Funciones

Siempre que un valor y depende de un valor x, decimos que el primero es función del segundo. Por ejemplo, la temperatura es una función de la altitud. Si conocemos la altitud, podemos calcular la temperatura.

Vamos a analizar con mayor detalle el concepto de función, a definir el conjunto de valores para los que una función dada está definida, lo que llamamos su dominio de definición (si la variable está en el denominador o dentro de una raíz cuadrada, ciertos valores reales son imposibles), y a introducir el sentido de variación de una función o monotonía (la mayoría de las funciones raramente son monótonas, sino que cambian de tendencia, es decir, crecen o decrecen varias veces a lo largo de su dominio de definición).

I. ¿Está siempre definida una función?
Una función numérica es una relación que le asocia a cada valor de la variable x,tomada del conjunto D (una parte o subconjunto de los números reales), un único valor y, al que llamamos imagen.

Si f es una función, entonces escribimos y = f(x).

Ejemplo:
Si un coche gasta 10 litros de gasolina cada 100 km y en su depósito caben 50 litros, el número de litros (y) que quedan en el tanque será función del número de kilómetros recorridos (x) según la fórmula y = 50 – 0,1x. Sif es una función que relaciona x con y, podemos escribir: f(x) = 50 – 0,1x.
Puesto que el conductor no puede viajar más de 500 kilómetros, decimos que el conjunto de valores para los que la función está definida es el intervalo [0, 500] y usamos la notación Df = [0, 500].

Una función no está definida para valores que:
—hacen cero su denominador;
—hacen que una expresión dentro de una raíz cuadrada tome signo negativo.
Ejemplos:

La función inversa o recíproca (y = 1/x) está definida para todos los números reales, excepto para el cero. Así, el conjunto de números para los que sí está definida es: .
La función raíz cuadrada ( ) está definida para cualquier número real positivo y para el cero: .

II. Calcular un valor y
Para calcular un valor de la variable dependiente y correspondiente a un valor de x, sustituimos dicho valor de x y efectuamos los cálculos indicados por la función. Primero resolvemos las operaciones entre paréntesis, a continuación las potencias, después los productos y cocientes. Finalmente, efectuamos las sumas y restas.

Por ejemplo, para calcular el valor y correspondiente a x = 5 en una función f definida en R por: f(x) = 4(x – 3)2 – 1, procedemos así: f(5) = 4(5 – 3)2 – 1 = 4 · 22 – 1 = 4 · 4 – 1 = 16 – 1 = 15.
Para construir una tabla de valores, vamos dando distintos valores a x y obtenemos los correspondientes valores de y. También podemos construir la tabla utilizando la calculadora. Habiendo escrito la expresión de la función, especificamos los valores límites para la variable independiente x, así como el salto entre dos de sus valores consecutivos o el número total de valores de x. Los valores de la variable x y los de la variable dependiente y se pueden presentar en dos columnas. Por ejemplo, podríamos completar la siguiente tabla de valores comenzando por el 1 y terminando en el 3 con saltos de 0,5 en 0,5:


III. Calcular el valor de x que corresponde a un valor de y dado
Para calcular el valor del original o antecedente x de una función f, correspondiente a un número real a, resolvemos la ecuación f(x) = a.

Así, hallar el antecedente de 3 obtenido por la función afín f, definida en R como f(x) = 2x – 1, se convierte en calcular los valores de x tales que 2x – 1 = 3.

Observemos que para algunas funciones, un número real puede tener varios antecedentes, o incluso no tener ninguno.

Por ejemplo, para la función cuadrática definida en R, y = x2, 4 tiene los antecedentes 2 y –2; sin embargo –4 no tiene antecedentes.

IV. Sentido de variación de una función
Sea una función f y un intervalo I incluido en el dominio de definición de f.
Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f(a) < f(b), entonces f es creciente en I (también decimos que f mantiene el signo).

Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f(a) > f(b), entonces f es decreciente en I (f invierte el signo).
Ejemplo:
Dada la función afín f, definida en [–1, 5] como f(x) = –2x +3, para cualquier pareja de números reales a y b tales que -1 < a < b < 5, tenemos (al multiplicar por -2 y sumar 3 para obtener las imágenes):

2 > -2a > -2b > -10;
5 > -2a + 3 > -2b + 3 > -7;
es decir, 5 > f(a) > f(b) > -7.
Puesto que el signo está invertido, f es decreciente en el intervalo [-1, 5].
Podemos resumir esta información en una tabla de variación:



Una función afín es decreciente cuando su pendiente es negativa, mientras que si la pendiente es positiva, la función es creciente.

Un operador es una función que controla una operación individual. Cuando descomponemos una función en una serie de operadores, los aplicamos sucesivamente a los valores o imágenes que vamos obteniendo.

Ejemplo:
La función f está definida en como f(x) = –2x2+ 3. La descomponemos en operadores: 
Si 1 < a < b, tenemos que: , entonces y .
Por lo que f(a) > f(b). El signo está invertido, de manera que podemos afirmar que la función f es decreciente en el intervalo .
V. Hallar el signo de una función
Para hallar la parte del dominio de definición de una función en la que dicha función es positiva o nula, resolvemos la inecuación . La función tendrá signo negativo en el resto del dominio.
Nota: una función puede ser positiva y decreciente (por ejemplo, la función y = -2x + 20, definida en [5, 10]) o negativa y creciente (como la función y = 2x + 1, definida en [-10, -5]).

Recuerda
—Los valores de la variable x que hacen que se anule el denominador de una función deben ser excluidos del dominio de definición de dicha función. De la misma forma, bajo el signo de raíz cuadrada, solo están permitidos valores positivos.
—Una función es creciente en un intervalo cuando los valores y para cualquier par de números a y b de dicho intervalo están en el mismo orden que a y b. Si el orden es el inverso, la función es decreciente.
—No debemos confundir el signo de una función con cuál es su evolución o sentido de variación. Una función puede ser positiva y decreciente y también puede ser negativa y creciente.