Funciones y = x 2 e y = 1/x

Estudiadas las funciones lineales, vamos a tratar ahora la función cuadrática, y = x2, y la función inversa o recíproca, y = 1/x.
¿Se mantiene siempre igual el orden entre dos números que entre los valores obtenidos al elevarlos al cuadrado? ¿Y con sus valores inversos? Estudiando ambas funciones descubriremos para qué intervalos el orden se mantiene y para qué intervalos el orden se invierte.

Se pueden obtener otras muchas funciones a partir de estas funciones básicas.

I. Características de la función y = x2
La función y = x2 está definida para todos los números reales, R.
Decrece para los valores del intervalo y crece para los del intervalo .
Su tabla de variación es la siguiente:


Construimos la siguiente tabla de valores:


Con esta tabla de valores podemos representar dicha función, resultando la parábola:


Nota: al elevar al cuadrado dos números iguales pero con signos opuestos, se obtiene el mismo valor; por tanto, la curva es simétrica respecto al eje y.
II. Características de la función inversa
La función inversa y = 1/x no está definida para x = 0: está definida para todos los valores reales menos el cero, R - 0.
Decrece para los valores del intervalo y para los del intervalo .
Su tabla de variación es la siguiente:


Construimos la siguiente tabla de valores:


Podemos ahora representar las dos ramas de la hipérbola que representa a dicha función:

Nota: las imágenes de dos números con signos opuestos también son opuestas; la curva es, por tanto, simétrica con respecto al origen de coordenadas.
III. Descomponer una función mediante una serie de operadores
Un operador es una función que define una operación simple. Por ejemplo:
—sumar 2:
;

—calcular la raíz cuadrada:
;
—hallar el opuesto:
.
Si se conoce la cadena de operadores, es fácil determinar la función final.
Ejemplo: si aplicamos sucesivamente los operadores “sumar 2”, “elevar al cuadrado” y “obtener el opuesto”, se obtiene la función y = -(x + 2)2. La secuencia de operadores será:
.
Tomemos dos números a y b del intervalo [0, 5], tales que a < b; entonces: 0 < a < b < 5.
En primer lugar, le sumamos 2 a cada miembro: 2 < a + 2 < b + 2 < 7 .
Al elevar estos números positivos al cuadrado, el orden no cambia: .
Si tomamos ahora los valores opuestos, el orden cambia: .
El orden de las imágenes de a y b obtenidas al aplicarles la función y = -(x + 2)2 es el inverso. El signo se ha invertido; por tanto, es una función decreciente en este intervalo.
IV. Comparar un número positivo con los valores de su cuadrado, de su cubo, de su inverso y de su raíz cuadrada
Representamos en una misma gráfica, para valores de x pertenecientes al intervalo , las cinco funciones: y = x; y = x2; y = x3; ; y = 1/x. Obtenemos:

Se puede comprobar observando dicha gráfica que:
si 0 < x < 1, entonces se cumple que: ;
si x > 1, entonces tenemos que: .
Recuerda:
—La función cuadrática y = x2, por la que se obtiene el cuadrado de cualquier número real, decrece para valores negativos de x y crece para los valores positivos de esta variable. Al elevar al cuadrado se invierte el orden si los números son negativos, y se mantiene dicho orden si son positivos. La representación de la función y = x2 es una parábola.
—La función inversa y = 1/x, por la que se obtiene el inverso de cualquier número real distinto de cero, decrece para los valores negativos y positivos de la variable. Esta función invierte el orden, tanto para valores positivos como negativos de la variable x. La representación de la función inversa y = 1/x son las dos ramas de una hipérbola.
—Descomponiendo una función en una serie de operadores, resulta fácil determinar cómo varía la función en un intervalo dado.
—Los números entre 0 y 1 son mayores que su cuadrado y menores que su raíz cuadrada. Los números mayores que 1 son mayores que su raíz cuadrada y menores que sus cuadrados.