Representar traslaciones mediante vectores

El concepto de traslación, ilustrado en la figura 1, nos permite introducir el concepto de vector. Los vectores se usan en matemáticas, y también en física para representar, por ejemplo, una fuerza o una velocidad.
¿Qué relación hay entre las traslaciones y los vectores?
I. Definición y notación de un vector
En la figura 2, ABDC, CDFE, EFHG y GHJI son paralelogramos.



Podemos decir que:
—la traslación que transforma A en B también transforma C en D;
—la traslación que transforma C en D también transforma E en F;
—la traslación que transforma E en F también transforma G en H;
—la traslación que transforma G en H también transforma I en J.
Así pues, la traslación que transforma A en B, C en D, E en F, G en H, e I en J es la misma.
Y podemos decir que los pares de puntos (A, B), (C, D), (E, F), (G, H) y (I, J) representan al mismo vector.
Escribimos = = = = , y se lee “vector AB”.
También podemos representar el vector con una única letra minúscula con una flecha encima o en letra negrita, sin flecha, por ejemplo, u o (tanto u como se leen “vector u”), y decimos que , , , e representan todos a .
Podemos entonces escribir: = = = = = .
Los puntos A y B son el origen (o punto de aplicación) y el extremo del vector , respectivamente.
No hay que confundir los vectores y , ya que son vectores opuestos.
Gráficamente, un vector se representa con una flecha, como podemos ver en la figura 3.

Nota: un vector se puede representar infinitas veces, en distintas posiciones (por ejemplo, el vector de la figura anterior, aparece representado cinco veces).
II. Vectores y traslaciones
Definición: la traslación que transforma A en B se llama traslación de vector .
Podemos decir que:
—si D es la imagen de C por una traslación de vector , entonces = ;
—si = , entonces D es la imagen de C por una traslación de vector .
Ejemplo 1: una traslación transforma un punto R en otro punto P; el punto T es la imagen del punto O por esta misma traslación. ¿Cómo podemos expresar esto en una igualdad vectorial?
La traslación que transforma R en P también transforma O en T. Luego, por definición, tenemos que = .
Ejemplo 2: ¿qué traslación vendría definida por la igualdad vectorial = ?
La traslación que transforma M en N también transforma W en Z, de manera que Z es la imagen de W por la traslación de vector .
III. Características de un vector
Observemos de nuevo la figura en la que , , , e representan al mismo vector y tratemos de deducir las características de este vector.


Las rectas AB, CD, EF, GH e IJ son paralelas entre sí, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. Por tanto, podemos decir que las rectas AB, CD, EF, GH e IJ tienen la misma dirección.
Decimos que esta es la dirección del vector .
Observemos el orden de los puntos en las parejas (A, B), (C, D), (E, F), (G, H) y (I, J)). El dibujo nos permite decir que el sentido de A hacia B, de C hacia D, de E hacia F, de G hacia H o de I hacia J es el mismo: el que indican las flechas sobre las letras, , , , e . Este es el sentido del vector .

Finalmente, las longitudes de los segmentos AB, CD, EF, GH e IJ son iguales, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. A la longitud común de los segmentos AB, CD, EF, GH e IJ se le llamamagnitud o módulo del vector .
En resumen: un vector está caracterizado por su dirección, su sentido y su módulo.
Nota: solo hay un vector que no tiene dirección ni sentido: el vector nulo. El módulo de este vector es cero.