Describir un cono y construir su desarrollo

Un cucurucho de helado, el sombrero de un mago y la llama de una antorcha son todos distintos tipos de cono.

¿Cuál es la definición matemática de este sólido? Y, ¿cómo podemos construir uno?

I. Descripción de un cono recto
1. Observación

Observa el cono recto que hay dibujado arriba en perspectiva.
El cono es un sólido con los siguientes elementos:
—una base, que es el círculo sobre el que se apoya; el círculo de la ilustración tiene un centro en O y un radio r.
—una superficie lateral, que es la cara curva del cono, creada por todos los segmentos que se pueden trazar al unir el punto S con todos los puntos del borde del círculo que forman su base. Estos segmentos se llamangeneratrices del cono; todas ellas son de la misma longitud y las identificaremos mediante la letra g.
El punto S descansa sobre una línea que pasa por O y es perpendicular al plano del círculo. El punto S se llama vértice del cono y el segmento SO (también llamado h) es la altura del cono.
Si recordamos el teorema de Pitágoras, podemos comprobar que en un cono recto se cumple que: .
Nota: la expresión altura de un cono recto puede usarse tanto para referirse al segmento SO como a su longitud.
2. ¿Qué es un cono recto?
Un cono recto es un cuerpo geométrico formado por dos superficies: una plana y circular, que es la base, y otra curva, llamada superficie lateral. Esta última es generada por la hipotenusa (generatriz) de un triángulo rectángulo cuando se le hace girar en torno a uno de sus catetos. Dado que el cono es un cuerpo que se forma en el espacio al hacer girar o rotar una figura plana, se dice que el cono es un cuerpo de revolución (la palabra revolución deriva de la palabra latina volvere, que significa “rotar”).
Un experimento puede ayudarnos a entender todo esto:
—fijamos una goma a los extremos S y O del cateto de un triángulo rectángulo;
—enroscamos la goma y la soltamos de golpe: el triángulo comienza a girar y podremos ver cómo se dibuja en el aire una figura geométrica que llamaremos cono de revolución.

El cono es creado por la revolución (rotación) del triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos. Este es el motivo por el cual la superficie del cono recibe el nombre de superficie de revolución.
Todos los cuerpos geométricos que se pueden crear mediante este proceso se llaman cuerpos de revolución.
No todos los conos tienen superficies generadas por revolución. La figura 3 nos muestra un cono en el que su superficie lateral no es una superficie de revolución.

II. Construir un cono recto
Podemos conseguir el desarrollo de un cono recto cuyo radio mide 3 cm y que tiene una altura de 4 cm.
Vamos a entenderlo observando la ilustración de abajo. Imagina que hemos impregnado de tinta toda la superficie lateral del cono. Si estampamos el cono y lo hacemos rodar sobre una hoja de papel, conseguimos dibujar una figura geométrica en forma de sector circular. Lo que estamos viendo es el desarrollo de la superficie lateral del cono.

El desarrollo de la base es un círculo con un radio de 3 cm y el desarrollo de la superficie lateral es un sector circular. Para poder dibujar este desarrollo, necesitamos calcular el radio y la amplitud angular de este sector.
El radio del sector circular obtenido es igual a la longitud de la generatriz g (o SM) del cono. Calcular la longitud de g es lo mismo que hallar el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo . Como ya hemos visto, aplicando el teorema de Pitágoras: , por lo tanto, . Es decir, el radio del sector circular mide 5 cm.

La longitud del arco del sector circular es igual al perímetro de la base del cono. Como ya sabemos que , el valor del perímetro sería: .
El perímetro de la circunferencia mayor, donde estaría insertado el sector circular sería de: .
Si llamamos x al ángulo del sector circular, podemos escribir la siguiente proporción:

Por lo tanto, ; que si eliminamos denominadores: ; y si despejamos y simplificamos obtenemos:

El ángulo del sector que nos muestra el desarrollo de este cono mide 216°.

Teoremas de geometría plana

El teorema de Pitágoras se aplica a cualquier triángulo rectángulo. El teorema de Tales se aplica a cualquier figura que tenga líneas rectas paralelas cortadas por dos rectas secantes. Para resolver cualquier problema de geometría plana, tenemos que asociarlo con una figura elemental y basarnos en sus propiedades.

1. Propiedades de un triángulo rectángulo

Para hallar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras, que establece que: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Por ejemplo, en el triángulo rectángulo con ángulo recto en el vértice A: BC2= AB2+ AC2.
Recíprocamente, si queremos demostrar que el triángulo es rectángulo con ángulo recto en el vértice A, comprobamos que se cumple la relación entre sus lados: BC2= AB2+ AC2.
Para relacionar los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, usamos las siguientes fórmulas trigonométricas:

También nos debe resultar familiar la relación .
Una última propiedad que debemos considerar es que para un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia:

el centro de la circunferencia es el punto medio de la hipotenusa. Por tanto, para demostrar que un triángulo es rectángulo, basta con probar que se puede inscribir en una semicircunferencia.
II. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por una secante
En la figura siguiente, las rectas d y d' y la secante s forman:
—pares de ángulos correspondientes, cuyos lados son rectas paralelas, por ejemplo, el par de ángulos de azul;
—pares de ángulos alternos internos, dispuestos entre las dos rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de naranja;
—pares de ángulos alternos externos, dispuestos hacia el exterior de las rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de verde.

Puesto que las rectas d y d' son paralelas, cada uno de estos pares de ángulos son iguales. Así, los ángulos correspondientes (de azul) tienen la misma amplitud , los ángulos alternos internos (de naranja) tienen la misma amplitud y los alternos externos (de verde) tienen la misma amplitud .
Recíprocamente también se cumple este razonamiento: si los pares de ángulos correspondientes formados por dos rectas d y d' y una secante s son iguales, entonces las rectas d y d' son paralelas.
III. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por dos secantes
En las dos figuras siguientes podemos aplicar el teorema de Tales.

Sean d y d' dos secantes que se cortan en el punto A. Sean B y M dos puntos de la recta d diferentes de A, y sean C y N dos puntos de la recta d' también distintos de A.
Si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple que: .
Recíprocamente, si los puntos A, M y B están alineados en el mismo orden que los puntos A, N y C, y si , entonces las rectas BC y MN son paralelas.
IV. Propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia
En la figura siguiente, los ángulos , y son ángulos inscritos en la circunferencia de centro O ya que sus vértices están sobre ella y sus lados la cortan. Los ángulos y forman el arco AB que pasa por el punto J, mientras que el ángulo forma el arco AB que pasa por el punto I. Al ángulo se le llama ángulo central.

Recuerda la siguiente propiedad: ángulos inscritos en la misma circunferencia que determinan el mismo arco tienen la misma amplitud, son iguales. En la figura anterior, estos ángulos son y . Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco (en la figura anterior, este es el ángulo ). Debemos tener cuidado porque los ángulos y no tienen el mismo tamaño (esos dos ángulos no forman el mismo arco AB, aunquelos puntos de corte con la circunferencia sean A y B).
Recuerda
—El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
—Rectas paralelas y una secante forman ángulos correspondientes iguales, y alternos internos y externos también iguales.
—De acuerdo con el teorema de Tales, si d y d' son dos rectas secantes que se cortan en A, siendo B y M dos puntos de la recta d distintos de A, y siendo C y N dos puntos de la recta d' también distintos de A, y si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple: .
—Ángulos inscritos en la misma circunferencia que forman el mismo arco son iguales. Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco.

Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado

Imagina el siguiente experimento: colocamos tres puntos, A, M y B en una circunferencia y dibujamos el ángulo . Ahora trazamos un nuevo ángulo , siendo O el centro de la circunferencia, y entonces medimos el ángulo . A continuación, cambiamos la posición del punto M, dejando fijos los puntos A y B. Posiblemente tengamos la impresión de que el tamaño del ángulo es siempre igual a la mitad del ángulo . ¿Estaremos en lo cierto?

I. Definiciones
A y B son dos puntos cualesquiera de una circunferencia que tiene el centro en el punto O. El ángulo es conocido con el nombre de ángulo central de la circunferencia. A partir de ahora diremos que el ángulo intercepta el arco AB.

Nota: los puntos A y B de la figura de arriba definen dos ángulos centrales: un ángulo central menor que intercepta el menor arco que forman A y B, y un ángulo central mayor que intercepta el arco mayor que forman A y B.
A, B y M son tres puntos distintos de una circunferencia. El ángulo recibe el nombre de ángulo inscrito. También podemos decir que este ángulo intercepta el arco AB.

II. Propiedades
1. Ángulo inscrito y ángulo central interceptan el mismo arco
Propiedad: la amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la amplitud del ángulo central que intercepta el mismo arco.
Ejemplo: en la figura 3, el ángulo inscrito y el ángulo central interceptan el mismo arco AB; podemos deducir que:


2. Ángulos inscritos que interceptan el mismo arco
Propiedad: dos ángulos inscritos (en la misma circunferencia) que interceptan el mismo arco, tienen el mismo tamaño.
Ejemplo: en la figura 4, los ángulos inscritos y interceptan el mismo arco AB. Deducimos que .

Podemos demostrar esta última propiedad: para hacerlo llamaremos O al centro de la circunferencia.
El ángulo inscrito y el ángulo central interceptan el mismo arco.
Así, usando la propiedad anterior, tenemos que: .
De la misma forma, el ángulo inscrito y el ángulo central interceptan el mismo arco AB.
Usando la propiedad anterior, tenemos también que: .
A partir de estas dos igualdades podemos deducir el siguiente resultado: .
III. Aplicaciones
1. Calcular la amplitud de un ángulo
Problema: consideremos una estrella regular de cinco puntas. Podemos construirla trazando las diagonales que unen los vértices del pentágono regular ABCDE representado en la figura 5.
Vamos a calcular la amplitud del ángulo .

Solución: sabemos que los vértices de un pentágono regular se encuentran todos en la misma circunferencia: llamaremos O al centro de esta circunferencia.
Consideremos un ángulo central y el ángulo inscrito : ambos interceptan el mismo arco CD, por tanto, podemos deducir que: .
El ángulo central de un pentágono regular es igual a .
Por lo tanto, tenemos que y, en consecuencia, , o bien .
2. Demostración de una propiedad
Vamos a demostrar una propiedad que ya hemos estudiado: un triángulo inscrito en una semicircunferencia, es siempre un triángulo rectángulo.
Tomemos una circunferencia con centro en O y diámetro BC, así como un punto A, distinto de B y C, en la misma. Vamos a demostrar que el triángulo , inscrito en la semicircunferencia, tiene un ángulo recto en A.

Solución: consideremos el ángulo central y el inscrito : ambos interceptan el mismo arco BC, por ello podemos deducir que .
El ángulo es un ángulo llano (180º) ya que BC es el diámetro de la circunferencia con centro en O. Por lo tanto, .
Podemos deducir que: . Por lo tanto, el triángulo tiene un ángulo recto en A. Se trata de un triángulo rectángulo.