Trigonometría

Trigonometría

Cálculo de la altura de un edificio

Para hallar la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de observación a la base del edificio, D, y el ángulo θ (theta) que se muestra en el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la tangente de θ (H/D = tg θ). Para calcular H se multiplica la tangente de θ por la distancia D (H = D tg θ). El ángulo se puede medir con cierta exactitud utilizando un transportador de ángulos y una plomada (hecha con un lápiz que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del transportador y se apunta con la base de éste hacia el tejado del edificio. El ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.

Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.

Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.

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TRIGONOMETRÍA PLANA

Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas.

2.1

Razones trigonométricas de ángulos agudos

La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.

En un ángulo α de un triángulo rectángulo, ABC, se llama seno de α, y se escribe sen α, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

Análogamente se definen el coseno (cos) como cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y la tangente (tg) como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Hace no muchos años existían tablas numéricas en las que se daban los valores de las razones trigonométricas de una gran cantidad de ángulos. En la actualidad, con una calculadora científica se obtienen con toda precisión los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo cumplen las siguientes propiedades:

Aunque el ángulo α pertenezca a otro triángulo rectángulo de lados distintos al anterior, los valores obtenidos para sen α, cos α y tg α son los mismos. Es decir, las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo sobre el que se midan. Esto es debido a que dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo son semejantes y, por tanto, los cocientes, a/c, b/c, a/b coinciden en ambos.



Las razones trigonométricas sen y cos de un mismo ángulo guardan la siguiente relación fundamental:



(sen α)² + (cos α)² = 1


En vez de (sen α)² se acostumbra a escribir sen² α, y lo mismo con las demás razones trigonométricas. Por eso, la igualdad anterior se suele expresar así:



sen² α + cos² α = 1


Las razones sen α, cos α y tg α se relacionan entre sí del siguiente modo:

2.2

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

Para definir las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (de 0º a 360º) se empieza situando el ángulo en la llamada circunferencia goniométrica, una circunferencia de radio 1 con su centro, O, situado sobre unos ejes coordenados:

El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de sus lados, a, sobre la parte positiva del eje de las X. El segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia goniométrica en un punto, P, cuyas coordenadas son c = cos α y s = sen α. Es decir, P(cos α, sen α). La tg α= t se sitúa sobre la recta r, tangente a la circunferencia en U, y queda determinada por el punto T en que el lado b, o su prolongación, corta a r.

Según esta definición, las razones trigonométricas sen, cos y tg toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo α. En la figura siguiente se resumen los signos de las tres razones:

Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente, pues para ellos el segundo lado no corta a la recta r.

Las razones trigonométricas de ángulos no agudos cumplen las mismas relaciones que las de los ángulos agudos: sen² α + cos² α = 1

2.3

Otras razones trigonométricas

A partir de las razones trigonométricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec), la secante (sec) y la cotangente (cot) del siguiente modo:

Estas razones trigonométricas no están definidas cuando el denominador es cero. Por ejemplo, sec α no está definida para α = 90º ni para α = 270º, pues cos 90º = 0 y cos 270º = 0.

La cotangente es cero donde la tangente no está definida, es decir, cot 90º = 0 y cot 270º = 0.

Estas tres razones trigonométricas se sitúan en la circunferencia goniométrica como se indica en la figura:

2.4

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Si dos ángulos son complementarios (suman 90º) sus razones trigonométricas están relacionadas. También lo están las de los ángulos suplementarios (los que suman 180º) y las de los opuestos (los que suman 360º). A continuación se dan las relaciones fundamentales entre ellas.

• Ángulos complementarios, α y 90º - α:

• sen (90º - α) = cos α
• cos (90º - α) = sen α
• tg (90º - α) = cos α/sen α = 1/tg α
• Ángulos suplementarios, α y 180º - α:

• sen (180º - α) = sen α
• cos (180º - α) = -cos α
• tg (180º - α) = -tg α
• Ángulos opuestos, α y -α:

• sen (-α) = -sen α
• cos (-α) = cos α
• tg (-α) = -tg α
• Ángulos que difieren en 180º, α y α + 180º:

• sen (α + 180º) = -sen α
• cos (α + 180º) = -cos α
• tg (α + 180º) = tg α

2.5

Resolución de triángulos

Las razones trigonométricas de ángulos agudos sirven para resolver triángulos rectángulos, es decir, para averiguar uno de sus elementos desconocidos a partir de algunos otros conocidos.

Por ejemplo, si se conoce la hipotenusa, h, y un ángulo α, se puede calcular el cateto opuesto, c, a ese ángulo, mediante el seno, puesto que al ser sen α = c/h se obtiene que c = h sen α.

Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver triángulos oblicuángulos. Por ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros dos lados a y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno permite calcularlo: c² = a² + b² – 2ab·cos C

O bien, si se conocen un lado, a, y los ángulos de un triángulo, se puede hallar otro lado, b, mediante el teorema del seno:

De aquí, despejando b se obtiene:

2.6

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas de la forma siguiente:

El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2p radianes.



Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus razones trigonométricas se relacionan con las razones de los ángulos comprendidos en el intervalo [0, 2p) del siguiente modo: si x - x’ = k · 2p, k número entero, entonces sen x = sen x’, cos x = cos x’, tg x = tg x’. Es decir, si dos números difieren en un número entero de veces 2p, entonces tienen las mismas razones trigonométricas.

De este modo se obtienen las funciones trigonométricas y = sen x, y = cos x, y = tg x, llamadas también funciones circulares. Sus representaciones gráficas son:

Las otras funciones trigonométricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x, por la relación que tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:

Todas las funciones trigonométricas son periódicas: sen, cos, sec y cosec tienen periodo 2p, mientras que tg y cot tienen periodo p.

2.7

Funciones inversas

La expresión “y es el seno de θ” o y = sen θ, es equivalente a la expresión “θ es el ángulo cuyo seno es igual a y”, lo que se expresa como θ = arcsen y, o también como θ = sen^-1y. La función arcsen (que se lee arco seno) es la función inversa o recíproca de la función sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y, arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen θ o θ = arcsen y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de θ, puesto que sen p/6 = sen 5p/6 = sen ((p/6) + 2p) =…= y, teniendo en cuenta que los ángulos p/6 y 5p/6 son suplementarios. Por tanto, si θ = arcsen y, entonces θ = (p/6) + n 2p y θ = (5p/6) + n 2p, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor p/6 se toma como valor principal o fundamental del arcsen y. Para todas las funciones inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas costumbres, pero la más común es que los valores principales de las funciones inversas estén en los intervalos que se dan a continuación:

-p/2 ≤ arcsen y ≤ p/2
0 ≤ arccos y ≤ p
-p/2 < arctg y < p/2
0 < arccosec y < p
-p/2 < arcsec y < p/2
0 < arccot y < p

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos: los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo, que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.

Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente forma para triángulos esféricos:

La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.

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HISTORIA

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.

Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de y°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nθ y cos nθ, en función de potencias de sen θ y cos θ.

Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.

Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

Circunferencia

Circunferencia

Circunferencia

Algunos de los elementos de una circunferencia son: diámetro, radio, cuerda y arco. Para experimentar con las propiedades de la circunferencia, se ata un hilo alrededor de una lata y se mide la longitud del hilo (longitud de la circunferencia). Utilizando el hilo, se divide la tapa de la lata en dos partes iguales y se mide la longitud (diámetro de la tapa). Se divide el valor medido de la circunferencia (C) por el del diámetro (D); si se repite varias veces esta operación con distintos objetos circulares, se obtiene siempre un cociente C :D alrededor de 3:1, sean los círculos grandes o pequeños. Este cociente se representa con el símbolo p.

Circunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el círculo (superficie), aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas, pues una circunferencia se puede definir como la intersección de una superficie cónica con un plano perpendicular a su eje.

Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina diámetro. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es un segmento rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. Un arco de circunferencia es la parte de ésta que está delimitada por dos puntos. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios.

La proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante, representada por el símbolo p, o pi. Es una de las constantes matemáticas más importantes y desempeña un papel fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas, física y otras ciencias, así como en ingeniería. Pi es aproximadamente 3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayoría de los cálculos. El matemático griego Arquímedes encontró que el valor de p estaba entre 3 + ‡ y 3 + .

El centro de la circunferencia es centro de simetría, y cualquier diámetro es eje de simetría.

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POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, si no se cortan (no tienen ningún punto en común), tangentes, si sólo se tocan en un punto (punto de tangencia), y secantes si tienen dos puntos comunes.

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia.

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POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias también pueden no tocarse, ser tangentes o ser secantes según tengan ninguno, uno o dos puntos comunes, respectivamente. Sin embargo, se pueden precisar más las posiciones relativas de dos circunferencias según la distancia entre sus centros, d, y las longitudes de sus radios, r₁ y r₂:

• Exteriores: si no tienen puntos comunes y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

• Tangentes exteriores: si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

• Secantes: si tienen dos puntos comunes.

• Tangentes interiores: si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

• Interior una a la otra: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios.

• Concéntricas: si tienen el mismo centro.

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CIRCUNFERENCIAS Y POLÍGONOS

La circunferencia inscrita en un polígono regular es la que tiene su centro en el del polígono y es tangente a todos sus lados. Su radio es igual a la apotema del polígono.

La circunferencia circunscrita a un polígono regular es la que pasa por todos sus vértices.

Los triángulos, aunque no sean regulares, tienen siempre circunferencia inscrita (tangente a sus tres lados) y circunscrita (que pasa por sus tres vértices). Se llama circunferencia exinscrita a un triángulo, a la que es tangente a uno de sus lados y a las prolongaciones de los otros dos.

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ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Como ya se ha dicho anteriormente, un ángulo central de una circunferencia es el que tiene su vértice en el centro de ésta. La medida de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Un ángulo inscrito en una circunferencia es aquel cuyo vértice está sobre ella y cuyos lados la cortan en sendos puntos. La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Un ángulo semiinscrito en una circunferencia es aquel cuyo vértice, V, está sobre ella, uno de sus lados la corta y el otro es tangente en V. La medida de un ángulo semiincrito es la mitad de la del arco que abarca.

En una circunferencia, un ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la misma. Su medida es la mitad de la suma de la medida del arco que abarcan sus lados con el arco que abarcan sus prolongaciones.

Un ángulo exterior a una circunferencia es el que tiene su vértice en el exterior de la misma. Su medida es la semidiferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Triedro

Ángulo  Triedro

Triedro o Ángulo triedro, es un ángulo poliédrico de tres caras. Tiene también tres diedros.

Las caras y los diedros de un triedro cumplen las siguientes propiedades:

• Cada cara es menor que la suma de las otras dos.
• La suma de las tres caras es menor que 360º.
• La suma de los tres diedros es mayor que 180º y menor que 540º.

La intersección de un triedro con una superficie esférica con el centro en su vértice es un triángulo esférico:

Los lados del triángulo, a, b, c, son arcos de circunferencia máxima cuyas medidas coinciden con las de las respectivas caras del triedro. Los ángulos del triángulo son los correspondientes diedros del triedro.

Un triedro trirrectángulo es el que tiene los tres diedros rectos, es decir, el que está formado por tres planos perpendiculares entre sí. Sus aristas son tres semirrectas perpendiculares entre sí y, por tanto, sus caras son también ángulos rectos. El correspondiente triángulo esférico tiene los tres lados y los tres ángulos de 90º:

Diedro

Diedro

Diedro o Ángulo diedro, porción de espacio determinada por dos semiplanos con la arista común, a la cual se llama arista del diedro. Cada uno de los dos semiplanos se llama cara del diedro.

El rectilíneo de un diedro es el ángulo plano que resulta de cortar el diedro por un plano perpendicular a su arista. En la figura, el ángulo plano α es el rectilíneo del diedro:

La medida de un diedro es igual a la medida de su rectilíneo.

Ángulo poliédrico

Ángulo poliédrico

Ángulo poliédrico o Ángulo poliedro, es la porción de espacio determinada por varias (tres o más) semirrectas con origen común, dadas en un cierto orden. Las semirrectas se llaman aristas del ángulo poliédrico y el punto común es su vértice. Cada dos aristas consecutivas forman un ángulo que se llama cara. La última de las aristas forma cara con la primera.

Cada dos caras consecutivas forman un ángulo diedro. Un ángulo poliédrico formado por n aristas (n ≥ 3) tiene n caras y n diedros.

Se dice que un ángulo poliédrico es convexo cuando todo él está en el mismo semiespacio respecto a cada una de sus caras. En caso contrario se llama cóncavo.

La suma de las caras de un ángulo poliédrico es menor que 360º. Cada cara de un ángulo poliédrico es menor que la suma de todas las demás.

El ángulo poliédrico de tres caras se llama triedro.

Mapas mentales

Mapas mentales

Mapas mentales, también llamados por algunos mapas cognitivos, son la expresión gráfica de las imágenes que el cerebro elabora del medio que le rodea, es decir, de las representaciones internas del espacio y sus propiedades que cada persona guarda en su memoria. El ser humano tiene en su cerebro una imagen de cómo es el espacio geográfico que le rodea, pero esta no se corresponde con la realidad objetiva sino con la percepción que cada uno tiene de su entorno. En consecuencia, los mapas mentales muestran la percepción subjetiva del medio geográfico, y representan el conocimiento personal de la organización espacial del entorno propio, así como la información que se tiene de los atributos relacionados con cada espacio, además de las emociones que genera ese espacio en cada persona.

Según el geógrafo Roger Downs (1981) “el mapa cognitivo es una metáfora del mapa cartográfico y también es una metáfora del conocimiento espacial realmente almacenado por el individuo, ya que este conocimiento es diferente, más complejo, con más matices y discontinuidades, etc. que lo que se llega a reflejar en su externalización en forma de mapa cognitivo”. Este tipo de mapa, comparado con la cartografía científica, suele falsear y distorsionar las distancias o las superficies; sin embargo, representa la realidad que cada persona piensa que tiene alrededor. Por ejemplo, sobre una comarca de montaña, la cartografía científica trazaría un mapa de acuerdo a unas proyecciones, una escala, una orientación, unas coordenadas geográficas, unas referencias de altitud y unas proporciones matemáticas. Un mapa mental sobre esa misma comarca reflejará lo que cada uno de sus habitantes ve de acuerdo a sus percepciones individuales y a su memoria, destacará unos elementos más que otros, y en él unas distancias resultarán más largas de lo que en realidad son y otras más cortas. Posiblemente, todos los mapas mentales de esa misma comarca serán parecidos entre sí cuando sean realizados por sus habitantes, pero los realizados por visitantes ocasionales o un turista serán totalmente diferentes. La imagen mental del medio geográfico en el que se desarrolla la vida actúa como una especie de filtro de la realidad que condiciona el comportamiento espacial y las actividades de las personas.

Los mapas mentales ayudan a explicar tomas de decisiones y comportamientos en temas tan distintos como la emigración y el turismo (predisposición para desplazarse a unos lugares u otros) o la localización industrial (preferencia por una localidad u otra para instalar una empresa).

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GEOGRAFÍA DE LA PERCEPCIÓN Y DEL COMPORTAMIENTO

Los mapas mentales surgen como resultado de un enfoque geográfico nacido en la década de 1960 que ponía en relación los estudios espaciales con la Psicología y las teorías conductistas. Este enfoque, iniciado por David Lowenthal dentro de las perspectivas fenomenológicas y conocido como geografía de la percepción y el comportamiento, criticaba la pretendida objetividad de la Geografía que había existido hasta el momento. A cambio, abogaba por dar una mayor importancia a ciertos aspectos espaciales más subjetivos. De esta manera se querían identificar y analizar ciertos problemas geográficos que hasta ese momento habían permanecido ocultos para la ciencia.

