un n-vector v se representa como v = (x₁, x₂,..., x_n)Las x₁, x₂,..., x_n se denominan componentes del vector. Las líneas de una matriz son vectores: las horizontales son vectores fila y las verticales vectores columna.

La suma de vectores (de igual longitud) y la multiplicación por un número real se definen de igual manera que para las matrices, y cumplen las mismas propiedades. Si w es otro vector, w = (y₁, y₂,..., y_n)y k es un número real, entonces v + w = (x₁ + y₁, x₂ + y₂,..., x_n + y_n)y kv = (kx₁, kx₂,..., kx_n)Si k₁, k₂,..., k_m son números reales, y v₁, v₂,..., v_m son n-vectores, el n-vector v = k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_mv_mse denomina combinación lineal de los vectores v₁, v₂,..., v_m.

Los m n-vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal igual al n-vector cero, 0 = (0,0,..., 0), es aquélla en que k₁ = k₂ = ... = k_m = 0. Si existe otra combinación lineal que cumple esto, los vectores son linealmente dependientes. Por ejemplo, si v₁ = (0, 1, 2, 3), v₂ = (1, 2, 3, 4), v₃ = (2, 2, 4, 4) y v₄ = (3, 4, 7, 8), entonces v₁, v₂ y v₃ son linealmente independientes, pues k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃ = 0 si y sólo si k₁ = k₂ = k₃ = 0; v₂, v₃ y v₄ son linealmente dependientes pues v₂ + v₃ - v₄ = 0.

Se dice que A es una matriz de rango r, si tiene un conjunto de r vectores fila o columna linealmente independientes, y todo conjunto con más de r vectores fila o columna son linealmente dependientes.

Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de vectores (véase Teoría de conjuntos) que cumple una serie de propiedades, que se muestran a continuación. Si u, v, w son elementos de V, entonces se verifica que:

1a. u + v es un elemento de V
2a. (u + v) + w = u + (v + w)
3a. u + v = v + u
4a. Existe un vector 0 tal que 0 + u = u
5a. Todo vector v tiene un opuesto –v tal que v + (-v) = 0
Si λ y µ son números reales, se cumple también que:

1b. λ·u es un elemento de V
2b. (λ + µ)·u = λ·u + µ·u
3b. λ·(u + v) = λ·u + λ·v
4b. (λ·µ)·v = λ·(µ·v)
5b. 1·v = v

Si S = {v_i} es un conjunto de vectores, todos ellos de la misma dimensión, todas las combinaciones lineales de los vectores v forman un espacio vectorial V. Se dice que este espacio vectorial es generado por los v_i. Si el conjunto B = {w_j} genera el mismo espacio vectorial V, y está formado por vectores linealmente independientes, se dice que B es una base de V. Si una base de V contiene m vectores, entonces toda base de V contiene exactamente m vectores, y se dice que V es un espacio vectorial de dimensión m. Los espacios euclídeos de dos y tres dimensiones se pueden representar por parejas y tríos ordenados de números reales. Las matrices se pueden utilizar para describir transformaciones de un espacio vectorial a otro.