Dividir números racionales

En un libro de física, nos plantean calcular la resistencia total R de un conjunto de 
resistencias en paralelo, usando la fórmula , donde R1 y R2 también son resistencias. Los datos que nos dan son R1 = 3  y R2 = 2  .
Tenemos que realizar el siguiente cálculo: .
Usando las teclas (o ) de la calculadora, podemos comprobar que R = 1,2  (hemos introducido la siguiente secuencia de teclas: 5     6      ).
¿Qué es lo que hace este botón y cómo podemos hallar el resultado sin usar calculadora?
I. El inverso de un número
1. Definición
Un número es el inverso de otro si su producto es igual a 1.
Ejemplos:
–2 y –0,5 son inversos porque -2 × (–0,5) = 1.
es el inverso de porque .
El inverso de 7 es . Observa: .
Por tanto:
—Todo número distinto de cero tiene un inverso.
—Si x es un número distinto de 0, podemos escribir su inverso como (se lee “uno partido de x”) o x–1 (se lee “el inverso de x” o “x elevado a la menos 1”).
—Las calculadoras suelen tener una tecla ( o ) que nos muestra el resultado del inverso del número que tengamos en la pantalla.
2. Propiedades
—Si a y b son dos números enteros distintos de cero, el inverso de es , ya que .
—Un número distinto de cero y su inverso siempre tienen el mismo signo.
—El inverso del opuesto de un número es el opuesto del inverso del número. De forma más general: dado un número a, su opuesto sería –a, y el inverso de este sería , que a su vez se puede expresar como ; es decir, como el opuesto del inverso.
Ejemplo: (el inverso de - 3 es el opuesto del inverso de 3).
II. Calcular la división de números positivos y negativos
1. Definición
Dados x e y como números enteros, donde y es distinto de cero, dividir x entre y es lo mismo que multiplicar x por el inverso de y. Es decir:

2. Primeros ejemplos
Con números:


Con notación algebraica:
Si a y b son dos números, donde b 0, tenemos que:

Si a, b, c y d son números, donde b, c y d son distintos de cero, tenemos que:

Nota: es importante recordar qué puede ocurrir con el signo del resultado del cociente entre a y b.
—si a y b tienen el mismo signo, el resultado (el cociente) es positivo;
—si a y b tienen distinto signo, entonces el cociente es negativo.
3. “Cociente de un cociente”
En los siguientes ejemplos vamos a calcular cocientes de cocientes, o dicho de otra forma, la división de una división.
Ejemplo 1:


Ejemplo 2:


Ejemplo 3:


Nota: la localización del signo igual (=) determina el significado de A, B y C. Es decir, la posición del signo igual nos indica cuál es la fracción principal. En los dos ejemplos de abajo presentamos la raya como dos puntos (:).

Generalización: a es un número real; b, c y d son números reales distintos de cero.
Tenemos las siguientes igualdades:



4. Otra forma de resolver el cociente de un cociente
Regla: cuando tenemos una división de fracciones expresada de la siguiente forma:

a y d reciben el nombre de extremos; b y c reciben el nombre de medios. Pues bien, como hemos visto que dividir un número entre otro es lo mismo que multiplicarlo por el inverso del segundo, podemos expresarlo así:

Observa que estamos multiplicando a · d (extremos) y b · c (medios). Por lo que también podemos resolver de forma más rápida estas divisiones: multiplicando directamente los extremos (cuyo resultado sería el nuevo numerador) y los medios (el denominador). Vamos a verlo con dos ejemplos:
Ejemplo 1: calcula la siguiente división:

Multiplicamos directamente los extremos y los medios:

Y obtenemos: .
Ejemplo 2: supongamos que uno de los números es entero. Calcula la siguiente división:

Si expresamos el número entero 2 como fracción: ; tendremos:

Y resolvemos haciendo el producto de medios y extremos, obteniendo .
Ver también artículo Multiplicar números racionales.