Definir una función afín

Un servicio telefónico tiene las siguientes tarifas: 0,02 € por conexión y 0,20 € por cada minuto hablado.

¿Cómo se expresaría el coste de una llamada en función del tiempo que dura, es decir, en función del número de minutos que estamos conectados?
Un cine ofrece una tarifa especial que consiste en comprar una tarjeta por 22 € al año y pagar 6 € cada vez que entremos a ver una película. ¿Cómo expresaríamos la cantidad que gastamos en ese cine al año en función del número de películas? 
Son dos ejemplos de funciones afines.

I. Ejemplo
Volvamos al primer ejemplo, el de la tarifa telefónica, y analicemos la tabla siguiente, en la que aparece la cantidad que se debe pagar según el número de minutos que dure la llamada (se han puesto hasta seis minutos de llamada, pero se podrían seguir añadiendo minutos).



Para calcular la cantidad que debemos pagar (en €), tenemos que multiplicar el número de minutos de conexión por 0,20 y sumarle al resultado 0,02.

Si llamamos x al número de minutos de conexión, el coste de la llamada (en €) será: 0,20x + 0,02.
Por tanto, la función que relaciona el número de minutos x con el coste es: f(x) = 0,20x + 0,02.
A las funciones de este tipo se les llama funciones afines.

II. Definición
Sean a y b dos números cualesquiera. La función que transforma el número x en el número ax + b se dice que es una función afín y se escribe así: f(x) = ax + b.
Por ejemplo, la función f(x) = 2x + 5 es una función afín.
Volvamos al ejemplo planteado en la introducción, sobre la tarjeta que ofrece el cine, y llamemos x al número de veces que hemos ido a ese cine durante el año. La cantidad pagada en euros ese año será 6x + 22. Por tanto, la función que relaciona el número de películas vistas x con la cantidad total pagada es la función afín f(x) = 6x + 22.
Casos especiales:
—Si b = 0, la función afín f(x) = ax + b se puede escribir como f(x) = ax; se trata de una función lineal. Podemos decir que una función lineal es un caso especial de una función afín.
—Si a = 0, la función afín f(x) = 0x + b es una función constante: f(x) = b. Según esta función, la ordenada y para cualquier abscisa x es y = b.
III. Obtener imágenes e identificar funciones afines
Ejemplo 1: obtener la imagen de 4, y de –2,4 en la función afín f(x) = 5x + 2.
Para x = 4, tenemos que f(4) = 5 · 4 + 2, o f(4) = 22; la ordenada y para x = 4 es y = 22.
Si , tenemos que o ; la ordenada y para x = es y = .
Si x = –2,4, tenemos f(-2,4) = 5 · (-2,4) + 2, es decir, f(-2,4) = -10; la ordenada y para x = –2,4 es y = –10.
Ejemplo 2: decir de las siguientes funciones cuáles son afines y especificar los valores de a y b (ya que si son funciones afines se escriben así: f(x) = ax + b).
f(x) = -6x – 2; f(x) = 3x2 + 8; f(x) = 12x; ; f(x) = 5,4 y .
La función f(x) = -6x – 2 es afín: a =–6 y b = –2.
La función f(x) = 12x es afín: a = 12 y b = 0. Esta función es también lineal.
La función es afín: y b = –5,2.
La función f(x) = 5,4 es afín: a = 0 y b = 5,4. Es una función constante.
Las otras dos funciones, f(x) = 3x2 + 8 y no son afines.
Ver también los artículos Calcular una función afín y Representación gráfica de una función afín.