Calcular y usar mapas o planos a escala

Una casa que tiene 12 m de fachada está representada en el plano de un arquitecto mediante un rectángulo de 48 cm de largo. ¿Cuál es la escala del plano?
Mientras camina, Pedro observa que la distancia que tiene que recorrer viene
representada por una línea de 5 cm, en un mapa cuya escala es de . ¿Cuál es la distancia real que representan estos 5 cm?
¿Qué métodos de cálculo podemos usar para responder a estas dos preguntas?

I. Aplicar una escala
Ejemplo: Bernardo quiere hacer un plano de su habitación; la habitación es rectangular y mide 5 m de largo por 2,50 m de ancho.
Ha decidido dividir entre 20 las dimensiones reales de la habitación; veamos cómo lo hace.
Para su comodidad, lo primero que hace es convertir las unidades a centímetros:
5 m = 500 cm.
2,5 m = 250 cm.
Y al dividir entre 20:
500 : 20 = 25
250 : 20 = 12,5
De manera que dibuja un rectángulo de 25 cm de largo por 12,5 cm de ancho.
Este rectángulo es un plano de su habitación, a escala .
Nota: el tamaño del objeto en el plano se obtiene multiplicando su tamaño real por la escala: .
Observa:

y

Las dimensiones del objeto en el plano son proporcionales a sus dimensiones reales; la escala de es el coeficiente de proporcionalidad.
Definición: las dimensiones de un objeto en un plano o en un mapa, son iguales a las dimensiones reales del objeto multiplicadas por E. El número E es conocido con el nombre de escala numérica del mapa, y viene representado en los planos de la siguiente forma: E = 1:n, donde n es un valor entero. Por ejemplo, E = 1:25.
Si D es una distancia real representada en el mapa por la distancia d, entonces: D × E = d.
Importante: las distancias D y d deben estar expresadas en las mismas unidades.
II. Calcular una escala
Ejemplo 1: ¿cuál es la escala E del plano mencionado en la introducción (12 metros representados por 48 centímetros)?
Anotamos los datos y unificamos las unidades de medida:
D = 12 m = 1.200 cm.
d = 48 cm.
Introducimos estos datos en la fórmula de la escala, D × E = d:
1.200 cm × E = 48 cm, y despejando obtenemos que:

La escala del plano es igual a o, expresado de otra forma, E = 1:25.
Nota: ; también podemos decir que la escala es igual a 0,04, pero esta forma de expresar la escala se usa poco.
Ejemplo 2: en un mapa de carreteras, una recta de 1 km de longitud viene representada por 1 cm. ¿Cuál es la escala del mapa?
Escribimos los datos y unificamos las unidades de medida:
D = 1 km = 100.000 cm.
d = 1 cm.
Introducimos los datos en la fórmula de la escala, D × E = d:
100.000 cm × E = 1 cm, y despejando obtenemos:

La escala del mapa es o, expresado de otra forma, E = 1:100.000.
Ejemplo 3: mediante un microscopio fotografiamos un paramecio de 0,2 mm de largo. Cuando revelamos la fotografía, observamos que en el papel, el paramecio mide 10 cm. ¿Cuál es la escala de esta fotografía?
Tomamos nota de los datos y unificamos las unidades de medida:
D = 0,2 mm.
d = 10 cm = 100 mm .
Introducimos los datos en la fórmula de la escala, D × E = d:
0,2 mm × E = 100 mm, y despejamos:

La escala de la fotografía es 500 o, expresado de otra forma, E = 500:1.
Nota: en este ejemplo, la escala de la fotografía es una ampliación de la realidad; lo podemos observar porque el resultado de la escala no es una fracción, sino una cantidad mayor que 1.
III Usar una escala
1. Ejemplo 1: medir en el plano y calcular cuánto sería en la realidad
Vuelve a leer el segundo ejemplo de la introducción. ¿Cuál es la distancia que recorrerá Pedro? La distancia viene representada por 5 cm en el mapa, cuya escala es .
Escribimos los datos:
E = .
d = 5 cm.
Los introducimos en la fórmula de la escala, D × E = d:
D ×= 5 cm, y despejando: D = 5 cm × 25.000 = 125.000 cm.
Por lo tanto, D = 125.000 cm = 1,25 km.
Pedro debe recorrer 1,25 km.
2. Ejemplo 2: calcular la longitud en el plano de una distancia real
En el mismo mapa, ¿con qué longitud estaría representada una senda de 750 m?
Anotamos los datos:
E = .
D = 750 m.
Aplicamos la fórmula D × E = d:

Por consiguiente, d = 0,03 m = 3 cm.
En un mapa a escala , un sendero de 750 m, aparecerá dibujado con una longitud de 3 cm.

