La palabra trigonometría procede del griego y significa “estudio de las relaciones numéricas entre las medidas de un triángulo”. El seno, el coseno y la tangente son tres razones trigonométricas.
¿Cómo calculamos esas razones y cuáles son sus propiedades?
I. Definiciones
Dado un triángulo
con ángulo recto en B, consideremos uno de sus ángulos agudos, por ejemplo 
. El lado BC es el cateto opuesto al ángulo 
y el lado AB es el cateto contiguo al ángulo 
.
Podemos definir las tres razones siguientes:
- seno (sen) :
- coseno (cos) :
- tangente (tg) :
Nota: para calcular cualquiera de estas tres razones, las longitudes de los lados del triángulo deben estar expresadas en las mismas unidades.
Ejemplo: si aplicamos estas definiciones al ángulo
de la figura 1, obtenemos:
; 
; 
II. Propiedades
Si aplicamos las definiciones previas al otro ángulo agudo del triángulo de la figura 1, es decir, a
, obtenemos:
; 
; 
Si comparamos con las expresiones para el ángulo
, observamos que: 
; 
;
Así pues, para los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo podemos afirmar que: el seno de uno de los dos ángulos es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.
Por tanto, ya que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, podemos afirmar que: si dos ángulos (no nulos, diferentes de 0º) son complementarios, el seno de uno es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.
Por ejemplo, sen 67° = cos 23° porque el ángulo de 67º y el ángulo de 23º son complementarios (67° + 23° = 90°).
III. Ejemplos
1. Ejemplo 1
Problema: sea
un triángulo rectángulo con su ángulo recto en E, tal que EL = 12 y EM = 5, con las longitudes expresadas en centímetros. Queremos calcular los valores exactos de 
, 
y 
.
Solución: para calcular los valores exactos de
y 
, necesitamos calcular la longitud de la hipotenusa, ML, del triángulo. Como se trata de un triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras:LM² = EL² + EM², es decir, LM² = 12² + 5², de donde LM² = 169, y LM =
= 13.Por definición:
; y sustituyendo resulta: 
.Igualmente:
: y sustituyendo resulta: 
.Finalmente:
; y sustituyendo resulta: 
.Nota: usando una calculadora podemos obtener un valor aproximado para el ángulo
, por ejemplo, a partir de 
.Para ello, tendremos que introducir la siguiente secuencia de teclas: 12
13 
o 
( 12 
13 ) 
; en algunas calculadoras, la tecla 
equivale a la tecla 
o 
.2. Ejemplo 2
Problema: sea
un triángulo rectángulo con su ángulo recto en P, tal que HP = PR = 1 cm. Como este triángulo además de ser rectángulo es isósceles, sabemos que 
. Queremos calcular los valores exactos del seno, coseno y tangente de estos ángulos de 45º.
Solución: por definición,
.Calculamos el valor exacto de HR, la hipotenusa, usando el teorema de Pitágoras:
HR² = HP² + PR², y sustituyendo valores: HR² = 1² + 1², de donde HR² = 2; así pues
.Entonces
, y por tanto, 
.Según las propiedades que hemos estudiado anteriormente, y puesto que los dos ángulos
y 
son complementarios y miden 45°, se deduce que 
y por tanto que 
.Por definición,
. Así pues 
; de donde se deduce que 
.En resumen:
y 
.
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