Los polígonos

Los polígonos

Si te fijas en la cara o superficie que ves de muchos de los objetos que hay a tu alrededor, observarás que sus líneas de contorno son rectas, y que son figuras cerradas. Otros objetos tienen caras con lados circulares o curvos, pero ahora nos vamos a fijar en las caras con lados rectos, llamadas caras poligonales o, sencillamente, polígonos.

¿QUÉ ES UN POLÍGONO?

Los polígonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos rectilíneos. Los elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos y las diagonales.

Los lados son los segmentos rectilíneos que delimitan al polígono.

Los vértices son los puntos donde se cortan los lados dos a dos.

Los ángulos son las regiones comprendidas entre cada par de lados.

Las diagonales son los segmentos que unen cada pareja de vértices no consecutivos.

CLASES DE POLÍGONOS

Según su número de lados, los polígonos se llaman:

Según la amplitud de sus ángulos, un polígono puede ser:

·                     Convexo, si todos sus ángulos son menores que 180°.

·                     Cóncavo, si alguno de sus ángulos es mayor que 180°.

Según la longitud de sus lados, los polígonos pueden ser:

·                     Regulares, si tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales.

·                     Irregulares, si tienen lados desiguales.

PERÍMETRO DE UN POLÍGONO

El perímetro de cualquier polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

Por ejemplo, vamos a calcular el perímetro, P, de cada uno de los polígonos de las dos figuras siguientes.

Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado mide 3 cm: P = 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 4 = 12 cm

Para el polígono de cinco lados iguales cuyo lado mide 2 cm: P = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 5 = 10 cm

Para el polígono cuyos lados, iguales dos a dos, miden 2 y 4 cm: P = 2 + 4 + 2 + 4 = 2 × 2 + 4 × 2 = 12 cm

Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado mide 2 cm: P = 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4 = 8 cm

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

En cualquier polígono regular podemos dibujar tantos triángulos en su interior como lados tenga el polígono. Todos los triángulos dibujados tienen un vértice común que es el centro del polígono.

El área de cada uno de esos triángulos será:

Siendo la base el lado (l) y la altura la apotema (a) del polígono:

Así pues:  

El área del polígono será la suma de las áreas de los n triángulos, seis en el caso del hexágono anterior:

Y sustituyendo los valores del lado y de la apotema en nuestro caso, tendremos:

En general, para un polígono regular de n lados, su área se calcula así:

Los ángulos

Los ángulos

Si tienes un compás abierto sobre la mesa, ¿qué ángulo forman sus dos brazos? ¿Sabes lo que es un ángulo? Llamamos ángulo a la región comprendida entre dos semirrectas que tienen el punto de origen en común. A ese punto se le llama vértice y a cada semirrecta se le llama lado.

¿CÓMO SE NOMBRAN LOS ÁNGULOS?

Podemos nombrar un ángulo de dos maneras:

a) con la letra mayúscula que representa su vértice y el símbolo 

encima, o

b) con tres letras mayúsculas y el símbolo

encima: las dos letras de los extremos representan a los lados y la de en medio al vértice.

Se representa como

 

o .

¿CÓMO SE MIDEN LOS ÁNGULOS?

Para expresar lo que mide un ángulo, es decir, su amplitud, usamos las unidades: grado (°), minuto (′) y segundo (′′), cuyas equivalencias son 1° = 60′ = 60 × 60′′ = 3.600′′

Para medir físicamente o dibujar un ángulo usamos el transportador, que es una plantilla semicircular graduada de 0° a 180°, generalmente de material plástico.

Para medir un ángulo con el transportador, se siguen los pasos siguientes:

1. Se coloca el transportador de forma que coincida el punto de su base, su centro, con el vértice del ángulo, y que uno de los lados del ángulo pase por 0°, es decir, por la base del transportador.

2. Se lee sobre la semicircunferencia del transportador la medida por la que pasa el otro lado del ángulo.

Si en vez de medir queremos dibujar un ángulo, se procede al revés. Por ejemplo, para dibujar un ángulo de 70º se siguen estos pasos:

1. Con una regla se traza un lado del ángulo.

2. Se coloca la base del transportador sobre ese lado, y con su centro sobre el que será el vértice del ángulo.

3. Se marca con ayuda de la escala graduada el punto correspondiente a los grados del ángulo que queremos representar, en nuestro caso 70°.

4. Con ayuda de la regla, se une el vértice con dicho punto.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Según su amplitud, un ángulo puede ser:

·                     Agudo: si es menor de 90°.

·                     Recto: si es igual a 90°.

·                     Obtuso: si es mayor de 90°.

Vamos a definir ahora ángulo nulo, ángulo recto, ángulo llano y ángulo completo, y para representarlos nos valemos de un paipay o abanico chino, que se puede abrir por completo, y formar todos los ángulos posibles entre 0° y 360°.

Un ángulo nulo (amplitud 0°) es aquel en el que sus dos lados coinciden.

Un ángulo recto (90° de amplitud) tiene sus dos lados perpendiculares.

Un ángulo llano (180° de amplitud) es el que tiene sus lados opuestos.

Un ángulo completo (amplitud 360°) tiene sus lados coincidentes; es, por tanto, equivalente al nulo.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS ÁNGULOS

Según las posiciones que presenten dos ángulos entre sí, estos pueden ser:

1. Ángulos externos: si no tienen nada en común.

 y   son ángulos externos.

2. Ángulos consecutivos: si tienen en común un lado y el vértice

 y   son ángulos consecutivos.

3. Ángulos adyacentes: si además de ser consecutivos, tienen el lado no común sobre la misma recta.

 y   son ángulos adyacentes.

4. Ángulos opuestos por el vértice: si tienen el vértice común, y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud, son iguales.

 y   son ángulos opuestos por el vértice.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a 90°:

 y   son complementarios: + = 90°.

Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180°:

 y   son suplementarios: + = 180°.