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Probabilidad





En una carta escrita el 29 de julio de 1654, Pascal respondía a Fermat sobre el “problema de las partes” (sobre cómo repartir las ganancias conseguidas al apostar en una partida de dados). Podemos decir que ese día nació la probabilidad. Bernoulli y después Poisson ampliaron esta rama de las matemáticas, hasta adquirir, ya en el siglo XX, las bases teóricas necesarias para concebir las leyes de todas las ciencias, desde la física hasta la sociología.

I. Definir una probabilidad
Se parte de una experiencia aleatoriaE, llamada así porque conocemos todos los resultados posibles, pero no podemos predecir de antemano qué resultado se va a dar.
Para definir una probabilidad sobre E, seguimos estas etapas:
—usando, por ejemplo, un diagrama en árbol, podemos determinar todos los resultados posibles de la experiencia aleatoria; así se define el espacio muestral como el conjunto formado por todos los resultados posibles de E. Tenemos ;
—se le atribuye una posibilidad a cada resultado, es decir, que a cada ei se le asocia un número pi tal que:


Para determinar los valores pi disponemos de dos posibilidades:
—podemos asociar la misma probabilidad a todos los resultados, con lo que ; entonces decimos que son equiprobables;
—podemos repetir la experiencia en idénticas condiciones, y definir pi como la frecuencia de ei cuando el número de repeticiones tiende hacia .
Una vez establecidas las probabilidades, podemos presentarlas en una tabla:


Nota: la primera etapa es esencial. Se trata de entender la experiencia, visualizarla y simularla, de manera que deduzcamos cuáles son todos los resultados posibles.
II. Calcular la probabilidad de un suceso
Sea E una experiencia aleatoria y   el espacio muestral asociado a E; se llama suceso de la experiencia aleatoria E a todo subconjunto de . O dicho de otra forma, un suceso A pertenece a .
Si xi pertenece a A, también podemos decir que xi verifica A.
Un suceso elemental es un suceso constituido por un único elemento de , es decir, por un suceso simple .
La probabilidad P(A) de un suceso A es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo constituyen. En caso de que sean equiprobables, entonces cada suceso ei tiene una probabilidad de . Así, si Acontiene m elementos, . Dicho de otra forma:

Notas:
—La probabilidad de un suceso elemental es pi.
— es el llamado suceso seguro, ya que su probabilidad es .
—Al subconjunto vacío, representado por , se le llama suceso imposible, ya que su probabilidad es .
III. Calcular la probabilidad de la unión de A y B
Sean A y B dos sucesos de una misma experiencia aleatoria.
es el suceso formado por los elementos que pertenecen a A o a B.
es el suceso formado por los elementos que pertenecen a A y a B.
Cuando , es decir, cuando no hay ningún elemento que pertenezca a la vez a A y a B, decimos que A y B son sucesos incompatibles.
Para dos sucesos cualesquiera A y B se cumple que: .
Si A y B son sucesos incompatibles: .
IV. Calcular la probabilidad de un suceso contrario
El suceso contrario a A, representado por , es el suceso que tiene lugar cuando no ocurre A. Está formado por los elementos que no pertenecen a A.
Tenemos: .
Usando las propiedades vistas en el apartado anterior, podemos demostrar que para todo suceso A se cumple que: .
Recuerda
—Para definir una probabilidad, asociamos a cada elemento xi un número positivo pi tal que: .
—La probabilidad P(A) de un suceso A es la suma de las probabilidades de los elementos que lo componen.
—En caso de que sean equiprobables, .
—Si A y B son dos sucesos cualesquiera, se cumple que: .
—Para cualquier suceso A se cumple que: .

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