Calcular una función afín

¿Qué elementos vamos a necesitar para hallar una función del tipo y = ax + b y para comprenderla completamente? 

I. Calcular una función afín

Las funciones del tipo y = ax + b (se pueden expresar también como f(x) = ax + b) se denominan funciones afines. Son muy parecidas a las funciones lineales del tipo y = ax, solo que han sufrido un desplazamiento respecto al origen, provocado por el término independiente “b”. Por lo tanto, decimos que una función afín es una función del tipo y = ax + b, donde a y b son valores constantes. Vamos a calcular una función afín hallando los valores de a y b.

1. Conocemos los valores de la y de dos números dados
Usemos un ejemplo para demostrarlo. Queremos calcular la función afín que hace que: f(4) = 5 y que f(2) = –1.

Todas las funciones afines se caracterizan por la forma f(x) = ax + b. Calculemos a y b.
Para hacerlo, podemos decir que para x = 4, tenemos que f(4) = a · 4 + b. Por lo tanto, si f(4) = a · 4 + b y f(4) = 5, obtenemos la ecuación 4a + b = 5.
Para x = 2, tenemos que f(2) = a · 2 + b. Por lo tanto, si f(2) = a · 2 + b y f(2) = -1, obtenemos la ecuación 2a + b = –1.
Así que hemos de resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, las cuales son a y b:



Resolviendo el sistema por sustitución, obtenemos:

 ;  ;  ;  ;  ; .

Por consiguiente, la función afín que buscamos es f(x) = 3x – 7.
2. Otras situaciones
Ejemplo 1: vertemos agua en una probeta hasta una altura de 11 cm. Notamos que cada día que pasa el nivel del agua desciende 4 mm debido a la evaporación. Queremos demostrar que la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura del agua en la probeta (en cm) es una función afín. Además, queremos calcular esta función.
Después de x días, el nivel del agua ha bajado 4x mm, esto es, 0,4x cm.
Tras x días, la altura del agua en la probeta (en cm) debería ser de 11 – 0,4x, o lo que es lo mismo, –0,4x + 11.

Por consiguiente, la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura (en cm) del agua en la probeta, es la función afín: f(x) = – 0,4x + 11.

Ejemplo 2: un conductor realiza un trayecto desde la ciudad A hacia la ciudad B, situada a 750 km de A. Conduce a una velocidad constante de 90 kilómetros por hora. Queremos demostrar que la función que relaciona la duración del viaje (en horas) con la distancia que separa al conductor de la ciudad B, es una función afín. Así mismo, queremos calcularla.

Llamaremos x a la duración del viaje en horas. Tras x horas, el conductor ha recorrido 90x km. Por tanto, la distancia (en km) que separa al conductor de la ciudad B es: 750 – 90x; esto es, –90x + 750.
Es decir, la función que relaciona la distancia que separa al conductor de B (en km), con la duración del viaje (en horas) es la función afín: f(x) = – 90x + 750.
II. Usar la representación gráfica para calcular una función afín
Ejemplo: queremos calcular la función afín representada en la figura por la recta D.

Hagamos que f(x) = ax + b sea la función afín que queremos calcular.
Analizando la gráfica, podemos hallar el valor de f(x) —de la y— de la recta D en el origen, es decir, el valor de b. En este caso b = 3.

De tal manera que la función afín que estamos buscando es del tipo f(x) = ax + 3. Ahora solamente nos queda hallar el valor de a.

Para obtenerlo, buscamos en la recta las coordenadas de un punto M cualquiera. Leyendo la gráfica, podemos decir que M es un punto de coordenadas (2, 7).
Este punto está en la recta y representa a la función afín, en otras palabras: f(2) = 7.
Además, si calculamos el valor de la función para x = 2, obtenemos que f(2) = a · 2 + 3.
Igualando estas dos expresiones obtenemos que: 2a + 3 = 7.
Simplificando la ecuación:

2a = 7 – 3; 2a = 4 y a = 2.

Así, la función afín que estamos buscando es f(x) = 2x + 3.
Nota: otro método consiste en usar la gráfica para hallar las coordenadas de dos puntos de la recta. Por ejemplo, podemos tomar los puntos M(2, 7) y N(0, 3). A partir de ellos construimos las siguientes ecuaciones:


que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que resolvemos como hemos visto anteriormente.
Ver artículo Representación gráfica de una función afín.