Cálculo

Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el 'método de agotamiento' para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

CÁLCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x₀ a x₀ + h, produce un incremento k en la y que pasa de y₀ = f(x₀) a y₀ + k = f(x₀ + h), por lo que k = f(x₀ + h) - f(x₀). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x₀ a x₀ + h. La gráfica de la función y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x₀,y₀) y B = (x₀ + h, y₀ + k) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.

Si h tiende hacia 0, para un x₀ fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x₀; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT, en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f′(x₀) de la función y = f(x) en x₀ como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f′(x₀) indican que f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x₀. La derivada de una función es a su vez otra función f′(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x² (parábola), entonces

por lo que k/h = 2x₀ + h, que tiende hacia 2x₀ cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x₀ es por tanto 2x₀, y la derivada de f(x) = x² es f′(x) = 2x. De manera similar, la derivada de x^m es mx^m-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).

Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x₀, pues k/h puede no tener un límite cuando h → 0; por ejemplo, f(x) = |x| no tiene derivada en x₀ = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x) es en realidad un solo número, el límite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.

Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f′ se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) = u(x) + v(x) para todas las x) entonces f′ = u′ + v′. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)′ = u′ - v′. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)′ = cu′ para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f′ = uv′ + u′v, y si f = u/v entonces f′ = (u′v-uv′)/v² siempre que v(x) ≠ 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x² y x⁵ son 2x y 5x⁴, por lo que la derivada de la función 3x² - 4x⁵ es (3x² - 4x⁵)′ = (3x²)′ - (4x⁵)′ = 3·(x²)′ - 4·(x⁵)′ = 3·(2x) - 4·(5 x⁴) = 6x - 20x⁴. En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ es f′(x) = a₁ + 2a₂x + ... + na_nx^n-1; como caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u(z) y z = v(x), de manera que y es una función de z y z es una función de x, entonces y = u(v(x)), con lo que y es función de x, que se escribe y = f(x) donde f es la composición de u y v; la regla de la cadena establece que dy/dx = (dy/dz)·(dz/dx), o lo que es lo mismo, f′(x) = u′(v(x))·v′(x). Por ejemplo, si y = e^z en donde e = 2,718... es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = e^ax; según la tabla, dy/dz = e^z y dz/dx = a, por lo que dy/dx = ae^ax.

Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con una cierta constante negativa a. Para hallar y en función de x, hay que encontrar una función y = f(x) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma general de esta función es y = ce^ax en donde c es una constante. Como e⁰ = 1, entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de material en la muestra. Como a<0, se tiene que e^ax → 0 cuando x crece, por lo que y → 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una constante positiva, se obtiene la misma solución, y = ce^ax, pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente (como hace e^ax si a>0). Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población.

CÁLCULO INTEGRAL

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o simplemente F = ∫f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x² es 2x, la integral de 2x es x². Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)′ = F′ + c′ = f + 0 = f. Por ejemplo, ∫2xdx = x² + c.

Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x², y de forma similar ∫x^m dx = x^m+1/(m + 1) para cualquier m ≠ -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x^-1 = 1/x para cualquier x ≠ 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).

Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a ≤ x ≤ b. Para simplificar, se asume que f(x) ≥ 0 entre a y b. Para cada x ≥ a, sea L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b). Primero se deriva L(x). Si h es una pequeña variación en la x, la región por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y anchura h (véase figura 3); el correspondiente incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h → 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h → f(x) y por tanto L′(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x ≥ a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe

Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que f sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) → f(x₀) si x→ x₀, de manera que f es una curva sin ninguna interrupción).

El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la integral indefinida ∫f(x)dx es una función F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) + c). El símbolo ∫ (una S del siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de un número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor dicho, el límite de la suma de un número finito de rectángulos cuando sus anchuras tienden hacia 0.

La derivada dy/dx = f′(x) de una función y = f(x) puede ser diferenciada a su vez para obtener la segunda derivada, que se denota d²y/dx², f′′(x) o D²f. Si por ejemplo x es el tiempo e y es la distancia recorrida, entonces dy/dx es la velocidad v, y d²y/dx² = dv/dx es el incremento en la velocidad, es decir, la aceleración. Según la segunda ley del movimiento del Newton, un cuerpo de masa constante m bajo la acción de una fuerza F adquiere una aceleración a tal que F = ma. Por ejemplo, si el cuerpo está bajo la influencia de un campo gravitatorio F = mg (donde g es la magnitud del campo), y entonces ma = F = mg por lo que a = g, y por tanto dv/dx = g. Al integrar, se tiene que v = gx + c, en donde c es una constante; sustituyendo x = 0 se ve que c es la velocidad inicial. Integrando dy/dx = v = gx + c, se tiene que y = ½gx² + cx + b en donde b es otra constante; sustituyendo de nuevo x = 0 se tiene que b es el valor inicial de la y.

Las derivadas de orden superior f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿy/dxⁿ = Dⁿf de f(x) se calculan diferenciando n veces sucesivamente. El teorema de Taylor muestra que f(x) se puede aproximar como una serie de potencias f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ + ..., donde los coeficientes a₀,a₁, ... son constantes tales que a_n = f⁽ⁿ⁾(0)/n! (en donde 0!=1 y n!= 1 × 2 × 3 × ... × n para cualquier n ≥ 1). Las funciones utilizadas más a menudo pueden aproximarse por series de Taylor; por ejemplo si f(x) = e^x se tiene que f⁽ⁿ⁾(x) = e^x para cualquier n, y que f⁽ⁿ⁾(0) = e⁰ = 1 por lo que:

DERIVADAS PARCIALES

Las funciones con varias variables tienen también derivadas. Sea z = f(x, y), es decir, z es función de x e y. Si se mantiene y constante temporalmente, z es una función de x, con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parcial δz/δx = δf/δx; de la misma manera, si se toma la x como constante y se diferencia con respecto de la y se obtiene δz/δy = δf/δy. Por ejemplo, si z = x² - xy + 3y² se tiene que δz/δx = 2x - y y que δz/δy = -x + 6y. Geométricamente, una ecuación z = f(x, y) define una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son horizontales y el eje z es vertical, entonces δz/δx y δz/δy representan los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, z) en la dirección de los ejes x e y, respectivamente. Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.

Ecuación diferencial

Ecuación diferencial, ecuación en la que figura una función y = f(x), y al menos una de sus derivadas. La primera derivada de una función y = f(x), o derivada de primer orden, f’(x), es la velocidad a la que cambia y con respecto a x. Si la función se representa gráficamente, la primera derivada en cualquier punto es la pendiente de la curva en ese punto. La segunda derivada, o derivada de segundo orden, f’’(x), es sencillamente la derivada de la derivada, y así sucesivamente. Véase Cálculo.

A menudo, las ecuaciones diferenciales representan leyes naturales relativas a la velocidad de un determinado cambio. Una solución de una ecuación diferencial es una función y = f(x) que satisface la ecuación; la solución general es una fórmula que representa todas las soluciones posibles.

Una ecuación diferencial de orden n es una ecuación en la que figura la derivada enésima, denotada por dⁿy/dxⁿ = f⁽ⁿ⁾(x), y ninguna derivada de orden superior. Para ver un ejemplo de ecuación diferencial de primer grado que corresponde a una ley natural, hagamos que x represente el tiempo e y la masa de una muestra radiactiva en el momento x. Se ha demostrado que y disminuye a una velocidad dy/dx proporcional a la masa de material radiactivo que queda; por tanto,

donde a es negativo puesto que y disminuye. La solución general de esta ecuación diferencial viene dada por y = ce^ax, donde c es una constante igual a la masa de material en el momento x = 0.

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden surgen a menudo en problemas relativos al movimiento bajo la influencia de fuerzas. Si un objeto recorre la distancia y en el tiempo x, entonces dy/dx es su velocidad y d²y/dx² es su aceleración. Si el objeto tiene una masa constante m y está sometido a una fuerza F, la segunda ley de Newton (véase Mecánica) afirma que

Si F es la fuerza gravitatoria mg, e y representa la distancia caída, entonces m·d²y/dx² = F = mg, por lo que

Como se demuestra en cálculo, la solución general de (2) es

donde a y b son constantes, iguales respectivamente a la velocidad y la distancia en el momento x = 0. Como ilustran estos ejemplos, la solución general de una ecuación diferencial de orden n implica n constantes arbitrarias, como son c en (1), o a y b en (2).

Se dispone de muchos métodos potentes para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales, pero no hay un método único que resuelva todas, y en algunos casos sólo pueden hallarse soluciones aproximadas mediante técnicas numéricas. Las ecuaciones diferenciales parciales implican derivadas parciales de una función de dos o más variables.

Geometría

Geometría (del griego geō, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

GEOMETRÍA DEMOSTRATIVA PRIMITIVA

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: 'una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos'. Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: 'la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos', y 'el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados' (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (), la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1. Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta. De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas líneas se cortan en un punto único. Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el otro plano.

MODERNOS AVANCES

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado 'postulado paralelo' de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

Geometría analítica

Geometría analítica, rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. En la figura 1, el punto A está a 1 unidad del eje vertical (y) y a 4 unidades del horizontal (x). Las coordenadas del punto A son por tanto 1 y 4, y el punto queda fijado dando las expresiones x = 1, y = 4. Los valores positivos de x están situados a la derecha del eje y, y los negativos a la izquierda; los valores positivos de y están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de la figura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0. En un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z, es perpendicular a los otros dos en el punto de intersección, también llamado origen.

En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal en dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la elipse y otras cónicas y curvas regulares. La geometría analítica se ocupa de dos tipos clásicos de problemas. El primero es: dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos, encontrar la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos. Siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea recta que pasa por A y B cumplen la ecuación lineal x + y = 5; en general, ax + by = c. El segundo tipo de problema es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión. Por ejemplo, una circunferencia de radio 3 y con su centro en el origen es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen x² + y² = 9. Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de construcción, como la bisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto, o dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta. La geometría analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas pues ha unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones espaciales). El estudio de la geometría no euclídea y de las geometrías de espacios con más de tres dimensiones no habría sido posible sin un tratamiento analítico. Del mismo modo, las técnicas de la geometría analítica, que hacen posible la representación de números y expresiones algebraicas en términos geométricos, han ayudado al cálculo, la teoría de funciones y otros problemas de las matemáticas avanzadas.