Si la Geografía analiza las relaciones del ser humano y el medio, debe tener en cuenta que, en su relación con el medio, cada ser humano no utiliza siempre la perspectiva lógica y racional propia de la ciencia moderna, sino que se rige por criterios propios. Hay muchos elementos que ejercen su influencia sobre las personas y condicionan su comportamiento, por ejemplo, las emociones (impulsos y manifestaciones de excitación ante ciertos acontecimientos que nos conducen a actuar), las motivaciones (voluntad de buscar algo que se percibe como imprescindible para satisfacer una necesidad o un deseo) y las actitudes (predisposición aprendida, ya sea negativa o positiva, hacia algo; es el caso de los estereotipos o imágenes previas que tiene la mente humana y que se aceptan por inercia, sin contrastarlas y sin someterlas al análisis de la razón).

Cuando la razón no se deja llevar por las emociones, motivaciones y actitudes previas para tomar una decisión y logra actuar sin esos condicionantes, existe otro elemento que modifica los criterios de decisión. Se trata de la información recibida. El cerebro humano se encuentra entonces con otros problemas: la información siempre es incompleta dado su ingente volumen, puede estar sesgada intencionadamente (es decir, manipulada por terceros que defienden determinados intereses) y puede ser incomprensible, ya que no todas las personas son capaces de asimilar el mismo tipo de información.

En definitiva, para la Geografía de la percepción y el comportamiento la relación del ser humano con el medio está condicionada principalmente por todos estos elementos. Las decisiones no se toman respecto al medio real, sino respecto a la imagen personal del medio, a la percepción propia del espacio.

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PERCEPCIÓN DEL ESPACIO

La percepción que las personas tenemos del espacio se organiza en tres niveles o escalas diferentes, que van de lo más próximo a lo más lejano:

Espacio personal. Se trata del microespacio más íntimo de la persona. Se relaciona normalmente con el domicilio o una parte de este. Es un espacio tan pequeño y particular que las emociones juegan un importante papel en la imagen que de él se forma la mente.

Espacio de vida. Tiene dos partes. Por un lado el espacio cotidiano donde se realizan la vida diaria y los desplazamientos habituales (trabajo, compras, paseos, visitas…), en el que la experiencia personal tiene un papel fundamental a la hora de componer la imagen del medio. Por otro, el espacio próximo, conocido y quizás recorrido ocasionalmente, en el que la información de otras personas cercanas o las noticias de prensa local influyen decisivamente a la hora de componer la imagen mental. Por ejemplo, alguna localidad cercana, o algún barrio de la ciudad apenas frecuentado.

Espacio lejano o marginal. Es el espacio que está al margen de la experiencia vivida. Es un espacio lejano, quizás no en distancia, pero sí en cuanto a la relación que la persona tiene con él. En este espacio las imágenes dependen de estereotipos culturales. Los grandes medios de comunicación (Internet, televisión, radio...), con las informaciones que transmiten, contribuyen de forma decisiva a formar la imagen de los espacios marginales o periféricos que la persona desconoce.

La percepción del espacio hace que, determinados lugares, que están a una corta distancia en metros, resulten mucho más alejados que otros que se encuentran a cientos de kilómetros. Así, muchas personas no recorrerán nunca determinadas calles o barrios de su ciudad porque los perciben como peligrosos o desagradables. Igualmente, a muchas personas en Reino Unido les resulta más cercana Norteamérica y se desplazarán allí antes que al Sahara, localizado a menos kilómetros. Igualmente, muchos dominicanos y ecuatorianos se trasladarán antes a España que hasta Estados Unidos que sin embargo, está a una distancia menor.