Probabilidad

En una carta escrita el 29 de julio de 1654, Pascal respondía a Fermat sobre el “problema de las partes” (sobre cómo repartir las ganancias conseguidas al apostar en una partida de dados). Podemos decir que ese día nació la probabilidad. Bernoulli y después Poisson ampliaron esta rama de las matemáticas, hasta adquirir, ya en el siglo XX, las bases teóricas necesarias para concebir las leyes de todas las ciencias, desde la física hasta la sociología.

I. Definir una probabilidad
Se parte de una experiencia aleatoria, E, llamada así porque conocemos todos los resultados posibles, pero no podemos predecir de antemano qué resultado se va a dar.
Para definir una probabilidad sobre E, seguimos estas etapas:
—usando, por ejemplo, un diagrama en árbol, podemos determinar todos los resultados posibles de la experiencia aleatoria; así se define el espacio muestral como el conjunto formado por todos los resultados posibles de E. Tenemos ;
—se le atribuye una posibilidad a cada resultado, es decir, que a cada ei se le asocia un número pi tal que:


Para determinar los valores pi disponemos de dos posibilidades:
—podemos asociar la misma probabilidad a todos los resultados, con lo que ; entonces decimos que son equiprobables;
—podemos repetir la experiencia en idénticas condiciones, y definir pi como la frecuencia de ei cuando el número de repeticiones tiende hacia .
Una vez establecidas las probabilidades, podemos presentarlas en una tabla:


Nota: la primera etapa es esencial. Se trata de entender la experiencia, visualizarla y simularla, de manera que deduzcamos cuáles son todos los resultados posibles.
II. Calcular la probabilidad de un suceso
Sea E una experiencia aleatoria y   el espacio muestral asociado a E; se llama suceso de la experiencia aleatoria E a todo subconjunto de . O dicho de otra forma, un suceso A pertenece a .
Si xi pertenece a A, también podemos decir que xi verifica A.
Un suceso elemental es un suceso constituido por un único elemento de , es decir, por un suceso simple .
La probabilidad P(A) de un suceso A es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo constituyen. En caso de que sean equiprobables, entonces cada suceso ei tiene una probabilidad de . Así, si Acontiene m elementos, . Dicho de otra forma:

Notas:
—La probabilidad de un suceso elemental es pi.
— es el llamado suceso seguro, ya que su probabilidad es .
—Al subconjunto vacío, representado por , se le llama suceso imposible, ya que su probabilidad es .
III. Calcular la probabilidad de la unión de A y B
Sean A y B dos sucesos de una misma experiencia aleatoria.
es el suceso formado por los elementos que pertenecen a A o a B.
es el suceso formado por los elementos que pertenecen a A y a B.
Cuando , es decir, cuando no hay ningún elemento que pertenezca a la vez a A y a B, decimos que A y B son sucesos incompatibles.
Para dos sucesos cualesquiera A y B se cumple que: .
Si A y B son sucesos incompatibles: .
IV. Calcular la probabilidad de un suceso contrario
El suceso contrario a A, representado por , es el suceso que tiene lugar cuando no ocurre A. Está formado por los elementos que no pertenecen a A.
Tenemos: y .
Usando las propiedades vistas en el apartado anterior, podemos demostrar que para todo suceso A se cumple que: .
Recuerda
—Para definir una probabilidad, asociamos a cada elemento xi un número positivo pi tal que: .
—La probabilidad P(A) de un suceso A es la suma de las probabilidades de los elementos que lo componen.
—En caso de que sean equiprobables, .
—Si A y B son dos sucesos cualesquiera, se cumple que: .
—Para cualquier suceso A se cumple que: .