Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales

Definimos los vectores a partir de traslaciones. Ya sabemos que las traslaciones se pueden definir usando paralelogramos. Por tanto, vectores y paralelogramos están relacionados. Pero, ¿cómo es esa relación?

I. Paralelogramos e igualdades vectoriales
1. Caracterizar un paralelogramo usando una igualdad vectorial
Si ABDC es un paralelogramo, entonces la traslación que transforma A en B también transforma C en D.
Además sabemos que si la traslación que transforma A en B también transforma C en D, entonces .
Estas dos propiedades nos permiten enunciar lo siguiente: si ABDC es un paralelogramo, entonces .

Recíprocamente, si , entonces ABDC es un paralelogramo.
Nota: el orden de los puntos C y D no es el mismo en el nombre del paralelogramo, ABDC, que en la igualdad vectorial, .
Caso especial: el paralelogramo ABDC se puede “aplanar”, lo que sucede cuando los puntos A, B, C y D están alineados.

En resumen: significa que ABDC es un paralelogramo (posiblemente aplanado).
2. Igualdades vectoriales obtenidas a partir de un paralelogramo
Sea un paralelogramo ABDC. A partir de él obtenemos la igualdad vectorial .

Pero este paralelogramo también podríamos nombrarlo así: ACDB, de donde obtendríamos la igualdad vectorial .

Si llamamos a este paralelogramo BACD, obtenemos la igualdad vectorial .

Si llamamos a este paralelogramo CABD, obtenemos la igualdad vectorial .

En resumen: un paralelogramo nos permite escribir cuatro igualdades vectoriales.
Consideremos las igualdades y . Los vectores tienen el mismo módulo y la misma dirección, aunque no el mismo sentido. Los llamamos vectores opuestos.
Cada igualdad de dos vectores nos permite escribir la igualdad de los vectores opuestos.
II. Igualdad vectorial y punto medio
En el apartado anterior hemos visto que si , entonces ABDC es un paralelogramo. Y sabemos que si un cuadrilátero ABDC es un paralelogramo, entonces sus diagonales AD y BC tienen el mismo punto medio. A partir de aquí podemos deducir la siguiente propiedad: si , entonces los segmentos AD y BC tienen el mismo punto medio.

Recíprocamente, si los segmentos AD y BC tienen el mismo punto medio, entonces ABDC es un paralelogramo y .

Usar las propiedades de un paralelogramo

Para comprobar que un cuadrilátero es un paralelogramo, simplemente tenemos que demostrar que cumple alguna de las propiedades de los paralelogramos. En cambio, si partimos del hecho de que un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces podemos usar sus propiedades para deducir otros resultados que nos interesen.

I. Propiedades de un paralelogramo
Si un cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, entonces:
—sus lados opuestos son paralelos: AB || DC y AD || BC;
—sus lados opuestos son de la misma longitud: AB = DC y AD = BC;


—el punto medio de cada una de sus diagonales coincide con el punto donde se cruzan (el centro de simetría del paralelogramo);

—sus ángulos opuestos son iguales: y ;

—dos ángulos consecutivos son suplementarios: por ejemplo, .

II. Usar las propiedades de un paralelogramo

1. El centro de simetría
Enunciado: ABCD es un paralelogramo. O es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo . Queremos construir la circunferencia circunscrita al triángulo .
Solución: podríamos, por supuesto, dibujar las mediatrices del triángulo , pero hay un método más sencillo.
—ABCD es un paralelogramo, por tanto I, el punto donde se cruzan sus diagonales, es el centro de simetría.
—Usando I como centro de simetría, podemos comprobar que A es el reflejo de C, B el reflejo de D, y D el reflejo de B. La circunferencia circunscrita a es el reflejo de la circunscrita a .
—Podemos construir el punto O' de forma sencilla, ya que es el reflejo de O respecto del centro de simetría I, y entonces ya podemos dibujar la circunferencia usando O' como centro, la cual deberá pasar por el vértice C.


2. La longitud de los lados opuestos
Enunciado: ABCD y ABEC son paralelogramos. Queremos comprobar que C es el centro de DE.

Solución:
—Los puntos ABCD forman un paralelogramo, por lo tanto, las rectas AB y CD son paralelas y de la misma longitud.
—Asimismo, los puntos ABEC forman un paralelogramo, por tanto, las rectas AB y EC son paralelas y de igual longitud.
—Las dos rectas CD y EC son paralelas a la recta AB; por eso son paralelas entre ellas. Además, tienen un punto en común, C; por tanto son continuación una de la otra. Todo esto nos viene a decir que los puntos D, C yE forman parte de la misma recta (1).

—También AB = DC = CE (2).
—Puesto que los puntos D y E no son los mismos, (1) y (2) podemos afirmar que C es el centro de DE.
3. Ángulos
Enunciado: ABCD es un paralelogramo. La amplitud del ángulo es el triple que la de .
Queremos encontrar la amplitud de los ángulos de ABCD.
Solución:
—El enunciado del problema afirma que  (1).
—Además, ABCD es un paralelogramo, por lo tanto los ángulos y son suplementarios.
—De tal manera que  (2).
—Teniendo (1) y (2): ; esto es . Así que .
—Esto significa que y .
—Y como los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, tenemos que: y .

Reconocer y construir un paralelogramo

Los paralelogramos son cuadriláteros. ¿Cuáles son sus propiedades y cómo podemos dibujarlos?

I. Reconocer un paralelogramo
Un cuadrilátero es un paralelogramo…
—si sus lados opuestos son paralelos; (1)

—o si sus lados opuestos tienen la misma longitud; (2)

—o si sus diagonales tienen el mismo centro; en otras palabras, si existe un centro de simetría; (3)


—o si tiene dos lados paralelos de la misma longitud. (4)
Nota: basándonos en esta última propiedad, es muy sencillo dibujar un paralelogramo en una hoja de papel cuadriculado; simplemente dibujamos dos segmentos en líneas paralelas, contando el mismo número de cuadrículas, y después unimos los extremos de los dos segmentos.


II. Construir un paralelogramo
1. Usando la propiedad (1)
Tomemos tres puntos no alineados A, B y D. Usando una regla y un cartabón, encontraremos el punto C tal que la figura ABCD sea un paralelogramo y lo dibujaremos.


Para ello, debemos seguir los siguientes pasos:
—Trazar los segmentos AB y AD.
—Trazar la paralela a AB que pasa por el punto D.
—Trazar la paralela a AD que pasar por el punto B.
C es el punto de intersección de las dos líneas que hemos trazado.
2. Usando la propiedad (2)

Tomemos tres puntos no alineados A, B y D. Usando un compás, encontraremos un punto C tal que ABCD forme un paralelogramo y lo dibujaremos.



Para ello, debemos seguir los siguientes pasos:
—Trazar los segmentos AB y AD.

—Localizar la posición aproximada del punto C.

—Usando D como centro, trazar un arco de radio AB (abrir el compás tanto como la longitud de AB antes de trazar); dibujar el arco cerca de la posición aproximada de C.
—Usando B como centro, trazar un arco de radio AD que cortará al arco anterior.

C es el punto de intersección de los dos arcos.

3. Usando la propiedad (3)
Tomemos tres puntos no alineados I, J y O. Usando una regla y un compás, trazaremos los puntos K y L tales que IJKL sea un paralelogramo con centro en O.



Para ello, debemos seguir los siguientes pasos:
—Trazar el segmento IJ.
—Encontrar el punto K simétrico al punto I, respecto al punto O.
—Encontrar el punto L simétrico al punto J, respecto al punto O.
—Trazar los segmentos IL, LK y KJ.
Y así hemos conseguido dibujar el paralelogramo IJKL.
Ver también artículo Usar las propiedades de un paralelogramo.