Los distintos tipos de números

Los niños usan los números naturales para aprender a contar. Sin embargo, este tipo de números es demasiado limitado para resolver algunos problemas, como los de geometría. Por tanto, se hizo necesario crear nuevos números y añadirles elementos nuevos, tales como signos, comas, rayas de fracción, radicales, etc.

¿Cuáles son los diferentes tipos de números?

I. Una breve historia de los números
1. Números naturales
Tal como nos sugiere el adjetivo “naturales”, estos son los primeros números que todos usamos: igual que los niños aprenden a contar usando sus dedos, los seres humanos comenzaron a contar objetos o animales. De forma natural, nosotros contamos: 1, 2, 3, etc. Sin embargo, y es algo que preocupa mucho a los matemáticos, ¡los números naturales comienzan en el 0, no en el 1!
2. Los números racionales
Los problemas que implican los resultados inexactos de la división y de la medida de longitudes provocan la necesidad, y por tanto, la aparición de las fracciones ; estos nuevos números son conocidos en matemáticas como números racionales, como el número , por ejemplo. Los griegos solo sabían acerca de los números naturales (excepto el cero) y de los números racionales.
3. Los números decimales
Los números decimales se pueden obtener de dos formas distintas: como resultado de una división inexacta o al resolver una raíz cuadrada inexacta. Se pueden distinguir fácilmente observando la parte decimal del número (la que va a la derecha de la coma):
—en los primeros, lo que encontramos detrás de la coma casi siempre suele ser una cantidad infinita y periódica —que se repite— (8,3333333333…).
—en los segundos no hay parte periódica, son números infinitos, pero su parte decimal no se repite (1,4142135623730950488016887242097).
Nota: la parte periódica de los números decimales puede ser pura (8,333333333…) o mixta (6,23444444444…), cuando la parte periódica no aparece justo después de la coma.
El matemático holandés Simon Stevin publicó el primer tratado de los números decimales, El arte de las Décimas, en el siglo XVI. La notación que él usaba no era como la que usamos en la actualidad: si quisiéramos escribir el número 6,19 tendríamos que hacerlo diciendo “6 más 1 primo más 9 segundos”. Las palabras “primo” y “segundo” indicaban respectivamente lo que hoy conocemos como décimas y centésimas.
La notación que usamos en la actualidad para los números decimales data de principios del siglo XVII.
4. Los números negativos
Hay evidencias de que los números negativos ya eran usados en la India en el siglo VII. Es importante destacar que los hindúes usaban el cero, una condición necesaria para concebir los números negativos. Los números negativos eran llamados “números de débito” por razones comerciales, tal como podemos ver hoy día en los informes de cuentas de las empresas o de los bancos, que contienen una columna de datos llamada “debe” (donde se anotan los gastos) y otra para el “haber” (donde se van apuntando los ingresos).
El uso de los números negativos en Occidente llegó mucho más tarde. Los matemáticos del Renacimiento italiano, que eran especialistas en álgebra (parte de las matemáticas dedicada a las ecuaciones), comprendieron que sin los números negativos no podían resolver ciertas ecuaciones (x + 7 = 0, por ejemplo). Sin embargo, no estaban seguros de que este tipo de números fueran los correctos. Y aún en el siglo XVII, el matemático francés Descartes describía los números negativos como los “números falsos”.
No fue hasta el siglo XIX cuando los números negativos fueron tratados, finalmente, como verdaderos números.
5. Los números irracionales
Los discípulos de Pitágoras demostraron que la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado midiera 1, no era un número racional.
En la actualidad escribimos este número como y si lo resolvemos, obtenemos un número decimal infinito cuya parte decimal no es periódica. A este tipo de números, cuyo resultado nunca puede obtenerse como cociente de dos enteros, los llamamos números irracionales.
II. Los diferentes tipos de números en matemáticas
Este apartado describe las relaciones que existen entre los diferentes tipos de números.
1. Los números naturales
Todos los números usados en matemáticas se derivan de los números enteros positivos, también llamados naturales. Se usa la letra N para designar al conjunto de todos los números naturales.
Ejemplos: 12, 5 y 0 son números naturales.
2. Los números enteros
Es el conjunto de números que contiene tanto los valores enteros positivos (o naturales) como los negativos (enteros negativos). Se caracterizan porque siempre van precedidos de un signo que los identifica: '+' para los positivos o '-' para los negativos. Se usa la letra Z (en alemán, Zahl, significa número) para designar al conjunto de todos los números enteros (Z+ y Z-)
Ejemplos: +3, 0 y -72 son números enteros.
Nota: todos sabemos que los números enteros positivos se pueden escribir sin usar el signo “+” delante de ellos. Por ejemplo: +7 = 7.
En consecuencia, los números naturales son también números enteros positivos (Z+). En matemáticas, decimos que el conjunto de los número naturales (N) está incluido en el conjunto de los números enteros (Z). Esto se expresa de la siguiente manera: .
3. Los números decimales
También hay números decimales positivos y negativos. Se usa la letra D para denominan a este conjunto numérico.
Ejemplos: 12,258 y – 45,6.
Cualquier número entero positivo puede ser escrito como número decimal, es decir, usando coma decimal, por ejemplo: – 2 = – 2,0.
En consecuencia, cualquier número entero es un número decimal. En otras palabras: .
4. Los números racionales
Estos números son fracciones del tipo , donde a y b son números enteros y .
La letra Q es la usada para nombrar al conjunto de los números racionales.
Ejemplos: y son números racionales.
Todos los números decimales pueden ser escritos como fracción, por ejemplo: .
Por lo tanto, cada número decimal es un número racional. En otras palabras: .
5. Los números reales
A pesar de lo dicho en el párrafo anterior, existen un tipo de números decimales que no surgen de la división de dos enteros. Es decir, que no forman parte del conjunto de los números racionales. Tenemos como ejemplo , el cual no es racional. Este conjunto de números recibe el nombre de números irracionales.
Todos los tipos de números descritos hasta ahora, forman lo que se conoce como el conjunto de los números reales. La letra R es usada para representar al conjunto de los números reales.
Ejemplos: 5; – 29; – 49,21; ; y son números reales.
En la ilustración inferior puedes observar una clasificación de los números de este ejemplo, cada uno de ellos dentro del conjunto al cual pertenece: 

Comparar y ordenar números decimales

Comparar y ordenar números decimales

Comparar dos números decimales significa encontrar cuál de ellos es mayor. Una vez que sabemos comparar dos números, ¿es fácil la tarea de ordenar varios ya sea en orden creciente o decreciente?

I. Comparar dos números decimales
1. Cuando los números están escritos en forma decimal
Es muy fácil afirmar que 34,97 < 35,2 porque 34 < 35.
Si dos números decimales no tienen la misma parte entera, entonces el más pequeño de ellos es el de menor valor en su parte entera.
Cuando dos números decimales tienen la misma parte entera, entonces compararemos ambas partes decimales, dígito a dígito, comenzando por el dígito o cifra que se encuentra justo a la derecha de la coma decimal y añadiendo —si es necesario— ceros para que ambas partes tengan igual cantidad de dígitos.
Ejemplo 1: 56,24 > 56,239. ¿Por qué?
Las dos partes enteras son iguales y la primera cifra después de la coma decimal es 2 en ambos números, pero 4 > 3, lo que nos permite llegar a esa conclusión.
Ejemplo 2: 3,5 < 3,54. ¿Por qué?
3,5 = 3,50 y 0 < 4, lo que nos permite llegar a esa conclusión.
Nota: cuando encontremos dos cifras diferentes en la misma posición decimal, podremos llegar a una conclusión. De esta manera, 6,4 > 6,398 (ya que 4 > 3). Cuidado: ¡la longitud (cantidad de dígitos) de la parte decimal del número no es relevante cuando comparamos dos números decimales!
2. Cuando los números están escritos en forma de fracción decimal
Para comparar dos decimales escritos como fracciones, simplemente los escribimos en su forma decimal.
Ejemplo: . ¿Por qué?
y .
Así que deducimos que 34,2 > 34,173.
II. Ordenar números decimales
Escribir una lista de números en orden creciente significa comenzar con los de menor valor e ir ascendiendo en la lista hacia los mayores.
Escribir una lista de números en orden decreciente significa comenzar por los mayores e ir completándola con los de menor valor.
Ejemplo 1: para ordenar 5,6; 4,33 y 4,385 en orden creciente, comparamos los números dos a dos; podemos observar que 4,33 < 4,385 y que 4,385 < 5,6. Por lo tanto, podemos escribir: 4,33 < 4,385 < 5,6.
Ejemplo 2: para ordenar 41,667; 41,3 y 50,1 en orden decreciente, comparamos los números dos a dos; observamos que 50,1 > 41,667 y que 41,667 > 41,3. Por lo tanto, podemos escribir: 50,1 > 41,667 > 41,3.

Múltiplos de un número. El mínimo común múltiplo de varios numeros.

Estoy en la parada del autobús y observo que los autobuses de la línea roja pasan cada 4 minutos, y que los amarillos paran cada 6 minutos. Uno de los conductores me ha dicho que cada 12 minutos coinciden en la parada un autobús rojo y otro amarillo. ¿Cómo lo puede saber?

I. Definición de múltiplo de un número
Decimos que un número a es múltiplo de otro número b, si b está contenido un número exacto de veces dentro de a. En otras palabras, a es múltiplo de b si somos capaces de encontrar otro número c, de tal manera que al multiplicar c x b nos dé a.
Ejemplo 1: comprueba si 27 es múltiplo de 9.
Podemos afirmar que 27 es múltiplo de 9 porque:
—el 9 está contenido un número exacto de veces dentro de 27;
—porque existe un número, en este caso el 3, que al multiplicarlo por 9 nos da 27.
Ejemplo 2: comprueba si 36 es múltiplo de 5.
Decimos que 36 no es múltiplo de 5 porque:
—el número 5 no está contenido dentro de 36 una cantidad exacta de veces;
—porque no existe ningún número que multiplicado por 5 nos dé 36.
Notas:
Para expresar que a es múltiplo de b se escribe así:

Por ejemplo, podemos expresar que: .
Todo número es múltiplo de sí mismo: 15 es múltiplo de 15 porque existe el 1, de tal forma que al multiplicarlo por 15 obtenemos: 15 (1 · 15 = 15); luego:

El cero es múltiplo de cualquier número, porque siempre existe un número, el cero, tal que 0 · a = 0. Por ejemplo, 0 es múltiplo de 7 porque existe un número, el cero, tal que al multiplicarlo por 7, nos da 0.
II. Los múltiplos de un número
1. Los múltiplos de un número son infinitos
Para calcular los múltiplos de un número, basta con multiplicar ese número por otros.
Ejemplo: calcula todos los múltiplos de 6.
Solución: multiplicamos 6 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…, y obtenemos:

Podemos comprobar que los múltiplos de 6 nunca acaban; se dice que son infinitos.
2. Múltiplos comunes de varios números
Hay números que pueden ser múltiplos de varios números a la vez. Observa el ejemplo.
Ejemplo: escribe los quince primeros múltiplos de 4 y de 6 y busca en ambas listas si hay números comunes.
Solución: escribimos los múltiplos de 4 y 6 y después seleccionamos aquellos que estén en los dos grupos de múltiplos. Observa:

Decimos que 0, 12, 24, 36 y 48 son múltiplos comunes de 4 y 6.
3. Mínimo común múltiplo de varios números
Es el más pequeño de los múltiplos comunes de varios números, exceptuando el cero.
Si observamos el ejemplo del párrafo anterior, podemos comprobar que el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es el 12. Es decir, el 12 es el valor más pequeño de este conjunto de números: , exceptuando el cero.
Para expresar de forma abreviada que 12 es el mínimo común múltiplo de 4 y 6, lo hacemos así: m.c.m. (4, 6) = 12.
Vuelve a leer ahora el problema de la parada del autobús y tal vez comprendas por qué el conductor calculó con tanta facilidad que cada 12 minutos se juntaban dos autobuses en la parada.
4. Cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números por factorización
Hay un método más rápido de encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números, que no sea tener que escribir los múltiplos de cada número y seleccionar el más pequeño de los que comparten. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: calcula el mínimo común múltiplo de 9, 15 y 20.
Hacemos la descomposición factorial de 9, 15 y 20:
y la expresamos así: 
Ahora escogemos aquellos factores primos comunes y no comunes (sin repetir) elevados al mayor exponente. Es decir, escogemos el 22, el 32 y el 5.
Los multiplicamos y ya tenemos el mínimo común múltiplo: m.c.m. (9, 15, 20) = 22 · 32 · 5 = 4 · 9 · 5 = 180.
III Aplicaciones
1. Reducir fracciones a común denominador
En el trabajo diario con números fraccionarios nos vamos a ver en la necesidad de realizar comparaciones entre ellos y operaciones de suma y resta. Para poder abordar este tipo de actividad con estos números, es necesario que las fracciones con las que vamos a trabajar tengan el mismo denominador, y que ese denominador sea el más pequeño posible.
Resumiendo, dadas dos o más fracciones, se trata de obtener otras tantas fracciones equivalentes pero que tengan el mismo denominador. Veamos cómo conseguirlo usando el mínimo común múltiplo de los denominadores:
Ejemplo: reducir a común denominador las siguientes fracciones: , y .
Factorizamos los denominadores:
y entonces, 
Para hallar el mínimo común múltiplo escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. De este modo obtenemos que el m.c.m (12, 9, 18) = 22 · 32 = 4 · 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador. Ahora tan solo nos queda calcular tres fracciones equivalentes a las originales pero que tengan por denominador 36.
Para ello, dividimos 36 entre 12, 9 y 18 (36: 12 = 3; 36: 9 = 4 y 36: 18 = 2). Ahora ya sabemos por cuánto tenemos que multiplicar los numeradores antiguos para obtener los nuevos: 5 · 3 = 15; 7 · 4 = 28 y 6 · 2 = 12.
Resumiendo: el denominador común de las tres fracciones es 36 y los nuevos numeradores son 15, 28 y 12, respectivamente. Así que , y reducidas a común denominador quedarían de esta forma: , y .
2. Resolver problemas
Muchos problemas de matemáticas que parecen difíciles se pueden resolver mediante un sencillo cálculo de mínimo común múltiplo. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los dos?
Solución: buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12. Pero además deberá ser el múltiplo común más cercano a 8 y 12. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12).
Factorizamos 8 y 12:
y entonces, 
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y calculamos el mínimo común múltiplo. Así, el m.c.m. (8, 12) = 23 · 3 = 8 · 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo cada 24 segundos.

