Los distintos tipos de números

Los niños usan los números naturales para aprender a contar. Sin embargo, este tipo de números es demasiado limitado para resolver algunos problemas, como los de geometría. Por tanto, se hizo necesario crear nuevos números y añadirles elementos nuevos, tales como signos, comas, rayas de fracción, radicales, etc.

¿Cuáles son los diferentes tipos de números?

I. Una breve historia de los números
1. Números naturales
Tal como nos sugiere el adjetivo “naturales”, estos son los primeros números que todos usamos: igual que los niños aprenden a contar usando sus dedos, los seres humanos comenzaron a contar objetos o animales. De forma natural, nosotros contamos: 1, 2, 3, etc. Sin embargo, y es algo que preocupa mucho a los matemáticos, ¡los números naturales comienzan en el 0, no en el 1!
2. Los números racionales
Los problemas que implican los resultados inexactos de la división y de la medida de longitudes provocan la necesidad, y por tanto, la aparición de las fracciones ; estos nuevos números son conocidos en matemáticas como números racionales, como el número , por ejemplo. Los griegos solo sabían acerca de los números naturales (excepto el cero) y de los números racionales.
3. Los números decimales
Los números decimales se pueden obtener de dos formas distintas: como resultado de una división inexacta o al resolver una raíz cuadrada inexacta. Se pueden distinguir fácilmente observando la parte decimal del número (la que va a la derecha de la coma):
—en los primeros, lo que encontramos detrás de la coma casi siempre suele ser una cantidad infinita y periódica —que se repite— (8,3333333333…).
—en los segundos no hay parte periódica, son números infinitos, pero su parte decimal no se repite (1,4142135623730950488016887242097).
Nota: la parte periódica de los números decimales puede ser pura (8,333333333…) o mixta (6,23444444444…), cuando la parte periódica no aparece justo después de la coma.
El matemático holandés Simon Stevin publicó el primer tratado de los números decimales, El arte de las Décimas, en el siglo XVI. La notación que él usaba no era como la que usamos en la actualidad: si quisiéramos escribir el número 6,19 tendríamos que hacerlo diciendo “6 más 1 primo más 9 segundos”. Las palabras “primo” y “segundo” indicaban respectivamente lo que hoy conocemos como décimas y centésimas.
La notación que usamos en la actualidad para los números decimales data de principios del siglo XVII.
4. Los números negativos
Hay evidencias de que los números negativos ya eran usados en la India en el siglo VII. Es importante destacar que los hindúes usaban el cero, una condición necesaria para concebir los números negativos. Los números negativos eran llamados “números de débito” por razones comerciales, tal como podemos ver hoy día en los informes de cuentas de las empresas o de los bancos, que contienen una columna de datos llamada “debe” (donde se anotan los gastos) y otra para el “haber” (donde se van apuntando los ingresos).
El uso de los números negativos en Occidente llegó mucho más tarde. Los matemáticos del Renacimiento italiano, que eran especialistas en álgebra (parte de las matemáticas dedicada a las ecuaciones), comprendieron que sin los números negativos no podían resolver ciertas ecuaciones (x + 7 = 0, por ejemplo). Sin embargo, no estaban seguros de que este tipo de números fueran los correctos. Y aún en el siglo XVII, el matemático francés Descartes describía los números negativos como los “números falsos”.
No fue hasta el siglo XIX cuando los números negativos fueron tratados, finalmente, como verdaderos números.
5. Los números irracionales
Los discípulos de Pitágoras demostraron que la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado midiera 1, no era un número racional.
En la actualidad escribimos este número como y si lo resolvemos, obtenemos un número decimal infinito cuya parte decimal no es periódica. A este tipo de números, cuyo resultado nunca puede obtenerse como cociente de dos enteros, los llamamos números irracionales.
II. Los diferentes tipos de números en matemáticas
Este apartado describe las relaciones que existen entre los diferentes tipos de números.
1. Los números naturales
Todos los números usados en matemáticas se derivan de los números enteros positivos, también llamados naturales. Se usa la letra N para designar al conjunto de todos los números naturales.
Ejemplos: 12, 5 y 0 son números naturales.
2. Los números enteros
Es el conjunto de números que contiene tanto los valores enteros positivos (o naturales) como los negativos (enteros negativos). Se caracterizan porque siempre van precedidos de un signo que los identifica: '+' para los positivos o '-' para los negativos. Se usa la letra Z (en alemán, Zahl, significa número) para designar al conjunto de todos los números enteros (Z+ y Z-)
Ejemplos: +3, 0 y -72 son números enteros.
Nota: todos sabemos que los números enteros positivos se pueden escribir sin usar el signo “+” delante de ellos. Por ejemplo: +7 = 7.
En consecuencia, los números naturales son también números enteros positivos (Z+). En matemáticas, decimos que el conjunto de los número naturales (N) está incluido en el conjunto de los números enteros (Z). Esto se expresa de la siguiente manera: .
3. Los números decimales
También hay números decimales positivos y negativos. Se usa la letra D para denominan a este conjunto numérico.
Ejemplos: 12,258 y – 45,6.
Cualquier número entero positivo puede ser escrito como número decimal, es decir, usando coma decimal, por ejemplo: – 2 = – 2,0.
En consecuencia, cualquier número entero es un número decimal. En otras palabras: .
4. Los números racionales
Estos números son fracciones del tipo , donde a y b son números enteros y .
La letra Q es la usada para nombrar al conjunto de los números racionales.
Ejemplos: y son números racionales.
Todos los números decimales pueden ser escritos como fracción, por ejemplo: .
Por lo tanto, cada número decimal es un número racional. En otras palabras: .
5. Los números reales
A pesar de lo dicho en el párrafo anterior, existen un tipo de números decimales que no surgen de la división de dos enteros. Es decir, que no forman parte del conjunto de los números racionales. Tenemos como ejemplo , el cual no es racional. Este conjunto de números recibe el nombre de números irracionales.
Todos los tipos de números descritos hasta ahora, forman lo que se conoce como el conjunto de los números reales. La letra R es usada para representar al conjunto de los números reales.
Ejemplos: 5; – 29; – 49,21; ; y son números reales.
En la ilustración inferior puedes observar una clasificación de los números de este ejemplo, cada uno de ellos dentro del conjunto al cual pertenece: