Igualdad y semejanza de triángulos

Si transformamos un triángulo en otro, de manera que pueda ser superpuesto a aquél, y si estas series de transformaciones se hacen sin ninguna alteración de las longitudes de los lados de ambos triángulos, entonces podemos decir que los dos triángulos son iguales.
La idea de triángulos iguales es diferente de la idea de triángulos semejantes: dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes tienen la misma amplitud.

I. ¿Cómo podemos comprobar que dos triángulos son iguales?
Dos triángulos son iguales si pueden ser superpuestos mediante traslación o rotación o mediante un giro (simetría axial o central).

Además, si los triángulos y son iguales es posible encontrar una de estas transformaciones —o una serie de ellas— tal que la imagen del triángulo , fuera el triángulo .
Para comprobar que dos triángulos son idénticos, usaremos uno de estos tres casos de igualdad que definimos a continuación.



Habiendo comprobado que dos triángulos son idénticos, podemos probar fácilmente que las longitudes de los lados y/o las amplitudes de los ángulos son iguales.

Ejemplo:
es un triángulo escaleno y ABDE y BCFG son cuadrados. Queremos demostrar que los segmentos CD y AG son de la misma longitud.


Sabemos que:
AB y BD son dos lados del cuadrado ABDE, entonces AB = BD;
BC y BG son dos lados del cuadrado BCFG, entonces BC = BG;
además, .
Los triángulos y tienen un ángulo del mismo tamaño entre dos lados respectivos de la misma longitud; por tanto, de acuerdo con el segundo caso de igualdad de triángulos, los dos triángulos son iguales.
Deducimos que los lados CD y AG son de la misma longitud.
Notaremos que la transformación que convierte el triángulo en el triángulo es un giro de 90º en sentido contrario a las agujas del reloj, en torno a un centro situado en B.
II. ¿Cómo podemos probar que dos triángulos son semejantes?
Definimos triángulos semejantes (o con la misma forma) si sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud.

Para demostrar que dos triángulos son semejantes, solo tenemos que comprobar que dos de sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud. Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, no necesitamos demostrar que el tercer ángulo es igual.

Ejemplo:
A, B, C y D son cuatro puntos de una circunferencia, y AC corta a BD en I. Queremos comprobar que los triángulos y son semejantes.

Los ángulos inscritos y comparten el mismo arco BC, por lo que ambos tienen la misma amplitud; y la misma igualdad es aplicable a los ángulos inscritos y .

Los dos triángulos y tienen dos ángulos respectivos iguales. Por lo tanto, son semejantes.
Nota: para demostrar que dos triángulos son semejantes, también podemos usar el inverso del teorema de los triángulos semejantes (ver más abajo): si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales en longitud, entonces son semejantes.

III. ¿Qué podemos probar usando triángulos semejantes?
Si dos triángulos son semejantes, las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales. Este teorema básico nos permite probar relaciones de equivalencia.
Ejemplo 1:

y son dos triángulos semejantes. Si llamamos k a la razón de las longitudes de los lados de estos triángulos, tendremos:

Si k > 1, k es un coeficiente de agrandamiento; si k < 1, k es un coeficiente de reducción. La razón o ratio de las áreas de los triángulos y es entonces k2.

Ejemplo 2:
A, B, C y D son cuatro puntos de una circunferencia, y AC corta a BD en I. Así mismo, ID = 12 e IB = 36. Queremos comparar las áreas de los triángulos y .

Ya hemos comprobado que estos dos triángulos son semejantes (ver el ejemplo del apartado II), por lo que sus lados son proporcionales, esto es:

La razón del área del triángulo respecto del área del triángulo es igual a 9.
Así: área = k2 × área , esto es: área  = 9 × área .
Resumen
—Si dos triángulos tienen un lado de la misma longitud, adyacente a dos ángulos respectivos iguales, entonces son iguales.
—Si dos triángulos tienen un ángulo igual, formado por dos lados respectivos de la misma longitud, los triángulos son iguales.
—Si los tres lados respectivos de dos triángulos son de la misma longitud, entonces los triángulos son iguales.
—Dos triángulos son semejantes si y solo si las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales.
—Si llamamos k a la razón —ratio— de las longitudes de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes, entonces la razón de sus áreas es k2.