Sistema numérico

Sistema numérico

Signos matemáticos de la antigüedad

Sistema numérico, en matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base es el número de símbolos diferentes, o guarismos (véase Numeración), necesarios para representar un número cualquiera, de los infinitos posibles, en el sistema. Por ejemplo, el sistema decimal, utilizado hoy de forma universal (con la excepción de los ordenadores o computadoras), necesita diez símbolos diferentes o dígitos para representar un número y es, por tanto, un sistema numérico en base 10.

A lo largo de la historia se han usado multitud de sistemas numéricos. En realidad, cualquier número mayor que 1 puede ser utilizado como base. Algunas civilizaciones usaban sistemas basados en los números 3, 4 o 5. Los babilonios utilizaron el sistema sexagesimal, basado en el número 60, y los romanos (en cierta aplicaciones) el sistema duodecimal, con el número 12 como base. Los mayas utilizaban el sistema vigesimal, basado en el número 20. El sistema binario, o en base 2, fue usado por algunas tribus antiguas y junto con el sistema en base 16 se usa en la actualidad en los ordenadores o computadoras.

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VALORES POSICIONALES

Comparación entre el sistema decimal (base 10) y el binario (base 2)

Los ordenadores o computadoras normalmente procesan los números decimales en forma binaria. Por ejemplo, en el sistema decimal codificado en binario (BCD) cada uno de los dígitos decimales del 0 al 9 se codifica con 4 bits. Los cuadros de esta tabla son similares a los grupos de cuatro bits del BCD.

La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos utilizados —0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9— depende de su posición en el número completo. Por ejemplo, el número 3.098.323 es la representación de (3 × 10⁶) + (0 × 10⁵) + (9 × 10⁴) + (8 × 10³) + (3 × 10²) + (2 × 10¹) + (3 × 10⁰, o 3 × 1). El primer 3 (empezando por la derecha) representa 3 unidades; el segundo, 300 unidades y el tercero, 3 millones de unidades.

Dos dígitos —0 y 1— son suficientes para representar un número en el sistema binario; 6 cifras —0, 1, 2, 3, 4 y 5— se necesitan para representar un número en el sistema sextil y 16 guarismos —0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (diez), B (once), C (doce) ... y F (quince)— son necesarios en el sistema hexadecimal. El número 30.155 en el sistema en base 6 es igual al número (3 × 6⁴) + (0 × 6³) + (1 × 6²) + (5 × 6¹) + (5 × 6⁰) = 3.959 en el sistema decimal. El número 2EF del sistema hexadecimal es el número (2 × 16²) + (14 × 16¹) + (15 × 16⁰) = 751 en el sistema decimal.

Para convertir un número n dado en base 10 a base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente cero. Los restos sucesivos de esta serie de divisiones son los dígitos que expresan n en base b (la base se suele escribir como un subíndice del número). A medida que la base sea mayor, se necesitan más guarismos, pero la representación de un número requiere menos dígitos.

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SISTEMA BINARIO

El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los primeros 20 números en el sistema en base 2 son 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011 y 10100. Cualquier número se puede representar en el sistema binario, como suma de varias potencias de dos. Por ejemplo, el número 10101101 representa, empezando por la derecha, (1 × 2⁰) + (0 × 2¹) + (1 × 2²) + (1 × 2³) + (0 × 2⁴) + (1 × 2⁵) + (0 × 2⁶) + (1 × 2⁷) = 173.

Las operaciones aritméticas con números en base 2 son muy sencillas. Las reglas básicas son: 1 + 1 = 10 y 1 × 1 = 1. El cero cumple las mismas propiedades que en el sistema decimal: 1 × 0 = 0 y 1 + 0 = 1. La adición, sustracción y multiplicación se realizan de manera similar a las del sistema decimal:

Puesto que sólo se necesitan dos dígitos (o bits), el sistema binario se utiliza en los ordenadores o computadoras. Un número binario cualquiera se puede representar, por ejemplo, con las distintas posiciones de una serie de interruptores. La posición 'encendido' corresponde al 1, y 'apagado' al 0. Además de interruptores, también se pueden utilizar puntos imantados en una cinta magnética o disco: un punto imantado representa al dígito 1, y la ausencia de un punto imantado es el dígito 0. Los biestables —dispositivos electrónicos con sólo dos posibles valores de voltaje a la salida y que pueden saltar de un estado al otro mediante una señal externa— también se pueden utilizar para representar números binarios. Los circuitos lógicos realizan operaciones con números en base 2. La conversión de números decimales a binarios para hacer cálculos, y de números binarios a decimales para su presentación, se realizan electrónicamente.

Raíces cuadradas de números naturales

Raíces cuadradas de números naturales

La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado da el primero.

La raíz cuadrada de 25 es 5 porque 5² = 5 × 5 = 25. Se escribe así:

donde   es el símbolo de la raíz, el radical, 25 es el radicando y 5 es la raíz cuadrada.

RAÍZ CUADRADA EXACTA

Calcular la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.

Veámoslo para los 12 primeros números naturales:

Las raíces cuadradas de los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144, son exactas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, respectivamente. A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les llama cuadrados perfectos. En nuestro caso, 1, 4, 9, 16…, son cuadrados perfectos.

RAÍZ CUADRADA APROXIMADA

Cuando el número del que queremos hallar su raíz cuadrada no es un cuadrado perfecto, podemos calcular entre qué dos números naturales va a estar comprendida su raíz cuadrada. Para ello buscamos los dos cuadrados perfectos entre los que está comprendido el radicando.

Veámoslo con varios ejemplos.

1. Hallamos la  

Probamos con varios cuadrados perfectos que sean menores que 20:

3² = 9  y  9 < 20

4² = 16  y 16 < 20

5² = 25  y 25 > 20

Por tanto, como 16 < 20 < 25:

La raíz cuadrada de 20 será un número decimal comprendido entre 4 y 5.

2. Hallamos la 

Probamos con varios cuadrados perfectos que sean menores que 68:

7² = 49  y  49 < 68

8² = 64  y 64 < 68

9² = 81  y 81 > 68

Por tanto, como 64 < 68 < 81:

La raíz cuadrada de 68 será un número decimal comprendido entre 8 y 9.

3. Ángel quiere colocar sus 45 soldaditos de plomo alineados formando un cuadrado. ¿Cuántos soldaditos tendrá que poner en cada fila y en cada columna del cuadrado?

Por ser un cuadrado, el número de soldaditos en cada fila será igual al número de soldaditos en cada columna. Ese número al cuadrado será igual al número total de ellos que formarán el cuadrado, que tiene que ser menor que o igual a 45.

Como 36 < 45 < 49 

Tendrá que hacer filas de 6 soldaditos, con lo que utilizará a 6 × 6 = 36 de ellos, y le sobrarán 45 – 36 = 9. Decimos que la raíz cuadrada de 45 tiene de resto 9.

4. Teresa ha cubierto completamente el suelo de un salón cuadrado con 81 baldosas cuadradas. ¿Cuántas ha puesto en cada lado del salón?

En este caso la raíz es exacta: = 9.

Teresa ha puesto 9 baldosas en cada lado, lo que en total suman las 9 × 9 = 81 baldosas.

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes

En un restaurante italiano, dos amigos han pedido dos pizzas del mismo tamaño. Uno quiere que se la sirvan dividida en cuatro partes iguales o porciones, de las que se termina comiendo tres, mientras que el otro pide que se la troceen en ocho porciones, de las que se come seis. ¿Cuál de los dos ha comido más?

¿CÓMO SABEMOS SI DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES?

Las fracciones representan partes de una unidad. Dos fracciones que representan la misma parte se llaman equivalentes.

Por ejemplo, al representar las fracciones

observamos que la superficie coloreada en ambos dibujos es la misma:

Ocupan, por tanto, la misma porción del círculo que representa la unidad: son dos fracciones equivalentes.

Para saber si dos fracciones son o no equivalentes, no es necesario representarlas, basta con multiplicarlas “en cruz”: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda; si estos productos son iguales, las fracciones son equivalentes:

Si quieres, puedes practicar con los ejemplos de la tabla siguiente:

¿CÓMO HALLAMOS FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA?

Podemos obtener fracciones equivalentes a otra de dos maneras: por amplificación y por simplificación.

Por amplificación: multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número. Por ejemplo:

Por simplificación: dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número. Por ejemplo:

Si quieres practicar, puedes obtener fracciones equivalentes a las fracciones de la tabla siguiente, de ambas formas.

FRACCIÓN IRREDUCIBLE

Se llama fracción irreducible a aquella que no se puede simplificar más.

Por ejemplo, vamos a simplificar la fracciónhasta obtener su fracción irreducible; para simplificar, dividimos numerador y denominador por el mismo número:

1.º) dividimos entre 2;

2.º) dividimos entre 2;

3.º) dividimos entre 3;

4.º) dividimos entre 5.

La fracción irreducible es ya que no la podemos seguir simplificando más: no existe ningún número común por el que podamos dividir a la vez a 1 y a 7.

Normalmente, cuando hacemos operaciones con fracciones y el resultado es otra fracción, hemos de simplificarla hasta obtener su fracción irreducible.

Si quieres, puedes practicar simplificando las siguientes fracciones hasta obtener su fracción irreducible:

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Cuando tengamos que comparar dos o más fracciones se nos dará una de estas tres situaciones: que tengan el mismo denominador, que tengan el mismo numerador o que tengan distintos numerador y denominador.

Si tienen el mismo denominador, por ejemplo:

Es menor la que tenga el menor numerador:

Si tienen el mismo numerador, por ejemplo:

Es menor la que tenga el mayor denominador:

Si tienen distintos numerador y denominador, por ejemplo:

Para poderlas comparar hemos de reducirlas primero a común denominador. Para ello, hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que en este caso será: m.c.m. (5, 2, 4, 3) = 4 × 3 × 5 = 60

Y hallamos las fracciones equivalentes a las anteriores, pero con el denominador común obtenido:

Y ahora, al tener el mismo denominador, ya sí que las podemos comparar:

Por tanto, 

Las fracciones

Las fracciones

Si partimos una pizza en ocho trozos iguales y comemos dos de ellos, decimos que hemos comido de la pizza “dos octavas partes”:

En un partido de baloncesto, que está dividido en cuatro tiempos iguales de diez minutos, se han jugado ya tres tiempos; decimos que se llevan jugadas del partido “tres cuartas partes”:

En la vida diaria, usamos las fracciones con más frecuencia de lo que pensamos...

TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN

Las fracciones representan partes de una unidad. Constan de dos términos:

·                     el numerador, que indica las partes iguales que se toman de la unidad;

·                     el denominador, que indica las partes iguales en que se divide la unidad.

REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES

Podemos representar una fracción, por ejemplo, mediante un círculo, un rectángulo o un cuadrado: dividimos la figura en tantas partes iguales como indique el denominador y sombreamos tantas partes como indique el numerador.

Por ejemplo: 

Si quieres, puedes practicar hallando la fracción que representa cada uno de los dibujos siguientes:

¿CÓMO SE LEEN LAS FRACCIONES?

Para leer una fracción primero se nombra el numerador y después el denominador, de la siguiente forma:

1. El numerador se nombra tal cual.

2. Si el denominador es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, se lee, respectivamente: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos o décimos. Si es un número mayor que 10, se lee el número terminado en avo, por ejemplo: 11, onceavos; 12, doceavos; 90, noventavos (ten en cuenta que, si el nombre del número del denominador termina en a, se elimina esta letra).

Si quieres, puedes practicar con las fracciones de la siguiente tabla:

¿CÓMO INTERPRETAMOS UNA FRACCIÓN?

Podemos interpretar una fracción de tres maneras, como parte de la unidad, como cociente o como operador:

Como parte de la unidad: una fracción representa un valor (dado por el numerador) con respecto a un “total” (dado por el denominador) que llamamos “unidad” (no lo confundas con el número 1). Por ejemplo, si nos hemos comido de una pizza, eso supone que del total, que son las cinco partes en que la hemos dividido, hemos tomado tres. Así pues, esta fracción representa “a tres de cada cinco”.

Como cociente: una fracción representa el cociente entre dos números, el numerador y el denominador. Por ejemplo, la fracciónrepresenta el cociente de tres entre seis, es decir, el resultado de dividir 3 entre 6, que es 0,5.

Como operador: una fracción actúa sobre cualquier número como si fuera un operador que actúa sobre el número multiplicándolo por el numerador, y dividiéndolo por el denominador. Por ejemplo, si queremos hallar las tres quintas partes de diez caramelos, haríamos:

Si quieres, puedes practicar efectuando los cálculos de la siguiente tabla:

CLASES DE FRACCIONES

Hay dos clases o tipos de fracciones:

·                     Las fracciones propias: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador (su cociente es un número menor que la unidad); por ejemplo:

·                     Las fracciones impropias: son aquellas en las que el numerador es igual o mayor que el denominador (su cociente es un número igual o mayor que la unidad); por ejemplo:

Cualquier número natural se puede escribir en forma de fracción impropia, dividiéndolo entre la unidad; por ejemplo:

NÚMEROS MIXTOS

Si en una fracción impropia dividimos el numerador entre el denominador, puede ocurrir una de estas dos cosas:

1. Que obtengamos un número natural, por ejemplo:

2. Que obtengamos un número mixto, que se llama así porque está compuesto de un número natural y de una fracción.

Por ejemplo, en la fracción al dividir el numerador entre el denominador obtenemos:

Y la fracción la podemos expresar así, como un número mixto:

Si quieres, puedes practicar con las fracciones siguientes:

FRACCIONES DECIMALES

Cualquier fracción, o equivale a un número natural, o se puede expresar como un número decimal, sin más que dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo:

Pero también al revés: podemos expresar cualquier número decimal como una fracción, que se llama fracción decimal. Para hallarla se siguen estos dos pasos:

1. Se escribe el número decimal sin la coma (y sin el cero, si era la cifra de las unidades).

2. Se divide entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el número decimal. Por ejemplo:

Las fracciones decimales son las que tienen por denominador la unidad seguida de ceros.