Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado

Los cuadrados y los rectángulos son cuadriláteros especiales. La peculiaridad del cuadrado es que es al mismo tiempo un rectángulo y un rombo.
¿Cuáles son las propiedades de estas figuras y cómo podemos dibujarlas?

I. Rectángulos
1. Definición
Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos.



Basándonos en la definición que acabamos de dar podemos demostrar que:
—los lados opuestos de un rectángulo son paralelos;
—los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud;
—todos los rectángulos tienen dos ejes de simetría, los cuales son las mediatrices de sus lados. Por el mismo motivo, si las mediatrices de los lados de un cuadrilátero son ejes de simetría, entonces el cuadrilátero es un rectángulo.



2. Construcción
Las ilustraciones de abajo muestran las etapas de construcción de un rectángulo. Si nos dieran previamente las longitudes de los lados, necesitaríamos usar una escuadra o un cartabón graduados.



II. Cuadrados
1. Definición
Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene cuatro ángulos rectos y cuatro lados de la misma longitud.


Basándonos en la definición anterior, podemos demostrar que todos los cuadrados tienen cuatro ejes de simetría: las mediatrices de los lados y las diagonales. Por el mismo motivo, si las mediatrices de los lados y las diagonales de un cuadrilátero son ejes de simetría, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

Notas:
—de acuerdo con la definición de un rectángulo, podemos decir que si un cuadrilátero es un cuadrado, entonces es también un rectángulo;
—de acuerdo con la definición de un rombo, podemos afirmar que si un cuadrilátero es un cuadrado, entonces es también un rombo.
2. Construcción
Simplemente basta repetir la construcción del rectángulo que hemos visto anteriormente, teniendo cuidado de marcar los puntos a la misma distancia desde el vértice del primer ángulo recto.

Calcular el área de un triángulo

Triángulos con lados de distinto tamaño pueden tener la misma área. El área de un triángulo solo depende de la longitud de su base y de su altura.
¿Cómo podemos calcular el área de un triángulo a partir de esa información?

I. Calcular el área de un triángulo
1. Base y altura

Podemos escoger cualquier lado de un triángulo y tomarlo como su base. Por conveniencia, la misma palabra (base) se usa para dar a entender la longitud de ese lado. En cuanto uno de los lados es escogido como base, podemos apreciar que hay solo una altura relativa a esa base. Recuerda que la altura es la perpendicular a la base que pasa por el vértice opuesto a ella.



2. Fórmula
La fórmula que nos permite calcular el área A de un triángulo de base b y altura h es: .


Para aplicar correctamente esta fórmula, b y h deben estar expresados en las mismas unidades de medida, y A vendrá dada en las unidades correspondientes; por ejemplo: si b viene dado en cm, entonces debemos trabajar con h expresada en cm y el resultado que obtengamos para A vendrá expresado en cm2.
3. Ejemplo
Tomemos el lado AB como la base del triángulo que aparece en la figura 3.



Aplicamos la fórmula del área con los siguientes datos: b = 4 cm y h = 3,5 cm.

. Por tanto, el área del triángulo es de 7 cm2.
4. Un caso especial
En el caso del triángulo rectángulo, si escogemos uno de los catetos como base, la altura correspondiente a él es precisamente el otro cateto. Es decir, en el triángulo rectángulo, dos de sus alturas se superponen a los catetos y, por lo tanto, miden lo mismo que ellos.

En la figura 5, el área A del triángulo con el ángulo recto en I, viene dada por la fórmula: .



II. Suplementos
1. Demostración de la fórmula
La figura 6 servirá como ejemplo para demostrar la fórmula que calcula el área del triágulo:


El área del romboide es . El área de cada triángulo es justo la mitad del área del romboide; por lo tanto, el área del triángulo es: .
2. Calcular la altura de un triángulo
es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en A, donde AB = 4 cm, BC = 5 cm y AC = 3 cm. Vamos a calcular la altura h = AH.


El área del triángulo es: .
Esta área (6 cm2) también es igual a: . Por consiguiente, ; y despejando: ; y .
La altura AH mide 2,4 cm.

Calcular el área y el perímetro de un rectángulo

Para calcular el perímetro P y el área A de una piscina rectangular, debemos conocer su largo b y su ancho a. Entonces aplicaremos la fórmula P = 2 x a + 2 x b y A = b x a. Sin embargo, ¿cómo podemos explicar estas dos fórmulas tan conocidas?

I. El perímetro de un rectángulo

Para calcular el perímetro P de un rectángulo de dimensiones b y a podemos usar una de las siguientes fórmulas:

P = 2 x b + 2 x a; o sacando factor común a 2:
P = 2 x (b + a).
Donde b representa la longitud de la base, y a la medida de su altura.
La figura de abajo nos muestra por qué:



En estas fórmulas, P, b y a deben estar expresados en las mismas unidades de medida; por ejemplo, en centímetros.

Un caso especial: el perímetro P de un cuadrado de lado b es igual a 4 × b.

II. El área de un rectángulo
Para calcular el área de un rectángulo observa la figura 2. Podemos experimentar rellenándolo con baldosas de 1 cm de lado cada una. Pero para rellenar el rectángulo completamente necesitaremos añadir a esas baldosas: dos rectángulos de 0,5 cm por 1 cm (en naranja), seis rectángulos de 0,25 cm por 1 cm (en violeta) y un rectángulo de 0,25 cm por 0,5 cm (en verde).



Sabemos que el área de cada baldosa es de 1 cm². A partir de aquí podemos calcular el área de los rectángulos coloreados:

—rectángulos naranjas: ;
—rectángulos violetas: ;
—rectángulos verdes: .

Por lo tanto, el área del rectángulo grande, en cm², es:
12 + 2 × 0,5 + 6 × 0,25 + 0,125 = 14,625.
Podemos ver que el producto de 6,5 (b) × 2,25 (a) es también 14,625.
Así que el área del rectángulo puede ser calculada multiplicando la longitud de su base (b) por la de su altura (a).

El área A de un rectángulo con lados de longitud b y a viene dada mediante la fórmula: A = b × a.
Para usar esta fórmula, b y a han de estar expresadas en las mismas unidades de medida, y A en la unidad correspondiente; por ejemplo: b y a en cm, y A en cm2.

Si a y b tienen la misma longitud, entonces tenemos un cuadrado.
La fórmula anterior se convertiría, por ejemplo, en: A = b × b.
Que también podemos escribirla como A = b² (que se lee: A igual a b al cuadrado; b² es una forma de simplificar la escritura de b x b).

Calcular el área de un romboide

Sabemos que el área A o superficie S de un rectángulo de base b y altura a, se calcula mediante la formula: A = b x a .

¿Qué fórmula parecida podemos utilizar para calcular el área de un romboide y cuáles son las aplicaciones directas de esa fórmula?

I. La fórmula

Observa el romboide de la figura 1. Vamos a utilizar la letra b para referirnos a la longitud de su base. Y expresamos mediante la letra h la medida de su altura, es decir la distancia que separa las dos bases.
Por ejemplo, supongamos que la base del romboide de la figura 1 mide 10 cm y que su altura es de 4 cm.
Podemos calcular el área A de un romboide con base b y altura h, mediante la fórmula: A = b × h.


Para poder aplicar esta fórmula es necesario que b y h estén expresadas en las mismas unidades de medida; de esta forma el valor que obtengamos para A también estará expresado en la misma unidad de medida. Por ejemplo, si b y h vienen expresados en cm, entonces el resultado de A vendrá expresado en cm².
Nota: el área de un romboide sería equivalente a resolver el área de un rectángulo cuyas dimensiones fueran b y h. Observa en la ilustración cómo podemos convertir un romboide en un rectángulo de la misma superficie.



II. Ejemplos prácticos
1. Ejemplo 1
Calculemos el área del romboide de la figura 1 usando las pautas que acabamos de aprender:
Ejemplo 1:  b = 10 cm; h = 4 cm; 10 x 4 = 40; el área del romboide es de 40 cm2.
Ejemplo 2: b = 5 cm; h = 8 cm; 5 × 8 = 40, el área del romboide es de 40 cm2.
Por supuesto, el resultado es el mismo.
2. Ejemplo 2
En este ejemplo vamos a usar el área de un romboide para calcular la longitud de uno de sus lados.
En la figura 3, ABCD es un romboide donde: AD = 4 cm, DH = 1,6 cm y CK = 2 cm. Calcula AB.

Podemos calcular el área del romboide usando dos métodos:
—haciendo que b = AD = 4 cm y h = CK = 2 cm: 4 × 2 = 8; por consiguiente A = 8 cm2;
—haciendo que b = AB = x cm y h = DH = 1,6 cm: x · 1,6 = 1,6x; por consiguiente A = 1,6x cm2.
Los dos métodos deben dar el mismo resultado. Por lo tanto, 1,6x = 8. Y, de esa manera, podemos obtener el valor de x:

Hemos hallado que AB = 5 cm.

Construir un prisma recto y calcular su área total

Para construir una caja rectangular, dibujamos una plantilla, llamada desarrollo, en un papel blanco, el cual cortaremos y doblaremos. ¿Cómo podemos construir este desarrollo y cómo podemos calcular el área total del prisma recto?

I. Construir el desarrollo de un prisma recto
Queremos construir el desarrollo del prisma recto que se muestra en la figura 1.



—Las dos bases del prisma son triangulares e idénticas. Las medidas de sus lados son 1 cm, 1,5 cm y 2 cm respectivamente. La altura mide 0,75 cm.

—La superficie lateral está formada por tres caras rectangulares de la misma altura, que es la misma que la altura del prisma, ya que se trata de un prisma recto: 3 cm.

—Las dimensiones de las bases de sus caras rectangulares son las mismas que las longitudes de los lados de las bases triangulares: 1 cm, 1,5 cm y 2 cm.

En la figura 2, podemos ver el desarrollo del prisma y cómo plegarlo una vez cortado.



Nota: hay un gran número de desarrollos diferentes, tantos como distintos tipos de prismas rectos. La figura de abajo nos muestra dos de ellos.

II. Calcular el área total de un prisma recto
El área lateral de un prisma recto es la suma de las áreas de sus caras laterales. Si al área lateral le sumamos las áreas de sus bases, obtenemos el área total del prisma. Conviene tener en cuenta que las dos bases de un prisma son iguales, es decir, tienen la misma área.
1. Ejemplo
Tomemos el prisma recto de la figura 1. El área lateral es igual al área del rectángulo grande que se forma al hacer su desarrollo, el cual aparece coloreado de naranja. Este rectángulo está compuesto de tres rectángulos, y sus dimensiones son: 4,5 cm de base (1,5 + 2 + 1 = 4,5) por 3 cm de altura. Por tanto, su área lateral es: AL = b × a; AL = 4,5 cm x 3 cm = 13,5 cm2.
Ahora vamos a calcular el área de sus dos bases. Las bases son triángulos, por lo tanto, el área de las bases es:
; 
Ahora calcularemos el área total (AT) sumando el lateral (AL) y el de las bases (AB): AT = AL + AB ; AT = 13,5 cm2 + 1,50 cm2.
Nota: podemos observar que la base del rectángulo grande coincide con el perímetro de cada una de las dos bases triangulares.
2. Caso general
La superficie lateral AL de un prisma recto de altura h y bases de perímetro P viene dada por la fórmula: AL = P × h. La superficie de las bases, AB, de un prisma recto de base triangular viene dada por la fórmula: , siendo b la base del triángulo y a su altura.
Por tanto, podemos resumir la fórmula que calcula el área total de un prisma recto de base triangular de la siguiente forma: AT = AL + AB, es decir:

Y simplificando el 2, nos queda:

Para aplicar esta fórmula, P, h, b y a deben estar expresadas en las mismas unidades de medida; por ejemplo, en cm, con lo que A vendría expresada en cm2.

Describir y representar un prisma recto

Geometría: Describir y representar un prisma recto

Una tienda de campaña o algunas cajas de dulces son ejemplos de prismas rectos. ¿Cuáles son las propiedades de estos cuerpos y cómo podemos describirlos?

I. Representación
Los cuerpos mostrados en la figura 1 son prismas rectos. Están dibujados en perspectiva, de manera que las aristas ocultas se representan con líneas discontinuas.



II. Propiedades
Un prisma recto es un poliedro que tiene dos caras paralelas que se pueden superponer, y el resto de sus caras son rectángulos.

Por ejemplo, el prisma P1 de la figura 1 tiene dos caras triangulares paralelas de las mismas dimensiones y tres caras rectangulares.

III. Descripción

En un prisma recto a las caras paralelas se les llama bases. A las otras caras se les llama caras laterales.
La tabla siguiente presenta, para cada uno de los prismas rectos de la figura 1, el número de vértices, aristas, caras y la naturaleza de las bases.



En un prisma recto, si V es el número de vértices, A el número de aristas, L el número de caras laterales y C el número total de caras, con los datos de la tabla se puede comprobar que se cumplen las siguientes relaciones:
V = 2 × L;
A = 3 × L;
C = L + 2;
V – A + C = 2.

La última relación, que es difícil de demostrar, se le atribuye al famoso matemático Euler
(1707–1783).
IV. Casos especiales: ortoedro y cubo
Un prisma recto con bases rectangulares es un ortoedro. En este caso, podemos escoger como bases dos caras opuestas cualesquiera de entre las seis que tiene; las otras cuatro caras son entonces las caras laterales.

Un cubo es también un prisma recto particular, cuyas bases y caras laterales son cuadrados.

Geometría: Describir una pirámide y construir su desarrollo

La palabra pirámide inmediatamente nos hace pensar en los monumentos de los faraones egipcios, pero podemos encontrar pirámides muy cerca de nuestra casa; los campanarios de muchas iglesias o los tejados de algunos edificios modernos están rematados a menudo con pirámides cuya base son polígonos de cuatro, seis u ocho lados.

Entonces, ¿cuál es la definición matemática de ese sólido? ¿Qué es una pirámide regular y cómo podemos construir una?

I. Descripción de una pirámide
1. En general

Observa la pirámide representada en la ilustración de arriba. En ella podemos distinguir los siguientes elementos:

—una base formada por un polígono (en este caso es el pentágono ABCDE);
—las caras: cada una es un triángulo cuyos vértices confluyen en el punto S (SAB, SBC, SCD, SDE y SEA). Este punto es el vértice de la pirámide.

Los segmentos SA, SB, SC, SD y SE son las aristas de la pirámide.
La línea que pasa por el vértice y es perpendicular al plano de la base, cortándolo en el punto H, es la altura (SH) de la pirámide.

Nota: la expresión altura de la pirámide puede ser usada para referirnos tanto al segmento SH como a su longitud.
2. Pirámides regulares

Decimos que una pirámide es regular cuando:
1. Su base es un polígono regular. Observa las pirámides de la figura 2; sus bases son un cuadrado y un hexágono regular.

2. Sus caras son triángulos isósceles de la misma altura. Es decir, son pirámides rectas.

Nota: se dice que una pirámide es recta si sus caras son todas triángulos isósceles. Hay pirámides rectas regulares y pirámides rectas cuya base no es un polígono regular. Las pirámides cuyas caras no son triángulos isósceles reciben el nombre de pirámides oblicuas. La base de las pirámides oblicuas puede ser o no un polígono regular. Observa las ilustraciones de abajo:

3. Tetraedro
Un tetraedro es una pirámide que tiene cuatro caras triangulares. Cualquier vértice de este poliedro puede ser considerado como vértice de la pirámide, mientras que con los otros tres quedaría definida su base.

De tal modo que, en la figura 4, podríamos decir que hay un tetraedro con vértice A y base BCD o bien que hay un tetraedro con vértice B y base ACD.

Nota: este poliedro recibe el nombre de tetraedro porque en griego, tetra significa “cuatro” y hedron significa “cara”.

II. Construir una pirámide
Queremos construir el desarrollo de una pirámide regular cuya base sea un cuadrado de 3 cm de lado y sus caras tengan una arista de 4 cm de longitud.
Podemos dibujar la base como un cuadrado con lados de 3 cm y, partiendo de estos lados, cuatro triángulos isósceles de 4 cm de lado.

Calcular el volumen de un ortoedro

Tomemos un cajón con forma de ortoedro. ¿Qué cantidad de agua sería necesaria para llenarlo hasta el borde? Resolver este problema es lo mismo que calcular el volumen de un ortoedro.

I.                   Calcular el volumen de un cajón

Tomemos una caja con forma de ortoedro cuyas dimensiones sean: 2 cm, 3 cm y 5 cm.

Un centímetro cúbico (escrito: 1 cm³) se define como el volumen de un cubo con una arista de un centímetro (por el mismo motivo que un centímetro cuadrado es el área de un cuadrado con un lado de un centímetro).

En general, el cm³ es una unidad de volumen.

Los pasos que nos muestra la figura 2 dan a entender que podríamos colocar 30 cubos de 1 cm de arista dentro de la caja (5 × 3 × 2 = 30).

Cada cubo tiene un volumen de 1 cm³. Esto significa que el volumen de la caja es igual a 30 cm³.

II. Caso general

Supongamos que a, b y c son las dimensiones de un ortoedro. Si tomamos la figura de arriba como ejemplo, a = 5 cm, b = 3 cm y c = 2 cm.

El volumen del ortoedro es: V = a × b × c.

Para usar correctamente esta fórmula, a, b y c deben estar expresadas en las mismas unidades de medida, esto es: en cm, y entonces V vendrá expresado en cm³.

Nota: para calcular el volumen de un cubo de arista a, usaremos la fórmula de manera simplificada, V = a³, dado que en este caso a = b = c; por lo que V = a × a × a, es decir: V = a³.