Infinito

Infinito, término matemático derivado de la teoría de conjuntos tal y como fue propuesto por el matemático alemán Georg Cantor. Los conjuntos se pueden dividir en dos clases dependiendo de si los elementos del conjunto forman una aplicación biunívoca (correspondencia de uno a uno) con los elementos de alguno de sus subconjuntos propios. Un conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B si todos y cada uno de los elementos de A pertenece a B pero B tiene al menos un elemento que no pertenece a A. Los elementos del conjunto [1, 2, 3] no pueden formar una correspondencia biunívoca con los elementos de cualquiera de sus subconjuntos propios; este tipo de conjuntos se denomina conjunto finito. Los elementos del conjunto [2, 4, 6, ..., 2n, ...] pueden formar una aplicación biunívoca con los elementos del subconjunto propio [6, 8, 10, ..., 2n + 4, ...] haciendo corresponder, para un entero positivo n, el elemento 2n del primer conjunto con el elemento 2n + 4 del segundo. Un conjunto que cumple esta propiedad se denomina conjunto infinito. De esta manera, el conjunto N de los enteros positivos, el conjunto R de los números racionales y el conjunto Z de los números reales son conjuntos infinitos.

Los elementos de los conjuntos N y R pueden formar una aplicación biunívoca entre sí por lo que N y R tienen iguales infinitudes; pero ni N ni R pueden formar una correspondencia de uno a uno con un subconjunto de Z. Por tanto, la infinitud de Z es mayor que la infinitud de N. Se puede demostrar que si S es un conjunto cualquiera finito o infinito, el conjunto T de los subconjuntos de S es un conjunto mayor; esto es, los elementos de S forman una correspondencia biunívoca con cualquier subconjunto propio de T, pero no con T mismo.

El término infinito se utiliza en otros ámbitos similares. Por ejemplo, en la serie infinita 1, 4, 9, ..., en la que el término n-ésimo, a_n, es igual a n², donde n = 1, 2, 3, ..., se dice que a_n tiende a infinito cuando n tiende a infinito, lo que significa que aⁿ es mayor que un cierto número arbitrario si n es mayor que determinado valor. En la serie infinita 1, , , ..., en la que el término n-ésimo b_n es 1/n, donde n = 1, 2, 3, ..., se dice que b_n tiende hacia cero cuando n tiende a infinito, lo que significa que la diferencia entre b_n y cero es menor que cierto número positivo arbitrario para n mayor que determinado valor. También se dice que f(x) = 1/(1 - x)² se acerca a, o tiende hacia, infinito cuando la x tiende hacia 1, y que la función tiende hacia cero si x tiende hacia infinito.

Ecuación indeterminada

Ecuación indeterminada, en matemáticas, nombre dado a una ecuación carente de un conjunto único de soluciones, por lo que no se puede resolver de forma única. Una ecuación indeterminada puede tener un número infinito de soluciones. Estas ecuaciones sólo tienen solución si se añaden restricciones adicionales al problema; una restricción puede ser que las soluciones deben ser números enteros.

Un ejemplo sencillo de este tipo de problemas es el siguiente: ¿cuántas monedas de cinco y veinticinco unidades se necesitan para tener cincuenta unidades? Algebraicamente, este problema se reduce a resolver la ecuación 5x + 25y = 50. Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones si se admiten soluciones fraccionarias, pero el enunciado del problema prohibe estas soluciones, pues un tercio de moneda de 5, por ejemplo, no tiene sentido. Con esta restricción, está claro que hay tres y sólo tres soluciones: diez monedas de 5 y ninguna de 25, cinco de 5 y una de 25, y ninguna de 5 y dos de 25. Algunos de estos problemas no tienen solución, por ejemplo: ¿cuántas monedas de 5 y 25 se necesitan para tener 37 unidades?

En problemas más complejos, la solución o soluciones no son tan fáciles de encontrar, por lo que ha sido necesario desarrollar un álgebra extensa para encontrar estas soluciones. El más simple de estos problemas puede expresarse en forma de una ecuación algebraica lineal con dos incógnitas (como la ecuación mostrada en el párrafo anterior), que se resuelve utilizando el método descubierto por los matemáticos griegos Diofante y Euclides. Las soluciones, si existen, se encuentran calculando el máximo común divisor de los coeficientes de la x y de la y en la ecuación. En la ecuación anterior, los coeficientes eran 5 y 25, con lo que su máximo común divisor es 5. Si el máximo común divisor es un submúltiplo del segundo miembro de la ecuación (50 es divisible por 5), la ecuación tiene una o más soluciones enteras.

Para más información y ejemplos sencillos, véase Análisis diofántico. Muchos de los grandes matemáticos, como el alemán Carl Friedrich Gauss dedicaron bastante tiempo a la búsqueda de soluciones enteras para ecuaciones indeterminadas complejas.

Desigualdad

 Figura 3: representación gráfica de inecuaciones

La curva parabólica de esta gráfica está formada por todos los puntos del plano que satisfacen la ecuación y = x 2 - 1. El área sombreada dentro de la parábola son aquellos puntos para los que y > x 2 - 1.

Desigualdad

Desigualdad, relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los números. La figura 1 muestra los símbolos utilizados para denotar una desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es menor que el 10; la desigualdad x² ≥ 0 expresa el hecho de que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.

Las desigualdades aparecen a menudo al describir áreas y volúmenes. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de la diagonal del cuadrado de la figura 2, entonces el área de los dos rectángulos sombreados en azul es siempre menor o igual que (≤) el área de los dos cuadrados sombreados en rojo.

Si una desigualdad contiene incógnitas, se denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x + 6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x + 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se pueden utilizar para resolver inecuaciones, con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x + 6 > 0.

Figura 2: superficies desiguales

En este gráfico, los cuadrados rojos ocupan una superficie mayor que los rectángulos azules. Si el punto P, vértice común a las cuatro figuras, se mueve a una posición diferente en la diagonal del cuadrado total, las cuatro áreas cambian. Sin embargo, el área total de los cuadrados rojos es siempre mayor o igual que el área total de los rectángulos azules.

Figura 1: signos de desigualdad

Una desigualdad es la relación entre números, ecuaciones, propiedades geométricas u otras expresiones que tienen valores distintos entre sí. Los signos que aparecen en esta tabla se utilizan para comparar valores de expresiones matemáticas desiguales.

Trinomio

Trinomio, polinomio con tres términos. Un trinomio de segundo grado es de la forma ax² – bx + c, siendo a, b y c números reales no nulos.

Ecuación bicuadrada

Ecuación bicuadrada, ecuación polinómica de cuarto grado sin términos de grado impar, es decir, ecuación del tipo: ax⁴ + bx² + c = 0

con a ≠ 0. Una ecuación bicuadrada se resuelve realizando el cambio de variable x² = y, pues así se transforma en una ecuación cuadrática o de segundo grado en y: ay² + by + c = 0

Cada solución de esta ecuación, según sea positiva, nula o negativa, da lugar a dos, una o ninguna soluciones de la primera, pues x = ±√y.

En el 2000 a.C.Se resuelven ecuaciones cuadráticas

Los babilonios resuelven ecuaciones cuadráticas, conocen el teorema de Pitágoras y desarrollan un sistema sexagesimal de medidas (basado en el número 60) del que se derivan las unidades modernas para tiempos y ángulos.