Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes

En un restaurante italiano, dos amigos han pedido dos pizzas del mismo tamaño. Uno quiere que se la sirvan dividida en cuatro partes iguales o porciones, de las que se termina comiendo tres, mientras que el otro pide que se la troceen en ocho porciones, de las que se come seis. ¿Cuál de los dos ha comido más?

¿CÓMO SABEMOS SI DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES?

Las fracciones representan partes de una unidad. Dos fracciones que representan la misma parte se llaman equivalentes.

Por ejemplo, al representar las fracciones

observamos que la superficie coloreada en ambos dibujos es la misma:

Ocupan, por tanto, la misma porción del círculo que representa la unidad: son dos fracciones equivalentes.

Para saber si dos fracciones son o no equivalentes, no es necesario representarlas, basta con multiplicarlas “en cruz”: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda; si estos productos son iguales, las fracciones son equivalentes:

Si quieres, puedes practicar con los ejemplos de la tabla siguiente:

¿CÓMO HALLAMOS FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA?

Podemos obtener fracciones equivalentes a otra de dos maneras: por amplificación y por simplificación.

Por amplificación: multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número. Por ejemplo:

Por simplificación: dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número. Por ejemplo:

Si quieres practicar, puedes obtener fracciones equivalentes a las fracciones de la tabla siguiente, de ambas formas.

FRACCIÓN IRREDUCIBLE

Se llama fracción irreducible a aquella que no se puede simplificar más.

Por ejemplo, vamos a simplificar la fracciónhasta obtener su fracción irreducible; para simplificar, dividimos numerador y denominador por el mismo número:

1.º) dividimos entre 2;

2.º) dividimos entre 2;

3.º) dividimos entre 3;

4.º) dividimos entre 5.

La fracción irreducible es ya que no la podemos seguir simplificando más: no existe ningún número común por el que podamos dividir a la vez a 1 y a 7.

Normalmente, cuando hacemos operaciones con fracciones y el resultado es otra fracción, hemos de simplificarla hasta obtener su fracción irreducible.

Si quieres, puedes practicar simplificando las siguientes fracciones hasta obtener su fracción irreducible:

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Cuando tengamos que comparar dos o más fracciones se nos dará una de estas tres situaciones: que tengan el mismo denominador, que tengan el mismo numerador o que tengan distintos numerador y denominador.

Si tienen el mismo denominador, por ejemplo:

Es menor la que tenga el menor numerador:

Si tienen el mismo numerador, por ejemplo:

Es menor la que tenga el mayor denominador:

Si tienen distintos numerador y denominador, por ejemplo:

Para poderlas comparar hemos de reducirlas primero a común denominador. Para ello, hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que en este caso será: m.c.m. (5, 2, 4, 3) = 4 × 3 × 5 = 60

Y hallamos las fracciones equivalentes a las anteriores, pero con el denominador común obtenido:

Y ahora, al tener el mismo denominador, ya sí que las podemos comparar:

Por tanto, 

Las fracciones

Las fracciones

Si partimos una pizza en ocho trozos iguales y comemos dos de ellos, decimos que hemos comido de la pizza “dos octavas partes”:

En un partido de baloncesto, que está dividido en cuatro tiempos iguales de diez minutos, se han jugado ya tres tiempos; decimos que se llevan jugadas del partido “tres cuartas partes”:

En la vida diaria, usamos las fracciones con más frecuencia de lo que pensamos...

TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN

Las fracciones representan partes de una unidad. Constan de dos términos:

·                     el numerador, que indica las partes iguales que se toman de la unidad;

·                     el denominador, que indica las partes iguales en que se divide la unidad.

REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES

Podemos representar una fracción, por ejemplo, mediante un círculo, un rectángulo o un cuadrado: dividimos la figura en tantas partes iguales como indique el denominador y sombreamos tantas partes como indique el numerador.

Por ejemplo: 

Si quieres, puedes practicar hallando la fracción que representa cada uno de los dibujos siguientes:

¿CÓMO SE LEEN LAS FRACCIONES?

Para leer una fracción primero se nombra el numerador y después el denominador, de la siguiente forma:

1. El numerador se nombra tal cual.

2. Si el denominador es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, se lee, respectivamente: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos o décimos. Si es un número mayor que 10, se lee el número terminado en avo, por ejemplo: 11, onceavos; 12, doceavos; 90, noventavos (ten en cuenta que, si el nombre del número del denominador termina en a, se elimina esta letra).

Si quieres, puedes practicar con las fracciones de la siguiente tabla:

¿CÓMO INTERPRETAMOS UNA FRACCIÓN?

Podemos interpretar una fracción de tres maneras, como parte de la unidad, como cociente o como operador:

Como parte de la unidad: una fracción representa un valor (dado por el numerador) con respecto a un “total” (dado por el denominador) que llamamos “unidad” (no lo confundas con el número 1). Por ejemplo, si nos hemos comido de una pizza, eso supone que del total, que son las cinco partes en que la hemos dividido, hemos tomado tres. Así pues, esta fracción representa “a tres de cada cinco”.

Como cociente: una fracción representa el cociente entre dos números, el numerador y el denominador. Por ejemplo, la fracciónrepresenta el cociente de tres entre seis, es decir, el resultado de dividir 3 entre 6, que es 0,5.

Como operador: una fracción actúa sobre cualquier número como si fuera un operador que actúa sobre el número multiplicándolo por el numerador, y dividiéndolo por el denominador. Por ejemplo, si queremos hallar las tres quintas partes de diez caramelos, haríamos:

Si quieres, puedes practicar efectuando los cálculos de la siguiente tabla:

CLASES DE FRACCIONES

Hay dos clases o tipos de fracciones:

·                     Las fracciones propias: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador (su cociente es un número menor que la unidad); por ejemplo:

·                     Las fracciones impropias: son aquellas en las que el numerador es igual o mayor que el denominador (su cociente es un número igual o mayor que la unidad); por ejemplo:

Cualquier número natural se puede escribir en forma de fracción impropia, dividiéndolo entre la unidad; por ejemplo:

NÚMEROS MIXTOS

Si en una fracción impropia dividimos el numerador entre el denominador, puede ocurrir una de estas dos cosas:

1. Que obtengamos un número natural, por ejemplo:

2. Que obtengamos un número mixto, que se llama así porque está compuesto de un número natural y de una fracción.

Por ejemplo, en la fracción al dividir el numerador entre el denominador obtenemos:

Y la fracción la podemos expresar así, como un número mixto:

Si quieres, puedes practicar con las fracciones siguientes:

FRACCIONES DECIMALES

Cualquier fracción, o equivale a un número natural, o se puede expresar como un número decimal, sin más que dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo:

Pero también al revés: podemos expresar cualquier número decimal como una fracción, que se llama fracción decimal. Para hallarla se siguen estos dos pasos:

1. Se escribe el número decimal sin la coma (y sin el cero, si era la cifra de las unidades).

2. Se divide entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el número decimal. Por ejemplo:

Las fracciones decimales son las que tienen por denominador la unidad seguida de ceros.

Potencias de números naturales

Potencias de números naturales

En la planta baja de mi colegio hay seis clases, y en cada clase las mesas están ordenadas en seis filas con seis mesas en cada fila. Si mi colegio tiene seis plantas iguales, ¿cuántas mesas hay en total en el colegio? La respuesta es 6 × 6 × 6 × 6 = 1.296 mesas.

Podemos expresar esta multiplicación de una forma más breve, que llamamos potencia: 6 × 6 × 6 × 6 = 6⁴

¿QUÉ ES UNA POTENCIA?

Una potencia es la manera abreviada en la que escribimos una multiplicación en la que todos sus factores son iguales.

Se llama base al factor que se repite en la multiplicación y exponente al número de veces que se debe multiplicar por sí misma la base. Por ejemplo:

que se leería “cinco elevado a dos” o “cinco al cuadrado”. Si el exponente fuera un 3, sería: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125y se leería “cinco elevado a tres“ o “cinco al cubo”.

Elevar un número al cuadrado es lo mismo que multiplicar ese número por sí mismo. Los cuadrados de los quince primeros números naturales son:

Elevar cualquier número al cubo es lo mismo que multiplicar por sí mismo tres veces ese número. Los cubos de los diez primeros números naturales son:

Potencias con exponente mayor que 3, por ejemplo 4, 5, 6…, se leen: “a la cuarta”, “a la quinta”, “a la sexta”…

Si quieres, puedes practicar con los siguientes ejemplos:

Algunas potencias de números naturales
Potencia	Base	Exponente	Se lee...	Y vale...
72	7	2	Siete al cuadrado	7 x 7 = 49
43	4	3	Cuatro al cubo	4 x 4 x 4 = 64
24	2	4	Dos a la cuarta	2 x 2 x 2 x 2 = 16
65	6	5	Seis a la quinta	6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7.776
16	1	6	Uno a la sexta	1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1
37	3	7	Tres a la séptima	3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2.187

POTENCIAS DE BASE 10

Para escribir números grandes de forma abreviada usamos las potencias de base 10, que son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Así,

·                     El número cien: 100 = 10 × 10 = 10²

·                     El número mil: 1.000 = 10 × 10 × 10 = 10³

·                     El número diez mil: 10.000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴

·                     El número cien mil: 100.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁵

·                     El número un millón: 1.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁶

·                     El número diez millones: 10.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁷ ,y así sucesivamente.

Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol, que es de unos 150.000.000 km, la podemos escribir como 15 × 10⁷ km.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUMA DE POTENCIAS DE BASE 10

Podemos descomponer cualquier número natural como suma de los productos de cada una de sus cifras por la potencia de base 10 que corresponde al orden de unidad que ocupa cada cifra.

Fijándonos en la tabla, en la que aparecen los seis primeros órdenes de unidades, vamos a descomponer, por ejemplo, los números: a) 608.912, y b) 45.768.

a) 608.912 = 6 CM + 0 DM + 8 UM + 9 C + 1 D + 2 U

608.912 = 600.000 + 0 + 8.000 + 900 + 10 + 2 = 6 × 100.000 + 8 × 1.000 + 9 × 100 + 1 × 10 + 2 = 6 × 10⁵ + 8 × 10³ + 9 × 10² + 1 × 10 + 2

b) 45.768 = 4 DM + 5 UM + 7 C + 6 D + 8 U

45.768 = 4 × 10.000 + 5 × 1.000 + 7 × 100 + 6 × 10 + 8 = 4 × 10⁴ + 5 × 10³ + 7 × 10² + 6 × 10 + 8

Órdenes de unidades
Centena de millar	Decena de millar	Unidad de millar	Centena	Decena	Unidad
1 CM = 100.000 U = 105 U	1 DM = 10.000 U = 104 U	1 UM = 1.000 U = 103 U	1 C = 100 U = 102 U	1 D = 10 U	1U