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LOS MAPAS MENTALES EN DIVERSAS DISCIPLINAS

El término de mapa cognitivo se ha utilizado para profundizar en la construcción de las ideas espaciales en otras disciplinas y ramas de la Geografía. El urbanista Kevin Lynch (1960) constató que los individuos construimos una representación de nuestro entorno mediante procesos en gran parte comunes; por ejemplo, los ciudadanos de una misma ciudad crean una imagen pública de esta común a todos ellos. Igualmente, gracias a la geografía humanística se añadió el componente afectivo y simbólico en la comprensión e interpretación del espacio al constatar la importancia de las vivencias y el valor emocional en el sujeto a la hora de la representación espacial, convirtiendo los espacios en 'lugares' cargados de significación.

Stanley Milgram, en su estudio sobre París de 1976, aporta la 'legibilidad social' frente a la 'legibilidad visual' de Lynch. En su investigación, la ciudad adquiere en la mente de los individuos un carácter jerarquizado, más allá de la mera interpretación del mapa cognitivo.

Desde el campo de la Psicología se han realizado importantes aportaciones al mapa cognitivo. En un manual de psicología ambiental publicado en 1913 apareció el término ‘mapa imaginario’ aceptado por el geógrafo Trowbridge (Fundamental Methods of Orientation and 'Imaginary Maps'), quien estudiaba la representación cognitiva del ambiente a gran escala, suponiendo que las personas generan imágenes que les permiten fijar direcciones entre ciudades.

Sin embargo, el término mapa cognitivo se debe al psicólogo conductista Edward C. Tolman y a su artículo, escrito en 1948, Cognitive Maps in Rats and Men, en el que concluyó que las ratas parecían poseer en sus cerebros algo así como un mapa de rutas que les permitía relacionar elementos espaciales y gracias a este, en último término, se determinaba su comportamiento.

En 1966, el geógrafo estadounidense Peter Gould sorprendió al mundo entero con su libro sobre los mapas mentales (On Mental Maps, 1966). En español han sido variados los trabajos realizados: J. Estébanez (Problemas de interpretación y valoración de los mapas mentales, 1981); C. de Castro (La búsqueda de datos para mapas cognitivos, 1997); A. García Ballesteros y J. Bosque Sendra (El espacio subjetivo de Segovia, 1989); G. Ponce, J.M. Dávila y Mª R Navalón (Análisis urbano de Petrer; estructura urbana y ciudad percibida, 1994); y J. Boira (La ciudad de Valencia y su imagen pública, 1992), entre otros.

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ELABORACIÓN DE MAPAS MENTALES

La imagen mental que cada persona tiene en su cerebro puede expresarse a través de un mapa mental. Al igual que la imagen personal del medio, el mapa también es una expresión subjetiva.

Kevin Lynch, en sus trabajos realizados sobre el espacio urbano que comenzó en 1960, identificó una serie de elementos que utilizaban las personas al componer sus imágenes espaciales; estos eran los que más aparecían cada vez que se trasladaba la imagen del medio a un mapa mental. Clasificó dichos los elementos en:

Sendas o caminos. Son los canales a través de los cuales las personas realizan sus desplazamientos (calles, caminos, carreteras…).

Nodos. Son los focos o núcleos en los que las personas se detienen para actuar (domicilio, lugar de trabajo, colegio…). En muchas ocasiones son simples concentraciones o cruces de caminos.

Distritos. Son las áreas a las que las personas reconocen una individualidad. Pueden tener un tamaño muy diferente, desde una manzana, un valle, una ladera, una provincia…

Bordes. Son líneas que delimitan el espacio, en general todo aquello que no se utiliza como senda, que se percibe como un obstáculo o barrera para el tránsito, o que constituye una discontinuidad espacial (una gran autopista, una vía de tren, un río…).

Hitos. Son los referentes espaciales que las personas singularizan y gracias a los cuales pueden orientarse, aunque no estén en su camino (una estatua, una fuente, un edificio emblemático, una montaña…).

En origen, estos elementos espaciales se referían al medio urbano porque allí se hicieron los primeros estudios en ese sentido; sin embargo, hoy se aplican también para la elaboración de un mapa mental en el medio rural e, incluso, en el medio natural.