Construir la imagen de una figura por un giro

Al comparar una figura con la imagen que se obtiene al hacerla girar en un plano, observamos que se mantienen su forma y su tamaño. Pero, ¿cómo construimos la imagen de una figura por un giro, y cuáles son las propiedades de esta transformación?

I. Definición
Sean O y M dos puntos diferentes del plano, y α un ángulo dado en grados .
Llamemos M' a un punto sobre la circunferencia con centro en O que pasa por M y tal que .
Si al recorrer el arco MM', nos movemos de M a M' en el sentido de las agujas del reloj, decimos que el punto M' es la imagen de M por el giro de centro O y ángulo α, en el sentido de las agujas del reloj.

Si al recorrer el arco MM', nos movemos de M a M' en el sentido contrario a las agujas del reloj, decimos que el punto M' es la imagen de M por el giro de centro O y ángulo α, en sentido contrario a las agujas del reloj.

Caso particular:
Si O es el punto medio de un segmento MM', entonces M' es la imagen de M por un giro de 180° con centro en O (en este caso, el sentido no importa); la imagen de un punto O por un giro de centro O es el mismo puntoO.

Ejemplos: sobre la figura 4, podemos decir que:
—el punto M' es la imagen del punto M por un giro de 120° de centro O en sentido contrario a las agujas del reloj;
—el punto B es la imagen del punto A por un giro de 45° de centro I en el sentido de las agujas del reloj.

Nota: si no se especifica el sentido en que se realiza el giro, se escoge el sentido antihorario, contrario a las agujas del reloj. Esto es lo que sucede en todos los ejemplos que vienen a continuación.
II. Figuras elementales
1. Imagen de una recta
En la figura 5 construimos la imagen de una recta d por un giro de 70° de centro O. Para ello, hemos situado los puntos A, B, C, E y F sobre la recta d y hemos construido sus respectivas imágenes por dicho giro. Comprobamos que los puntos A', B', C', E' y F' están alineados.

Así, admitiremos esta propiedad: un giro transforma puntos alineados en puntos alineados.
Si d' es la recta que pasa por los puntos A', B', C', E' y F', admitiremos que d' es la imagen de la recta d por un giro de 70° de centro O.
Propiedad: la imagen de una recta por un giro es una recta.
2. Imagen de un segmento
En la figura 6, construimos la imagen de un segmento AB por un giro de 90° de centro O. Para ello, hemos obtenido las imágenes A' y B' de A y B por este giro.

Admitimos que el segmento A'B' es la imagen del segmento AB por un giro de 90° de centro O. Observamos que los segmentos AB y A'B' tienen la misma longitud.
Admitiremos esta propiedad general de los giros: un giro conserva las longitudes, es decir, si A' y B' son las imágenes respectivas de A y B por un giro, entonces A'B'= AB.
3. Imagen de un triángulo
En la figura 7, construimos la imagen de un triángulo por un giro de 120° de centro O. Para ello, hemos obtenido las imágenes A', B' y C' de A, B y C por este giro.

Admitimos que el triángulo es la imagen del triángulo por un giro de 120° de centro O. Observamos que los ángulos y tienen la misma amplitud.
Admitiremos esta propiedad general de los giros: un giro conserva los ángulos, es decir, si A', B' y C' son las imágenes de tres puntos distintos por un giro, entonces .
4. Imagen de una figura cualquiera
Las propiedades generales de un giro que hemos visto anteriormente nos permiten afirmar que los giros mantienen la forma y el tamaño de las figuras.
Por ejemplo, la imagen de un círculo por un giro es otro círculo con el mismo radio, y la imagen de un cuadrado por un giro es otro cuadrado con el mismo lado.
III. Figuras que no varían al girar
La figura 8 representa un cuadrado ABCD de centro O.
Construimos la imagen de este cuadrado por un giro de 90° de centro O. Para ello, construimos las imágenes de los puntos A, B, C y D por este giro.
Comprobamos que: A tiene como imagen a D, B tiene como imagen a A, C tiene como imagen a B, y D tiene como imagen a C.
Por tanto, la imagen del cuadrado ABCD por un giro de 90° es el mismo cuadrado ABCD. Podemos decir que el cuadrado no varía por este giro.

Nota: todo polígono regular con n lados y de centro O no varía por un giro de con centro en O.