Definir una función lineal del tipo y = ax o f(x) = ax

¿Qué elementos necesitaremos para definir una función lineal, es decir, para comprenderla completamente?

I. Definir una función lineal de forma analítica
Vamos a trabajar con funciones del tipo f(x) = ax (también se pueden expresar así: y = ax), donde a es un valor constante, llamado coeficiente de la función. Por lo tanto, nuestro objetivo consistirá en encontrar un valor para el coeficiente a que nos permita escribir la función según la estructura que acabamos de describir.

Encontrar el valor de a consiste en calcular cuál es el número que aplicado a la x hace que obtengamos un valor concreto para la y.
1. Calcular el coeficiente si nos dan un valor de y distinto de cero
Ejemplo: queremos calcular la función lineal (del tipo f(x) = ax o y = ax) que transforma el valor 12 en 44. En otras palabras, buscamos el valor del coeficiente a que nos permita escribir la forma general de la función que hace que y = 44, cuando x = 12.

Si sustituimos el valor 12 en la variable x, la función toma este aspecto y = a · 12. Como sabemos que cuando x = 12, y = 44, entonces: 44 = a ·12 y despejando:

, que simplificando nos queda:

.
Por lo tanto, ya tenemos el valor del coeficiente a que nos va a permitir escribir la función que convierte el valor 12 de x en el valor 44 de y.
La función lineal es:

2. Un caso de proporcionalidad
Ejemplo 1: un automóvil viaja a una velocidad constante de 110 km/h. Queremos demostrar que la distancia recorrida (en km) por el coche es una función lineal del tiempo (en horas), y además deseamos escribir dicha función.

Primero comenzaremos recordando la ecuación física que calcula el espacio recorrido por un móvil que se mueve con velocidad constante: d = v · t, donde d es el espacio recorrido, v la velocidad y t el tiempo empleado. En este caso, v = 110 km/h, por lo tanto, podemos escribir que d = 110 · t o d = 110t (d en kilómetros y t en horas). Por consiguiente, la función que relaciona el tiempo transcurrido con la distancia recorrida tendría la forma f(t) = 110t.
Es decir, se trata de una función lineal cuyo coeficiente es 110, la velocidad del automóvil.

Ejemplo 2: un comerciante decide rebajar un 30% todos los artículos que tiene en su tienda. Pero quiere comprobar que el precio rebajado es una función lineal del precio original y además también desea calcular y escribir la forma que tendría esta función.
Llamaremos x al precio original de un artículo. El precio rebajado debería ser:

.
Si sacamos factor común a x:

Por consiguiente, la función que transforma el precio original en precio rebajado es: f(x) = 0,7x o y = 0,7x. Se trata de una función lineal y su coeficiente es 0,7.
Ejemplo 3: vertemos agua en el interior de un vaso cilíndrico de 12 cm de altura y 8 cm de diámetro. Queremos comprobar que la función que transforma el nivel del agua en el vaso, h (en cm), en volumen de agua (en cm3) es una función lineal. Así mismo queremos calcular la función.

Comenzaremos recordando que el volumen V de un cilindro de radio r y altura h viene dado por la fórmula:

V =

r2h.
El diámetro del cilindro es de 8 cm, por lo que su radio es de 4 cm.
Así, cuando el nivel del agua ha alcanzado los h cm de altura, el volumen del líquido en el interior del vaso viene dado por V =

× 42 × h = 16

h.
Por consiguiente, la función que transforma la altura del agua en volumen de agua viene dada por la siguiente expresión: f(h) = 16

h o y = 16

h.
Se trata de una función lineal cuyo coeficiente es 16

.

II. Definir una función lineal a partir de una gráfica
Ejemplo: queremos calcular la función lineal representada en la figura mediante la recta D.
Observando e interpretando la gráfica, podemos calcular las coordenadas de un punto M cualquiera —que no sea el origen— perteneciente a la recta D. En este caso, las coordenadas de M son (–5, 3).

Llamemos y = ax a la función lineal que deseamos calcular. El punto M pertenece a la recta que representa dicha función. Es decir, que si sustituimos las coordenadas del punto M en la función, tendríamos que: 3 = a · (-5), “…cuando le damos a x el valor -5, la y adquiere el valor 3”. Si despejamos obtenemos el coeficiente: