iPod

iPod es una marca de reproductores multimedia portátiles diseñados y comercializados por Apple Inc. y presentados el 23 de octubre de 2001.

La línea de productos incluye el iPod Classic, iPod Touch, iPod Mini, iPod Nano y el iPod shuffle. El iPhone puede funcionar como un iPod pero en general es tratado como un producto por separado. Algunos modelos anteriores y descatalogados de la familia iPod son el iPod Mini y el iPod Photo (al integrarse en la línea de iPod classic) aunque el pasado 2007 se descubrió que había grandes errores de producción, 1 de cada 100 productos de Apple Inc. tiene el número de serie repetido. Esto fue una falla en las máquinas de grabado, pero hay otro número en el capacitor (la memoria donde se guarda toda la información) que permitió la distinción. Fue la única manera de ver el número de serie real. Esto se descubrió porque en Estados Unidos se registraron más de 300.000 casos en Washington D.C.

El iPod Classic almacena la multimedia en un disco duro interno, mientras que el resto de los modelos hace uso de una memoria flash para permitir su menor tamaño (el iPod Mini utiliza un disco duro "Microdrive"). Como ocurre con muchos otros reproductores de música digital, los iPod, con excepción del iPod touch, también puede servir como dispositivos de almacenamiento de datos externos. La capacidad de almacenamiento varía según el modelo.

El software Apple iTunes se puede utilizar para transferir música al iPod desde un ordenador que utiliza ciertas aplicaciones Apple para Macintosh y Microsoft Windows. Para los usuarios que eligen no utilizar el software de Apple o en cuyos equipos no se puede ejecutar iTunes, existen varias alternativas de código abierto.(Aunque no garantizan un buen funcionamiento, ya que el iPod correponde íntegramente a las capacidades del iTunes) [3]

Desde iTunes y sus alternativas, se pueden transferir fotos, vídeos, juegos, información de contacto, correo electrónico, favoritos web, y calendarios para los modelos de iPod que soportan estas características. Apple se centró en el desarrollo de su línea iPod en la interfaz de usuario única y su facilidad de uso, en lugar de capacidad técnica. A partir de septiembre de 2007, más de 150 millones de iPod se han vendido en todo el mundo, convirtiéndose en el reproductor de música digital mas vendido.

Historia

El iPod fue originalmente concebido por Tony Fadell,[5] al margen de Apple. Fadell enseñó su idea a Apple, y fue contratado como independiente para llevar su proyecto al mercado. Fadell y su equipo fueron responsables de las dos primeras generaciones de iPod. Desde entonces, el iPod ha sido diseñado por el equipo de Jonathan Ive.

El iPod fue evolucionando, se crearon nuevos modelos como el iPod mini (que posteriormente dio paso al iPod nano), el iPod shuffle, se le integro la capacidad de reproducir videos y posteriormente se le integró la tecnología multitouch del iPhone con el iPod touch y el ipod nano 6 generación. en la imagen podemos ver un iPod shuffle de cuarta generación, un iPod nano de sexta generación, un iPod classic de séptima generación y un iPod touch de cuarta generación.

Integración y nuevos modelos

A finales de junio de 2005 Apple integró iPod 4G con el iPod photo. Ahora todos los modelos blancos tienen pantalla en color y capacidad para almacenar y reproducir música y fotografías. Actualmente hay dos modelos, con capacidades de 20 GB y 60 GB.

El 12 de octubre de 2005 Apple sacó el iPod 5G, que presenta una pantalla en color de 2,5 pulgadas, capaz de mostrar portadas de álbumes y fotografías, así como de reproducir imágenes de vídeos musicales, podcasts en vídeo, películas domésticas y programas de televisión.

El 7 de febrero de 2006 Apple presentó un nuevo modelo para nano, el cual tiene 1 GB. Con esto, Apple planea hacer los iPods más accesibles que nunca. Además Shuffle baja también de precio en el modelo de 512 MB y el de 1GB.

El 6 de junio de 2006 Apple presentó la versión especial del iPod 5G (video) del grupo musical U2, Al igual que su predecesor, este iPod lleva grabadas al dorso metálico las firmas de los cuatro componentes del grupo musical, en cambio esta vez es la primera en la que la compañía cambia el color de este metal (en este modelo no es plateada sino negra). Este iPod sólo está disponible con la capacidad de 30GB. Esta edición especial añade al pack un video exclusivo de 30 minutos con entrevistas y actuaciones de U2.

En septiembre de 2006 salió al mercado la versión mejorada de la quinta generación del iPod, también conocida como iPod 5.5G. El cambio consiste en que tiene una batería más eficiente y una mejor iluminación.

El 5 de septiembre de 2007 Apple presentó las siguientes generaciones de los iPod: el iPod fue rebautizado «iPod classic» y se incrementaron sus capacidades; el iPod nano fue completamente rediseñado, y se agregó a la línea el iPod Touch, que posee la gran pantalla táctil y características de audio, vídeo, fotos y navegación por Internet a través de Wi-Fi, similar al iPhone.

El 15 de enero de 2008 en el MacWorld, se anunció un cambio en el software del ipod touch, el cual incorporó nuevas aplicaciones: Correo electrónico capaz de visualizar páginas en HTML, abrir documentos en PDF, Microsoft word y Excel, así como Google Maps, que mediante triangulación con redes Wi-Fi puede mostrar la ubicación aproximada del iPod y dar instrucciones en pantalla para ir de un punto a otro.

El iPad

El iPad es un dispositivo electrónico tipo tablet desarrollado por Apple Inc. Anunciado el 27 de enero de 2010, se sitúa en una categoría entre un "teléfono inteligente" (smartphone) y un portátil, enfocado más al acceso que a la creación de contenido.^[1]

Las funciones son similares al resto de dispositivos portátiles de Apple, como es el caso del iPhone o iPod touch, aunque la pantalla es más grande y su hardware más potente. Funciona sobre una versión adaptada del sistema operativo iOS,  con una interfaz de usuario rediseñada para aprovechar el mayor tamaño del dispositivo y la capacidad de utilizar software para lectura de libros electrónicos y periódicos, navegación web y correo electrónico, además de permitir el acceso al usuario a otras actividades de entretenimiento como películas, música y videojuegos.  Posee una pantalla con retroiluminación LED y capacidades multitáctiles de 9,7 pulgadas (24,638 cm), de 16 a 64 gigabytes (GB) de espacio en memoria flash, Bluetooth, y un conector dock de 30 pines que permite la sincronización con el software iTunes además de proporcionar conexión para diversos accesorios.  Existen dos modelos: uno con conectividad a redes inalámbricas Wi-Fi 802.11n y otro con capacidades adicionales de GPS y soporte a redes 3G (puede conectarse a redes de telefonía celular HSDPA). Ambos modelos pueden ser adquiridos en tres capacidades de almacenamiento distintas.

Hardware

Especificaciones de hardware para los dos modelos]
Producto	Apple iPad
Modelo	Modelo WiFi	Modelo 3G
Fecha de lanzamiento	3 de abril de 2010 EEUU; 28 de mayo de 2010 España 23 de junio de 2010 México	30 de abril de 2010 EEUU; 28 de mayo de 2010 España 23 de junio de 2010 México
Pantalla	4:3 9.7" (20 cm × 15 cm) LCD IPS con retroiluminación LED
Tarjeta de video	1024 × 768 píxeles, 132 ppi
Microprocesador	1 GHz Apple A4 SoC[7]
Almacenamiento (memoria flash)	16, 32 o 64 GB
Wi-Fi	IEEE 802.11n-2009 y Bluetooth 2.1 + EDR
3G	—	HSDPA mediante micro-SIM
Sistema operativo	iOS 3.2.x
Batería	Batería integrada de polímeros de ion de litio - 25 W·h (soporta 10 horas de uso, 140 horas de música,  un mes en modo standby)
Peso	0,68 kg (1,5 libras)	0,73 kg (1,6 libras)
Dimensiones	9,56 pulgadas (24,2824 cm) x 7,47 pulgadas (18,9738 cm) x 0,5 pulgadas (1,27 cm)

Fuente: Wikipedia.

Atari

Tipo	Privada
Fundación	1972
Sede	New York, N.Y.,  Estados Unidos
Industria	Ocio electrónico
Productos	Franquicia Dragon Ball Franquicia Driver
Ingresos	$468.9 millones USD (2004)
Empleados	1800 (2005)
Sitio web	www.atari.com

Atari, Inc. es una empresa que desarrolla, publica y distribuye videojuegos para consolas y computadoras personales. Es una de las productoras de videojuegos independientes más grande en Estados Unidos. Es propiedad de Infogrames Entertainment S.A. (IESA).

La empresa que actualmente maneja el nombre Atari fue fundada en 1993 bajo el nombre de GT Interactive. GT Interactive fue adquirido por IESA en 1999 y cambió su nombre a Infogrames Inc. Infogrames adquirió la marca Atari, comprándola a Hasbro Interactive, que a su vez la adquirió de manos de JTS Corporation.

Infogrames, Inc. ocasionalmente usó el nombre Atari como marca, para títulos especiales, antes de que IESA cambiara oficialmente su nombre a Atari, Inc en el año 2003.

La Atari original fue pionera en juegos arcade, videojuegos caseros y microcomputadores personales, y su dominio en éstas áreas la mantuvo como la mayor fuerza en la industria de la computación y el entretenimiento desde principios hasta mediados de la década de los años 1980. La marca también fue usada varias veces por Atari Games, una división de la empresa en 1984.

Atari ha estado presente desde los primeros días de las máquinas de arcade, Atari fue creador de las consolas caseras, como la Atari 2600 (llamada originalmente VCS "Video Computer System" -- Sistema Informático de Vídeo); produjo una serie de computadores de 8 bits (Atari 400/800 y la serie XL/XE); tomó parte en el mercado de los 16 bits con el Atari ST; creó la consola Atari Jaguar de 64 bits, revolucionaria para su época; y lanzó una cónsola portátil, la Atari Lynx.

 Los setenta: El nacimiento del imperio de los videojuegos

Fundada en los Estados Unidos en 1972 por Nolan Bushnell y Ted Dabney, Atari puede ser considerada la fundadora de la industria del videojuego, gracias al PONG. La versión casera de PONG, que se conectaba a una televisión, fue una de las primeras consolas de videojuegos.

Atari fue originalmente llamada Syzygy, un término astronómico. Sin embargo, ese nombre ya había sido registrado por otra empresa, Bushnell escribió algunas palabras del juego Go, y eligió la palabra Atari que en japonés significa "que una ficha o un grupo de fichas está en peligro de ser capturadas por tu oponente. El nombre "Atari" fue elegido por el atractivo de su origen nipón, además es fácil de memorizar, en términos de pronunciación y escritura, en la mayoría de los mercados.

En 1973, Atari crea secretamente un "competidor" llamado Kee Games, manejado por Joe Keenan. La relación fue descubierta en 1974, Joe Keenan hizo tan buen trabajo que fue ascendido a la presidencia de Atari ese mismo año.

Bushnell vendió Atari a Warner Communications en 1976 en un estimado de $28–$32 millones de dólares, usando parte de este dinero para comprar la mansión Folgers. Él dejó la división en 1979. Mientras era propiedad de Warner, Atari conseguía sus mayores éxitos, vendiendo millones de consolas Atari 2600 (VCS). En su momento cumbre, Atari producía un tercio de los ingresos de la empresa Warner, y pasó a ser la empresa de crecimiento más rápido en los Estados Unidos, récord que mantiene hasta hoy.

Aunque Atari dominaba casi completamente el mercado de las videoconsolas caseras, experimentó su primera competencia férrea en 1980 con la consola Intellivision de Mattel, que hizo publicidad de su mayor capacidad gráfica, comparada con la Atari 2600. A pesar de esto, la 2600 siguió siendo el estándar de la industria dada su superioridad en el mercado, y además el número de títulos disponibles para su consola.

Sin embargo, Atari tuvo problemas a comienzos de los 80's. La división de computadores caseros, consolas de videojuegos y máquinas de arcade (esos típicos juegos operados con monedas que se ponen en lugares públicos), operaban independientemente dentro de la empresa y rara vez cooperaban entre sí. Enfrentados a una dura competencia y en una guerra de precios en el mercado de las computadoras y las consolas, Atari nunca fue capaz de seguir en la línea del éxito del 2600. En 1982, Atari lanzó decepcionantes versiones de dos juegos altamente publicitados, como Pac-Man y E.T, causando una montaña de material no vendido, tirando los precios al suelo. También en 1982, Atari inició un juicio contra Activision, un competidor en el desarrollo de juegos, conformado en su mayoría por ex-empleados de Atari, que finalmente abrieron el mercado a empresas independientes que desarrollaban juegos. El mercado se saturó rápidamente, bajando aún más los precios. Además, en diciembre de 1982, los ejecutivos de Atari, Ray Kassar y Dennis Groth, fueron investigados por uso indebido de información privilegiada ("insider trading" en inglés). Más tarde se sabría que estas informaciones carecían de fundamento.

Por otra parte, Larry Emmons, un importante empleado que se había retirado en 1982, encabezó la investigación y el desarrollo de un pequeño grupo de talentosos ingenieros en Grass Valley, California. La consola Atari 5200, fue lanzada como la siguiente generación de consolas 2600. Aunque estaba basada en los computadores Atari 800, no eran compatibles con los cartuchos de esa máquina. Sus ventas no estuvieron a la altura de las expectativas de la empresa.

Así y todo, Atari mantenía una envidiable posición en el mercado mundial de los videojuegos. Eran los productores número uno de todos los mercados, excepto en Japón, cuyo mercado era dominado por Nintendo, quien en 1983 había lanzado su primera consola de juegos, la Famicom (conocida en el resto del mundo como NES). El sistema creció rápidamente, y Nintendo comenzó a mirar otros mercados. Se acercaron a Atari y les ofrecieron un contrato de licenciamineto: Atari podría hacer y vender el sistema Famicom, pagándole un royalty a Nintendo. El trato tenía opciones de prosperar y las dos empresas supuestamente firmarían el trato en la Feria del Consumidor de Electrónica (en inglés: Consumer Electrónics Show CES del verano de 1983. Desafortunadamente al mismo tiempo Coleco mostraba su nuevo computador Adam corriendo el juego Donkey Kong de Nintendo, pero Atari tenía los derechos para publicar Donkey Kong, es así que el ejecutivo más importante de Atari, Ray Kassar, acusó a Nintendo de hacer dobles tratos con la licencia de Donkey Kong. Al mes siguiente Ray Kassar fue forzado a dejar Atari y los ejecutivos involucrados en el trato con Nintendo fueron obligados a comenzar de nuevo desde cero.

Estos problemas fueron seguidos por la caída del mercado de los videojuegos en 1983, que causó pérdidas por más de US$ 500 millones a la industria. El precio de las acciones de Warner cayó de US$60 a US$20 y Warner comenzó a buscar comprador para su problemática división (ATARI).

En julio de 1984, Warner vendió las divisiones de computadores personales y videojuegos a Jack Tramiel, fundador del competidor directo de Atari, Commodore International, bajo el nombre de Atari Corporation por U$240 millones. Warner retuvo la división de juegos de arcade, bajo el nombre de Atari Games y finalmente la vendió a Namco en 1985.

Bajo la administración de Tramiel, Atari Corp. utilizó el stock de computadores y consolas para mantener la empresa a flote, mientras terminaban con el desarrollo de su sistema de 16 bits, el Atari ST. En 1985 lanzan la actualización para los sistemas de 8 bits, la serie XE, así como la línea ST de 16 bits. Más tarde, en 1986, Atari lanzó dos consolas diseñadas en el tiempo de Warner, la Atari 2600jr y la 7800 Prosystem (que había tenido un lanzamiento limitado en 1984). Crecieron las arcas, teniendo utilidades por US$ 25.000.000 ese año. La serie ST tuvo un muy buen recibimiento en el mercado europeo, aunque no tanto en Estados Unidos. Fue especialmente popular entre músicos, porque todos los modelos incluían puertos MIDI integrados. Atari además lanzó una serie de computadores económicos compatibles con los PC de IBM y una computadora de bolsillo (PDA), la Atari Portfolio.

En 1989, Atari lanzó la consola portátil en colores, Atari Lynx. Sin embargo, no pudo ser lanzada exitosamente en la temporada navideña de 1989, dando gran ventaja a su competidor, Nintendo Game Boy. Además en 1989, Atari Corp. demandó a Nintendo por U$ 250 millones, alegando monopolio, Atari perdió el juicio.

Mientras se acababan los dividendos de los clónicos IBM y la línea ST, consolas y programas, volvían a ser el plato fuerte de Atari. En 1993, Atari lanzó "JAGUAR", su última consola, la cual era la primera de la generación de 64 bits. Después de un periodo de relativo éxito, las ventas no cumplieron las expectativas. No tuvo tanta publicidad como la Sony PlayStation o la Sega Saturn y le faltó apoyo de los desarrolladores externos de juegos, así sus competidores japoneses dominaron sin dificultades el mercado.

En 1996, una serie de juicios seguidos por lucrar con sus investigaciones dejó a Atari con varios millones de dólares en caja, pero el rotundo fracaso de la Atari Lynx y de Jaguar, tenían a la empresa sin productos que ofrecer. Además, Tramiel y su familia dejaron el negocio, con el resultado de un rápido cambio de dueños. En julio de 1996, Atari se fusionó con JTS Inc., una empresa relativamente nueva que producía discos duros, para convertirse en JTS Corp. El rol de la marca Atari en la nueva empresa tuvo una trascendencia pequeña, por lo mismo el nombre como tal desapareció del mercado.

• El nombre Atari es una palabra japonesa empleada en el juego de go, que advierte al oponente de que la jugada que uno acaba de hacer es peligrosa.
• En la película Blade Runner aparece Atari en algunos de los letreros luminosos de las calles de Los Ángeles.
• Uno de los personajes de la película Viaje censurado lleva una camiseta con el logotipo de Atari.
• Steve Wozniak diseñó el esquema eléctrico del juego por encargo de Atari, aunque al final no lo pudieron usar por ser demasiado complicado. Más tarde, cuando diseñaron el Apple II, insistió en incluir ese juego y desarrollar un paddle para el Apple.

• En la película Wall-E de Disney, que salió en el año 2008, el robot protagonista encuentra entre toda la basura un Atari y una TV, enciende la Atari, y aparece el juego Pong.
• En algunos episodios de la serie El coche fantástico se puede ver un joystick de Atari. En concreto, en el episodio en que un hacker informático se hace con el control del coche, usando el joystick para gobernar la dirección del movimiento.
• En la película Terminator II: El juicio final, John Connor aun niño junto a un amigo roban dinero de un cajero automático con ayuda de un Atari Portfolio.

Adaptadores gráficos

CGA, siglas de Color Graphics Adapter, adaptador para gráficos a color. Fue el primer modo de vídeo estándar que se creó para el ordenador IBM PC. Se introdujo en 1981 en ordenadores destinados a juegos, ya que podía presentar en la pantalla hasta cuatro colores a la vez.

Precisaba de un monitor de color digital, de tipo RGB (Red-Green-Blue, rojo-verde-azul). Las primeras tarjetas CGA tenían una conexión especial con la que se podían conectar a un televisor.

Era un sistema de baja resolución, que no permitía sofisticadas tareas de edición de caracteres o el trabajo con aplicaciones de gráficos avanzados. Se presentaba en dos modos gráficos, uno de resolución 320 píxeles horizontales por 200 verticales, con cuatro colores, y otro de 640 píxeles horizontales por 200 verticales, con dos colores. Este modo de vídeo fue superado más tarde por los adaptadores EGA y VGA.

VGA, en informática, acrónimo de Video Graphics Array, un adaptador de vídeo presentado por IBM en 1987. El adaptador VGA reproduce todos los modos de vídeo de la tarjeta EGA (acrónimo de Enhanced Graphics Adapter) e incorpora varios modos adicionales. Los nuevos modos más conocidos son el de 640 píxeles horizontales por 480 verticales, con 16 colores simultáneos a elegir de una paleta de 262.144 colores, y el modo de 320 píxeles horizontales por 200 verticales, con 256 colores a elegir de una paleta de 262.144 colores. Véase Ordenador o computadora; Monitor; Píxel.

SVGA

SVGA, siglas de Super Video Graphics Array, super adaptador de gráficos de vídeo. Es una versión mejorada del adaptador de vídeo VGA (Video Graphics Array), introducido por IBM en 1987.

Soporta una resolución de 800×600 píxeles y tiene una paleta que puede alcanzar hasta 16 millones de colores, aunque el número de ellos que puede mostrar un monitor de forma simultánea depende de la memoria de vídeo que tenga instalada el sistema.

Más recientemente se han establecido especificaciones de adaptadores de gráficos más avanzadas, como XGA (eXtended Graphics Array, matriz de gráficos extendida), con una resolución de 1.024×768 píxeles, SXGA (Super Extended Graphics Array), de 1.280×1.024 píxeles, y UXGA (Ultra Extended Graphics Array), que llega hasta 1.600×1.200 píxeles de resolución. Estas tarjetas gráficas se utilizan para trabajar con gráficos 3D avanzados, como los que se emplean en los juegos.

Teoría de matrices y Álgebra lineal

Teoría de matrices y Álgebra lineal, ramas de las matemáticas, relacionadas entre sí, que son herramientas fundamentales en las matemáticas puras y aplicadas, y cada vez más importantes en las ciencias físicas, biológicas y sociales.

TEORÍA DE MATRICES

Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.

Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes: 

En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera. Para delimitar la matriz, en vez de paréntesis, se pueden utilizar también corchetes.

Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha. Utilizando esta notación, el elemento de la segunda fila y tercera columna de M₁ es -1. Tanto a las filas como a las columnas se las denomina líneas.

El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en este orden, así M₁, M₂, M₃ y M₄ son de tamaño 3 × 3 (3 por 3), 3 × 3, 3 × 2 y 2 × 3 respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m × n se representan normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice, i, indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues, el elemento a₂₃ está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general

se puede representar de forma abreviada como A = (a_ij), en donde los posibles valores de los índices i = 1, 2,..., m y j = 1, 2,..., n se han de dar explícitamente si no se sobrentienden. Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas (o columnas) es el orden de la matriz. Dos matrices A = (a_ij) y B = (b_ij), son iguales si y sólo si son de igual tamaño y si para todo i y j, a_ij = b_ij. Si A = (a_ij) es una matriz cuadrada, los elementos a₁₁, a₂₂, a₃₃,... forman la diagonal principal de la matriz. La matriz traspuesta A^T de una matriz A es otra matriz en la cual la fila i es la columna i de A, y la columna j es la fila j de A. Por ejemplo, tomando la matriz M₃ anterior,

es la matriz traspuesta de M₃.

La adición y la multiplicación de matrices están definidas de manera que ciertos conjuntos de matrices forman sistemas algebraicos. Consideremos los elementos de las matrices números reales cualesquiera. La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0; la matriz unidad I_m de orden m, es una matriz cuadrada de orden m en la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. El orden de la matriz unidad se puede omitir si se sobrentiende con el resto de la expresión, con lo que I_m se escribe simplemente I.

La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. Si A = (a_ij) y B = (b_ij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se define como la matriz (c_ij), en la que c_ij = a_ij + b_ij, es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes. Así, para las matrices mencionadas anteriormente

En el conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño la adición tiene las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa. Además hay una matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O + A = A y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.

El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor izquierdo, A, es igual al número de filas del factor derecho, B; si A = (a_ij) es de tamaño m × n y B = (b_jk) es de tamaño n × p, el producto AB = C = (c_ik) es de tamaño m × p, y c_ik está dado por

es decir, el elemento de la fila i y la columna k del producto es la suma de los productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor derecho.

ÁLGEBRA LINEAL

El concepto geométrico de vector como segmento rectilíneo de módulo, dirección y sentido dados, se puede generalizar como se muestra a continuación. Un n-vector (vector n-dimensional, vector de orden n o vector de dimensión n) es un conjunto ordenado de n elementos de un cuerpo. Al igual que en la teoría de matrices, los elementos de un vector pueden ser números reales. Un n-vector v se representa como v = (x₁, x₂,..., x_n)Las x₁, x₂,..., x_n se denominan componentes del vector. Las líneas de una matriz son vectores: las horizontales son vectores fila y las verticales vectores columna.

La suma de vectores (de igual longitud) y la multiplicación por un número real se definen de igual manera que para las matrices, y cumplen las mismas propiedades. Si w es otro vector, w = (y₁, y₂,..., y_n)y k es un número real, entonces v + w = (x₁ + y₁, x₂ + y₂,..., x_n + y_n)y kv = (kx₁, kx₂,..., kx_n)Si k₁, k₂,..., k_m son números reales, y v₁, v₂,..., v_m son n-vectores, el n-vector v = k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_mv_mse denomina combinación lineal de los vectores v₁, v₂,..., v_m.

Los m n-vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal igual al n-vector cero, 0 = (0,0,..., 0), es aquélla en que k₁ = k₂ = ... = k_m = 0. Si existe otra combinación lineal que cumple esto, los vectores son linealmente dependientes. Por ejemplo, si v₁ = (0, 1, 2, 3), v₂ = (1, 2, 3, 4), v₃ = (2, 2, 4, 4) y v₄ = (3, 4, 7, 8), entonces v₁, v₂ y v₃ son linealmente independientes, pues k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃ = 0 si y sólo si k₁ = k₂ = k₃ = 0; v₂, v₃ y v₄ son linealmente dependientes pues v₂ + v₃ - v₄ = 0.

Se dice que A es una matriz de rango r, si tiene un conjunto de r vectores fila o columna linealmente independientes, y todo conjunto con más de r vectores fila o columna son linealmente dependientes.

Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de vectores (véase Teoría de conjuntos) que cumple una serie de propiedades, que se muestran a continuación. Si u, v, w son elementos de V, entonces se verifica que:

1a. u + v es un elemento de V
2a. (u + v) + w = u + (v + w)
3a. u + v = v + u
4a. Existe un vector 0 tal que 0 + u = u
5a. Todo vector v tiene un opuesto –v tal que v + (-v) = 0
Si λ y µ son números reales, se cumple también que:

1b. λ·u es un elemento de V
2b. (λ + µ)·u = λ·u + µ·u
3b. λ·(u + v) = λ·u + λ·v
4b. (λ·µ)·v = λ·(µ·v)
5b. 1·v = v

Si S = {v_i} es un conjunto de vectores, todos ellos de la misma dimensión, todas las combinaciones lineales de los vectores v forman un espacio vectorial V. Se dice que este espacio vectorial es generado por los v_i. Si el conjunto B = {w_j} genera el mismo espacio vectorial V, y está formado por vectores linealmente independientes, se dice que B es una base de V. Si una base de V contiene m vectores, entonces toda base de V contiene exactamente m vectores, y se dice que V es un espacio vectorial de dimensión m. Los espacios euclídeos de dos y tres dimensiones se pueden representar por parejas y tríos ordenados de números reales. Las matrices se pueden utilizar para describir transformaciones de un espacio vectorial a otro.

Regla de Laplace

Regla de Laplace, fórmula que permite calcular la probabilidad de sucesos en experiencias ideales. Debe su nombre al matemático francés Pierre Laplace, quien la enunció en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812).

Se aplica en experiencias en las que todos los elementos del espacio muestral son equiprobables (tienen la misma probabilidad). Según esta regla, la probabilidad de un suceso cualquiera S se calcula: P[S] = número de casos favorables a S/número de casos posibles

Raíces de una ecuación

Raíz (matemáticas), enésima de un número real, a, es otro número, b, cuya potencia enésima es a. Se expresa así

 se llama radical, a es el radicando y n el índice de la raíz. El índice es un número entero mayor que 1: n ≥ 2.

La raíz de índice dos se llama raíz cuadrada y se escribe sin explicitar el índice: .

La raíz de índice tres se llama raíz cúbica.

Si el índice es par y a es positivo, existen dos raíces enésimas reales de a, una positiva y otra negativa. Pero la expresión sólo se refiere a la positiva. Es decir, las dos raíces n-ésimas de a son y – . Sin embargo, los números reales negativos no tienen ninguna raíz real de índice par.

Por ejemplo, 25 tiene dos raíces cuadradas, 5 y –5, pues 5² = 25 y (-5)² = 25; y el número 10 tiene dos raíces cuartas y – . Sin embargo, –25 no tiene ninguna raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da –25. Por lo mismo, –10 no tiene ninguna raíz cuarta.

Si el índice es impar, cualquiera que sea el número real, a, tiene una única raíz n-ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de –8 es –2, y 20 tiene una única raíz cúbica que se denomina .

FORMA EXPONENCIAL DE UNA RAÍZ

La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:

Por tanto,  

RAÍZ DE UNA ECUACIÓN

En una ecuación algebraica, si sustituimos la incógnita por un número y la igualdad se cumple, dicho número se denomina raíz de la ecuación. Por ejemplo, 3 es raíz de la ecuación x⁴ – 3x² – 5x – 39 = 0 porque 3⁴ – 3·3² – 5·3 – 39 es igual a 0.

RAÍZ DE UN POLINOMIO

Si un polinomio P(x) se anula cuando se sustituye x por el número a, P(a) = 0, se dice que a es raíz de P(x). Por ejemplo, 3 es raíz del polinomio x⁴ – 3x² – 5x – 39.

Operaciones básicas

Suma

Suma, adición, operación entre números u otros objetos matemáticos.

La palabra suma designa tanto la operación como el resultado de la misma. Por ejemplo, al decir “la suma de números naturales cumple la propiedad asociativa”, la palabra suma hace referencia a la operación. Al decir “la suma de 3 y 2 es 5”, la palabra suma significa el resultado de la operación.

Resta

Resta, sustracción, operación contraria a la suma.

El resultado de restar dos números se llama diferencia.

Multiplicación

Multiplicación, operación entre números u otros objetos matemáticos como polinomios, matrices y funciones. Se designa con el signo · o ×. Véase Aritmética.

División (aritmética)

INTRODUCCIÓN

División (aritmética), la operación opuesta de la multiplicación, para la cual se utiliza el signo : o bien ÷ o /.

5 : 3 = 5 ÷ 3 = 5 / 3

DIVISIÓN ENTERA

Entre dos números naturales a > b se llama división entera de a entre b a la operación en la que se obtienen otros dos números, c, cociente y r, resto, que cumplen las siguientes relaciones:

a = b · c + r 0 ≤ r < b

Entre dos polinomios P(x) y Q(x) tales que grado de P(x) ≥ grado de Q(x), se llama división entera de P(x) entre Q(x) a la operación en la cual se obtienen dos polinomios, C(x), cociente, y R(x), resto, que cumplen las siguientes relaciones:

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) grado de R(x) < grado de Q(x)

Cuando el resto es cero (r = 0 o R(x) = 0) se dice que la división ha sido exacta.