El concepto de fracción

El concepto de fracción
Cuando observamos una fracción como esta: , podemos interpretarla como una división de dos números, como la fracción de una cantidad, como una comparación de dos cantidades (una ratio o razón) o, tal vez, como las tres cosas a la vez.

I. Divisiones
El resultado de la división de 3 entre 7 no se puede escribir de forma exacta porque es un número decimal infinito; por eso recurrimos a su forma fraccionaria para expresar la división.

Para resolver la división de un número a entre otro b, el valor de b ha de ser siempre mayor que cero.
II. Fracciones
Para expresar que hemos dividido una cantidad cualquiera en 7 partes iguales y que queremos usar solo 3 de ellas, empleamos la fracción (se lee “tres séptimos”).
De lo dicho en el párrafo anterior, podemos deducir que en toda fracción del tipo , el valor de b, partes en que dividimos la unidad, ha de ser siempre mayor que cero.
Notas:
—Cuando entendemos una fracción como partición de una cantidad, toda ella toma el carácter de número. En otras palabras, el numerador y el denominador carecen de significado propio por separado, ya que lo que dota de sentido a la fracción, o a la cantidad expresada por ella, es la combinación de ambos números.
—Usualmente la definición que hemos dado más arriba podemos ampliarla para incluir situaciones en las que el numerador es un número entero negativo; de este modo, también es una fracción.
Ver el artículo Calcular la fracción de una cantidad.
III. Ratios
La notación fraccionaria también la empleamos a menudo para establecer comparaciones de una parte con el todo. Cuando usamos una fracción con este fin, hablamos de ella como ratio o razón de proporcionalidad. Por ejemplo, si usamos con esta intención (lo leeríamos como: “3 de cada 7”), estamos dando el valor numérico que compara una parte (3) con la totalidad (7).
Cuando el denominador de estas ratios es 100, lo que tenemos es una comparación basada en el 100. Es decir, una ratio fácil de interpretar para establecer comparaciones entre cantidades: un porcentaje.
Notas:
—De nuevo nos encontramos que, si estamos ante una comparación, el número que representa a la totalidad ha de ser mayor que cero. Es decir, si la estructura de la fracción es del tipo , entonces b > 0.
—Resumiendo, si volvemos a la cuestión planteada en la introducción, cuando veamos una fracción como podremos decir, según el contexto en el que nos encontremos, que lo que tenemos delante es una división, un número fraccionario o una razón (ratio) de proporcionalidad entre dos cantidades.

Escribir un número decimal en forma de fracción y viceversa

Todo número decimal se puede escribir en forma decimal o en forma de fracción. ¿Cómo pasamos de una forma a otra?

I. Pasar de decimal a fracción
Convertimos un número decimal escrito en notación decimal en una fracción.
Ejemplo 1: podemos leer el número 41,3 como cuarenta y una unidades y tres décimas, y escribirlo así: .
También podemos considerar que 41,3 es igual a 413 décimas, es decir: .
Ejemplo 2: de forma análoga, podemos escribir:
.
Podemos leer el número 56,29 como 56 unidades, 2 décimas y 9 centésimas, o como 56 unidades y 29 centésimas, o como 5.629 centésimas.
II. Pasar de fracción a decimal
Convertimos un número decimal escrito en forma de fracción en su forma decimal.
Las fracciones que vamos a utilizar para pasar de forma de fracción a forma decimal tienen por denominador 10, 100 o 1.000: son fracciones decimales. Basta entonces con efectuar la división entre 10, 100 o 1.000 indicada en la fracción, y después sumar los resultados.
Ejemplos: