La Parábola

Parábola (matemáticas)

Parábola (matemáticas), una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e bajo el mismo ángulo α.

La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:

• Eje, e.
• Vértice, V.
• Distancia de F a d, p.

La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1.

Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.

Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.

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EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA PARÁBOLA

Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es: y² = 2px

Las curvas de ecuación y = ax² + bx + c también son parábolas. Su eje es paralelo al eje Y, y su vértice se encuentra en el punto de abscisa -b/2a.

Hipérbola

Hipérbola

Hipérbola, una de las cónicas. Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo β menor que α.

La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F′, llamados focos, y un número positivo k,

la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, P, tales que la diferencia de distancias a los focos es igual a k:

 |d₁ – d₂| = k.

La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, r y r′, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:

• Centro, O.
• Vértices, A y A′.
• Distancia entre los vértices,

• Distancia entre los focos,

El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que b² = c² – a²

La excentricidad de una hipérbola es e = c/a.

Puesto que c > a se verifica que e > 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un número mayor que 1.

Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.

Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar.

Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado en las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y aviones determinar su posición, sobre una carta marina.

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EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA HIPÉRBOLA

Si situamos el eje X en la línea de los focos de una hipérbola y el eje Y en la mediatriz del segmento FF′, entonces la ecuación de la hipérbola adopta la expresión siguiente, llamada ecuación reducida de una hipérbola:

Las asíntotas tienen las ecuaciones

Si a = b, la hipérbola es equilátera. Su ecuación es: x² – y² = a²

y sus asíntotas son las rectas y = x, y = -x.

También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y = a/x. Sus asíntotas son los ejes coordenados.