Calcular una función afín

¿Qué elementos vamos a necesitar para hallar una función del tipo y = ax + b y para comprenderla completamente? 

I. Calcular una función afín

Las funciones del tipo y = ax + b (se pueden expresar también como f(x) = ax + b) se denominan funciones afines. Son muy parecidas a las funciones lineales del tipo y = ax, solo que han sufrido un desplazamiento respecto al origen, provocado por el término independiente “b”. Por lo tanto, decimos que una función afín es una función del tipo y = ax + b, donde a y b son valores constantes. Vamos a calcular una función afín hallando los valores de a y b.

1. Conocemos los valores de la y de dos números dados
Usemos un ejemplo para demostrarlo. Queremos calcular la función afín que hace que: f(4) = 5 y que f(2) = –1.

Todas las funciones afines se caracterizan por la forma f(x) = ax + b. Calculemos a y b.
Para hacerlo, podemos decir que para x = 4, tenemos que f(4) = a · 4 + b. Por lo tanto, si f(4) = a · 4 + b y f(4) = 5, obtenemos la ecuación 4a + b = 5.
Para x = 2, tenemos que f(2) = a · 2 + b. Por lo tanto, si f(2) = a · 2 + b y f(2) = -1, obtenemos la ecuación 2a + b = –1.
Así que hemos de resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, las cuales son a y b:



Resolviendo el sistema por sustitución, obtenemos:

 ;  ;  ;  ;  ; .

Por consiguiente, la función afín que buscamos es f(x) = 3x – 7.
2. Otras situaciones
Ejemplo 1: vertemos agua en una probeta hasta una altura de 11 cm. Notamos que cada día que pasa el nivel del agua desciende 4 mm debido a la evaporación. Queremos demostrar que la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura del agua en la probeta (en cm) es una función afín. Además, queremos calcular esta función.
Después de x días, el nivel del agua ha bajado 4x mm, esto es, 0,4x cm.
Tras x días, la altura del agua en la probeta (en cm) debería ser de 11 – 0,4x, o lo que es lo mismo, –0,4x + 11.

Por consiguiente, la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura (en cm) del agua en la probeta, es la función afín: f(x) = – 0,4x + 11.

Ejemplo 2: un conductor realiza un trayecto desde la ciudad A hacia la ciudad B, situada a 750 km de A. Conduce a una velocidad constante de 90 kilómetros por hora. Queremos demostrar que la función que relaciona la duración del viaje (en horas) con la distancia que separa al conductor de la ciudad B, es una función afín. Así mismo, queremos calcularla.

Llamaremos x a la duración del viaje en horas. Tras x horas, el conductor ha recorrido 90x km. Por tanto, la distancia (en km) que separa al conductor de la ciudad B es: 750 – 90x; esto es, –90x + 750.
Es decir, la función que relaciona la distancia que separa al conductor de B (en km), con la duración del viaje (en horas) es la función afín: f(x) = – 90x + 750.
II. Usar la representación gráfica para calcular una función afín
Ejemplo: queremos calcular la función afín representada en la figura por la recta D.

Hagamos que f(x) = ax + b sea la función afín que queremos calcular.
Analizando la gráfica, podemos hallar el valor de f(x) —de la y— de la recta D en el origen, es decir, el valor de b. En este caso b = 3.

De tal manera que la función afín que estamos buscando es del tipo f(x) = ax + 3. Ahora solamente nos queda hallar el valor de a.

Para obtenerlo, buscamos en la recta las coordenadas de un punto M cualquiera. Leyendo la gráfica, podemos decir que M es un punto de coordenadas (2, 7).
Este punto está en la recta y representa a la función afín, en otras palabras: f(2) = 7.
Además, si calculamos el valor de la función para x = 2, obtenemos que f(2) = a · 2 + 3.
Igualando estas dos expresiones obtenemos que: 2a + 3 = 7.
Simplificando la ecuación:

2a = 7 – 3; 2a = 4 y a = 2.

Así, la función afín que estamos buscando es f(x) = 2x + 3.
Nota: otro método consiste en usar la gráfica para hallar las coordenadas de dos puntos de la recta. Por ejemplo, podemos tomar los puntos M(2, 7) y N(0, 3). A partir de ellos construimos las siguientes ecuaciones:


que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que resolvemos como hemos visto anteriormente.
Ver artículo Representación gráfica de una función afín.

Representación gráfica de una función afín

Sabemos que la representación gráfica de una función lineal del tipo f(x) = ax o y = ax es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Pero, ¿qué sabemos acerca de la representación gráfica de una función del tipo f(x) = ax + b o y = ax + b, también llamada función afín?

I. Ejemplo
Usemos una gráfica para representar la función afín f(x) = 3x + 1.
Sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas; para cada valor que demos a x en el eje de abscisas, y tracemos el valor correspondiente de y, obtendremos un punto.
Por ejemplo, si x = 1, f(1) = 4. Lo cual nos da el punto de coordenadas (1, 4).
Es una buena idea usar una tabla como la que mostramos debajo. En la tabla, hemos elegido valores al azar para x.



Dibujando los puntos en los ejes de coordenadas, obtenemos la gráfica de la figura 1.

Podemos observar que los puntos A, B, C y D se encuentran todos en la misma recta.
De hecho, el resto de los puntos que queramos representar usando esta función, estarían todos formando parte de la misma recta. La recta es la representación gráfica de la función afín f(x) = 3x + 1.
II. Propiedades y definiciones

La representación gráfica de una función afín es una recta.
La representación gráfica de una función afín del tipo f(x) = ax + b es la recta de ecuación y = ax + b; a recibe el nombre de pendiente de la recta y b es conocida como la ordenada en el origen de la recta.

La ordenada en el origen es el valor que toma la función en el punto donde la recta corta al eje de ordenadas —eje y—. Para x = 0 obtenemos que y = a · 0 + b, es decir, y = b. Estos valores se corresponderían en la gráfica con el punto cuya coordenada fuera (0, b), tal como se muestra en la figura 2. Esto significa que el valor b de la función nos informa del lugar del eje de ordenadas en el que se produce el corte con la recta.

Ejemplo: la representación gráfica de la función afín f(x) = 3x + 1 es la recta de ecuación y = 3x + 1. Esta recta tiene una pendiente de 3 y el valor de la ordenada en el origen es 1.
Nota: existe un caso especial, en el cual b = 0 y entonces la función afín f(x) = ax + b se transforma en la función lineal f(x) = ax. En este caso, la representación gráfica de la función lineal f(x) = ax sería una recta de pendiente a que cortaría a los ejes de coordenadas por el origen (0, 0), ya que el valor de y en el origen es 0.

III. Método de construcción
Ya sabemos que las funciones afines se representan gráficamente mediante una recta; por este motivo necesitamos encontrar al menos las coordenadas de dos puntos de la recta para poder trazarla.

Puesto que también sabemos que la recta de una función del tipo y = ax + b corta al eje de ordenadas por el punto (0, b), tan solo tenemos que encontrar un punto más. Y esto lo podemos conseguir dando un valor aleatorio a la x para obtener así su correspondiente valor para la ordenada.
IV. Usar la representación gráfica para interpretar la pendiente
Propiedad: si tenemos una función afín f(x) = ax + b, para cualquier valor de x1 y x2 (x1 ≠ x2), se cumple que:


Esta expresión la podemos interpretar afirmando que la pendiente de una recta es el incremento de la ordenada (y), cuando la abscisa (x) se incrementa en una unidad. En otras palabras, la ecuación anterior establece una ratio o razón que compara el desplazamiento vertical (cuánto “sube”) de la recta por cada valor de x que nos desplazamos horizontalmente.

Vamos a usar el siguiente ejemplo para interpretar esta propiedad gráficamente.
Consideremos la función afín f(x) = 2x – 1.

Primero creamos una tabla de valores de y dados por la función, y obtenemos así cuatro puntos de la recta que representa gráficamente a la función:

Escogemos dos valores cualesquiera x1 y x2 de x. Por ejemplo x1= –2 y x2 = 0 y calculamos la relación . Y obtenemos:

En la gráfica, 0 – (–2) se corresponde con el crecimiento que experimenta el valor de x desde el punto A hasta el punto B, y f(0) – f(–2) se corresponde con el crecimiento en el valor de y desde el punto A hasta el puntoB.
Ahora hacemos x1= 1 y x2 = 4, y obtenemos:

Comprobamos que esta relación es también igual a 2. Este valor es la pendiente de la recta que representa gráficamente a la función y = 2x – 1.
Podemos observar esta propiedad de la pendiente en la figura 3.

Definir una función afín

Un servicio telefónico tiene las siguientes tarifas: 0,02 € por conexión y 0,20 € por cada minuto hablado.

¿Cómo se expresaría el coste de una llamada en función del tiempo que dura, es decir, en función del número de minutos que estamos conectados?
Un cine ofrece una tarifa especial que consiste en comprar una tarjeta por 22 € al año y pagar 6 € cada vez que entremos a ver una película. ¿Cómo expresaríamos la cantidad que gastamos en ese cine al año en función del número de películas? 
Son dos ejemplos de funciones afines.

I. Ejemplo
Volvamos al primer ejemplo, el de la tarifa telefónica, y analicemos la tabla siguiente, en la que aparece la cantidad que se debe pagar según el número de minutos que dure la llamada (se han puesto hasta seis minutos de llamada, pero se podrían seguir añadiendo minutos).



Para calcular la cantidad que debemos pagar (en €), tenemos que multiplicar el número de minutos de conexión por 0,20 y sumarle al resultado 0,02.

Si llamamos x al número de minutos de conexión, el coste de la llamada (en €) será: 0,20x + 0,02.
Por tanto, la función que relaciona el número de minutos x con el coste es: f(x) = 0,20x + 0,02.
A las funciones de este tipo se les llama funciones afines.

II. Definición
Sean a y b dos números cualesquiera. La función que transforma el número x en el número ax + b se dice que es una función afín y se escribe así: f(x) = ax + b.
Por ejemplo, la función f(x) = 2x + 5 es una función afín.
Volvamos al ejemplo planteado en la introducción, sobre la tarjeta que ofrece el cine, y llamemos x al número de veces que hemos ido a ese cine durante el año. La cantidad pagada en euros ese año será 6x + 22. Por tanto, la función que relaciona el número de películas vistas x con la cantidad total pagada es la función afín f(x) = 6x + 22.
Casos especiales:
—Si b = 0, la función afín f(x) = ax + b se puede escribir como f(x) = ax; se trata de una función lineal. Podemos decir que una función lineal es un caso especial de una función afín.
—Si a = 0, la función afín f(x) = 0x + b es una función constante: f(x) = b. Según esta función, la ordenada y para cualquier abscisa x es y = b.
III. Obtener imágenes e identificar funciones afines
Ejemplo 1: obtener la imagen de 4, y de –2,4 en la función afín f(x) = 5x + 2.
Para x = 4, tenemos que f(4) = 5 · 4 + 2, o f(4) = 22; la ordenada y para x = 4 es y = 22.
Si , tenemos que o ; la ordenada y para x = es y = .
Si x = –2,4, tenemos f(-2,4) = 5 · (-2,4) + 2, es decir, f(-2,4) = -10; la ordenada y para x = –2,4 es y = –10.
Ejemplo 2: decir de las siguientes funciones cuáles son afines y especificar los valores de a y b (ya que si son funciones afines se escriben así: f(x) = ax + b).
f(x) = -6x – 2; f(x) = 3x2 + 8; f(x) = 12x; ; f(x) = 5,4 y .
La función f(x) = -6x – 2 es afín: a =–6 y b = –2.
La función f(x) = 12x es afín: a = 12 y b = 0. Esta función es también lineal.
La función es afín: y b = –5,2.
La función f(x) = 5,4 es afín: a = 0 y b = 5,4. Es una función constante.
Las otras dos funciones, f(x) = 3x2 + 8 y no son afines.
Ver también los artículos Calcular una función afín y Representación gráfica de una función afín.

Funciones

Siempre que un valor y depende de un valor x, decimos que el primero es función del segundo. Por ejemplo, la temperatura es una función de la altitud. Si conocemos la altitud, podemos calcular la temperatura.

Vamos a analizar con mayor detalle el concepto de función, a definir el conjunto de valores para los que una función dada está definida, lo que llamamos su dominio de definición (si la variable está en el denominador o dentro de una raíz cuadrada, ciertos valores reales son imposibles), y a introducir el sentido de variación de una función o monotonía (la mayoría de las funciones raramente son monótonas, sino que cambian de tendencia, es decir, crecen o decrecen varias veces a lo largo de su dominio de definición).

I. ¿Está siempre definida una función?
Una función numérica es una relación que le asocia a cada valor de la variable x,tomada del conjunto D (una parte o subconjunto de los números reales), un único valor y, al que llamamos imagen.

Si f es una función, entonces escribimos y = f(x).

Ejemplo:
Si un coche gasta 10 litros de gasolina cada 100 km y en su depósito caben 50 litros, el número de litros (y) que quedan en el tanque será función del número de kilómetros recorridos (x) según la fórmula y = 50 – 0,1x. Sif es una función que relaciona x con y, podemos escribir: f(x) = 50 – 0,1x.
Puesto que el conductor no puede viajar más de 500 kilómetros, decimos que el conjunto de valores para los que la función está definida es el intervalo [0, 500] y usamos la notación Df = [0, 500].

Una función no está definida para valores que:
—hacen cero su denominador;
—hacen que una expresión dentro de una raíz cuadrada tome signo negativo.
Ejemplos:

La función inversa o recíproca (y = 1/x) está definida para todos los números reales, excepto para el cero. Así, el conjunto de números para los que sí está definida es: .
La función raíz cuadrada ( ) está definida para cualquier número real positivo y para el cero: .

II. Calcular un valor y
Para calcular un valor de la variable dependiente y correspondiente a un valor de x, sustituimos dicho valor de x y efectuamos los cálculos indicados por la función. Primero resolvemos las operaciones entre paréntesis, a continuación las potencias, después los productos y cocientes. Finalmente, efectuamos las sumas y restas.

Por ejemplo, para calcular el valor y correspondiente a x = 5 en una función f definida en R por: f(x) = 4(x – 3)2 – 1, procedemos así: f(5) = 4(5 – 3)2 – 1 = 4 · 22 – 1 = 4 · 4 – 1 = 16 – 1 = 15.
Para construir una tabla de valores, vamos dando distintos valores a x y obtenemos los correspondientes valores de y. También podemos construir la tabla utilizando la calculadora. Habiendo escrito la expresión de la función, especificamos los valores límites para la variable independiente x, así como el salto entre dos de sus valores consecutivos o el número total de valores de x. Los valores de la variable x y los de la variable dependiente y se pueden presentar en dos columnas. Por ejemplo, podríamos completar la siguiente tabla de valores comenzando por el 1 y terminando en el 3 con saltos de 0,5 en 0,5:


III. Calcular el valor de x que corresponde a un valor de y dado
Para calcular el valor del original o antecedente x de una función f, correspondiente a un número real a, resolvemos la ecuación f(x) = a.

Así, hallar el antecedente de 3 obtenido por la función afín f, definida en R como f(x) = 2x – 1, se convierte en calcular los valores de x tales que 2x – 1 = 3.

Observemos que para algunas funciones, un número real puede tener varios antecedentes, o incluso no tener ninguno.

Por ejemplo, para la función cuadrática definida en R, y = x2, 4 tiene los antecedentes 2 y –2; sin embargo –4 no tiene antecedentes.

IV. Sentido de variación de una función
Sea una función f y un intervalo I incluido en el dominio de definición de f.
Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f(a) < f(b), entonces f es creciente en I (también decimos que f mantiene el signo).

Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f(a) > f(b), entonces f es decreciente en I (f invierte el signo).
Ejemplo:
Dada la función afín f, definida en [–1, 5] como f(x) = –2x +3, para cualquier pareja de números reales a y b tales que -1 < a < b < 5, tenemos (al multiplicar por -2 y sumar 3 para obtener las imágenes):

2 > -2a > -2b > -10;
5 > -2a + 3 > -2b + 3 > -7;
es decir, 5 > f(a) > f(b) > -7.
Puesto que el signo está invertido, f es decreciente en el intervalo [-1, 5].
Podemos resumir esta información en una tabla de variación:



Una función afín es decreciente cuando su pendiente es negativa, mientras que si la pendiente es positiva, la función es creciente.

Un operador es una función que controla una operación individual. Cuando descomponemos una función en una serie de operadores, los aplicamos sucesivamente a los valores o imágenes que vamos obteniendo.

Ejemplo:
La función f está definida en como f(x) = –2x2+ 3. La descomponemos en operadores: 
Si 1 < a < b, tenemos que: , entonces y .
Por lo que f(a) > f(b). El signo está invertido, de manera que podemos afirmar que la función f es decreciente en el intervalo .
V. Hallar el signo de una función
Para hallar la parte del dominio de definición de una función en la que dicha función es positiva o nula, resolvemos la inecuación . La función tendrá signo negativo en el resto del dominio.
Nota: una función puede ser positiva y decreciente (por ejemplo, la función y = -2x + 20, definida en [5, 10]) o negativa y creciente (como la función y = 2x + 1, definida en [-10, -5]).

Recuerda
—Los valores de la variable x que hacen que se anule el denominador de una función deben ser excluidos del dominio de definición de dicha función. De la misma forma, bajo el signo de raíz cuadrada, solo están permitidos valores positivos.
—Una función es creciente en un intervalo cuando los valores y para cualquier par de números a y b de dicho intervalo están en el mismo orden que a y b. Si el orden es el inverso, la función es decreciente.
—No debemos confundir el signo de una función con cuál es su evolución o sentido de variación. Una función puede ser positiva y decreciente y también puede ser negativa y creciente.

Calcular las coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento

Las coordenadas de un vector pueden ser interpretadas mediante una traslación en la que escogemos como representante de este vector. ¿Qué relaciones asocian las coordenadas de y las de A y B? A partir de estas relaciones, ¿cómo podemos calcular las coordenadas del punto medio de un segmento si conocemos sus extremos?

I. Calcular las coordenadas de un vector
1. La fórmula de cálculo

Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; si tenemos dos puntos A (xA, yA) y B (xB, yB) cualesquiera, las coordenadas del vector vienen dadas por la fórmula (xB-xA, yB-yA).
Ejemplo: Si tenemos los puntos A (2, –4) y B (–3, –1), calcular las coordenadas del vector .
Aplicando la fórmula, podemos escribir (-3-2, -1-(-4)), de manera que las coordenadas de son (-5, 3).
Podemos comprobar estas coordenadas directamente sobre la gráfica restando las coordenadas de los puntos A y B:

2. Aplicación
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; dibuja los puntos E (–3, 1), F (3, 5), G (4, 2) y H (–2, –2), y comprueba que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.

Solución: simplemente hemos de demostrar la siguiente igualdad vectorial: =  . Para hacerlo, calcularemos las coordenadas de estos dos vectores.
(3-(-3), 5-1), de forma que (6, 4).
(4-(-2), 2-(-2)), de manera que (6, 4).
Los vectores y tienen las mismas coordenadas.
Aceptamos que dos vectores con las mismas coordenadas son iguales.
Por consiguiente, =  , de forma que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.
II. Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento
1. La fórmula de cálculo
A (xA, yA) y B (xB, yB) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Si llamamos M al punto medio del segmento AB, entonces:

Demostración: si M es el punto medio de AB, entonces = . Los vectores y tienen la misma dirección, de manera que A, M y B están alineados. Ambos tienen el mismo sentido y son de la misma longitud, puesto que MA = MB. Por consiguiente, estos dos vectores son iguales.

Llamemos a las coordenadas de M (x, y), y escribamos las coordenadas de los vectores y :
(x – xA, y – yA) y (xB – x, yB– y).
Puesto que los vectores y son iguales, podemos escribir que sus coordenadas son iguales. Por lo tanto, hemos encontrado que x – xA = xB – x e y – yA = yB – y.
Estas dos ecuaciones son equivalentes a:
2x = xA + xB y 2y = yA + yB, de manera que e .
Por consiguiente, tenemos: .
Ejemplo: U (–3, 2) y T (5, 4) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Calcular las coordenadas del punto medio H del segmento UT.
Aplicando la fórmula anterior, podemos escribir: , a partir de la cual encontramos que H (1, 3).
Podemos verificar estos cálculos representando los puntos en el sistema de coordenadas.

2. Aplicación
La fórmula para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento nos ofrece una vía alternativa para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo.
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; dibuja los puntos K (–4, –1), L (–2, 3), M (6, 5) y N (4, 1), y demuestra que el cuadrilátero KLMN es un paralelogramo.

Solución: vamos a demostrar que los segmentos KM y LN tienen el mismo punto medio. Para hacerlo, llamaremos P al punto medio de KM y R al punto medio de LN y calcularemos las coordenadas de estos dos puntos:
, por lo tanto P (1, 2).
, por lo tanto R (1, 2).
Como los puntos P y R tienen las mismas coordenadas, son coincidentes. A partir de aquí podemos formular que los segmentos KM y LN tienen el mismo punto medio.
Las diagonales del cuadrilátero KLMN tienen el mismo punto medio, por consiguiente, este cuadrilátero es un paralelogramo. Ver artículo Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales.