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Reducir fracciones a común denominador






Para reunir el dinero necesario para comprar una pulsera a su madre, Bruno le da a su padre del precio del regalo, y Celia le da . ¿Quién ha aportado más dinero, Bruno o Celia?

Con la ayuda de una calculadora, podemos comprobar que:    0,086 y    0,089. Por lo tanto, es Celia quien más dinero ha dado.
¿Existe algún otro método para resolver este tipo de problemas?

I. El método
1. Comprobar si dos cantidades escritas en forma de fracción son iguales
Regla: si en una fracción multiplicamos el numerador y el denominador por una misma cantidad distinta de cero, el valor de la fracción no cambia.
Es decir, podemos escribir, con letras (ac y k representan números;   0 y   0): 
Ejemplos, y con un número entero: 
Este tipo de fracciones recibe el nombre de fracciones equivalentes.
Ahora que sabemos obtener la fracción equivalente a una dada, veamos un método para comprobar si dos fracciones cualesquiera son equivalentes:
Dos fracciones son equivalentes si su producto cruzado es igual. Es decir, son equivalentes si a · b · c.
Ejemplo 1: queremos comprobar si son equivalentes. Hacemos el producto cruzado: 84 · 5 y 7 · 60. Efectivamente, comprobamos que 84 · 5 = 7 · 60 ya que 420 = 420.
Ejemplo 2: queremos comprobar si son equivalentes. Hacemos el producto cruzado: 9 · 48 y 12 · 27. Comprobamos que no son equivalentes porque 432 ≠ 324.
2. Reducir a común denominador usando tablas
Ejemplo 1: queremos escribir las fracciones con el mismo denominador.
Observa que 30 es un múltiplo de 5 (30 = 5 × 6). Entonces calculamos una fracción equivalente a que tenga por denominador el número 30; para ello multiplicamos sus términos por 6:

Ahora ya podemos escribir de esta otra forma: .
A este proceso se le denomina reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo 2: ahora vamos a reducir a común denominador. Este caso no es tan sencillo como el anterior. En la tabla de abajo hemos escrito los múltiplos de 12 en la fila superior y los múltiplos de 20 en la inferior. Ahora, mirando en ambas filas, buscamos un número que esté en las dos, y encontramos el 60.

60 es al mismo tiempo múltiplo de 12 (60 = 5 × 12) y de 20 (60 = 20 × 3). Por consiguiente, es el número que vamos a utilizar para reducir a común denominador.

Hemos reducido a común denominador: .
Nota: 60 es el múltiplo común más pequeño de 12 y de 20. Normalmente se dice que “el mínimo común múltiplo de 12 y de 20 es 60”. Esto lo podemos escribir así: m.c.m. (12, 20) = 60.
Ejemplo 3: reduce  , a común denominador.
Podemos usar el mismo método, pero en esta ocasión construiremos una tabla de tres filas, una para cada denominador.

Utilizando el mismo procedimiento que en el caso anterior, escogemos 42 como mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 6, 14 y 21. De esta forma tenemos:
 ;  ; 
Hemos reducido a común denominador.
Nota: 42 es el múltiplo común más pequeño de 14, 21 y 6. En lugar de dibujar la tabla para calcular el m.c.m. de varios números, podemos utilizar otro método más rápido, que vamos a exponer a continuación.
3. Reducir a común denominador por descomposición factorial
Vamos a reducir a común denominador . Para ello hay que calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores, pero lo vamos a hacer usando su descomposición factorial. Por lo tanto, descomponemos cada denominador en su producto de factores primos:

Así tenemos que:

Recuerda que para calcular el m.c.m. tomamos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, esto es: 22 · 32 = 4 · 9 = 36. Por tanto, el m.c.m. (12, 9, 18 y 6) = 36. Ya tenemos el número que va a ser el común denominador: 36.
Ahora tenemos que hallar las nuevas fracciones equivalentes a que tengan 36 como denominador. Por eso tenemos que calcular el nuevo valor para cada uno de los numeradores, ; procedemos de la siguiente forma:
A) dividimos 36 entre el denominador antiguo;
B) multiplicamos el resultado por el numerador antiguo;
C) escribimos la fracción con su nuevo numerador.

II. Aplicaciones
1. Comparar dos números fraccionarios
Regla: para comparar dos fracciones las reducimos a común denominador y, a continuación, comparamos los numeradores: será mayor de las dos aquella que tenga mayor numerador. Podemos usar esta regla para ordenar fracciones, ya sea en orden creciente o decreciente.
Notas:
—Si las dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor aquella cuyo numerador es mayor. Por ejemplo: queremos comparar ; entonces porque 19>13.
—Si las dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. Por ejemplo, queremos comparar ; entonces porque 12<23 .="" br="">Ejemplo 1: queremos comparar .
El método consiste en reducirlas a común denominador para poder compararlas. Para ello hallamos el mínimo común múltiplo de 21 y 35. El primer paso es hacer la descomposición factorial:
, y entonces, 
Hallamos las fracciones equivalentes a , con denominador 105:

Podemos decir que , por lo tanto, .
Ejemplo 2: queremos comparar .
Hallamos el mínimo común múltiplo de 7 y 10. El primer paso es hacer la descomposición factorial:
, y entonces, 
Hallamos las fracciones equivalentes a con denominador 70:

Podemos decir que , por lo tanto, .
2. Calcular una suma de fracciones
Queremos calcular .
Reducimos a común denominador; para ello calculamos el mínimo común múltiplo de 15, 6 y 20. El primer paso es hacer la descomposición factorial:
, y entonces, 
Hallamos ahora las fracciones equivalentes con denominador 60:

Ya podemos sumar: . Y si simplificamos el resultado:
, es decir, .
Por lo tanto, 
Ver también los artículos Simplificar fracciones, Sumar y restar fracciones y Reconocer fracciones equivalentes.

 

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