El Grupo en matemáticas
Grupos: figuras 1,
2 y 3
En matemáticas un
grupo está formado por un conjunto de elementos, incluyendo un elemento neutro
y un elemento recíproco para cada elemento, y una operación. La operación toma
dos elementos cualesquiera para dar otro elemento del conjunto. La figura 1 ilustra
cinco de los seis elementos que, junto con el elemento neutro e, transforman un
triángulo equilátero en sí mismo: r 1 gira el triángulo 120º, r 2 lo gira 240º,
y f 1, f 2 y f 3 voltean al triángulo alrededor de las rectas L 1, L 2 y L 3
respectivamente. Las figuras 2 y 3 muestran cómo al aplicar f 2 y después r 1 a
un triángulo equilátero el efecto es idéntico a aplicar sólo f 1.
Operaciones de un
grupo: figura 4
Esta tabla de
multiplicar muestra el resultado de multiplicar cualquier pareja del grupo de
seis elementos que transforman un triángulo equilátero en sí mismo. Para saber
el resultado de multiplicar dos de ellos, se busca el primero en la columna de
la izquierda y el segundo en la fila superior; el resultado se encuentra en la
intersección de la fila y la columna correspondientes. Por ejemplo, la tabla
indica que f 1 veces r 2, es decir, girar el triángulo 240° y después voltearlo
alrededor del vértice superior, es igual que f 3, que es voltearlo alrededor
del vértice inferior izquierdo.
Grupo (matemáticas),
estructura básica del álgebra moderna, formada por un conjunto de elementos
y una operación. Esta operación toma dos elementos cualesquiera del
conjunto para dar otro elemento del conjunto, cumpliéndose ciertas condiciones.
La teoría de los grupos es muy estudiada en matemáticas, y se utiliza en muchos
campos científicos. Por ejemplo, los grupos se utilizan en química para
describir la simetría de moléculas, y el grupo de Lorentz es parte central de
la relatividad especial. Así mismo, la teoría de grupos desempeña un papel
importante en la física atómica, en donde ha ayudado al descubrimiento de
nuevas partículas elementales.
Un ejemplo de grupo
es el conjunto de todos los números enteros con la operación de la adición
ordinaria. La operación + (suma) toma dos números como el 3 y el 7 y da su
suma: 3 + 7. La adición de números enteros cumple tres propiedades que son
comunes a todos los grupos. En un grupo generalizado, la operación ∘ toma dos
elementos como x e y para formar el elemento x∘y.
Veamos dichas
propiedades:
(1) Asociativa: Para sumar -3, 4 y 6
se puede hacer como (-3 + 4) + 6 = 1 + 6 = 7 o como -3 + (4 + 6) = -3 + 10 = 7.
En un grupo estos dos métodos distintos deben dar siempre el mismo resultado
para tres elementos cualesquiera. En otras palabras, (x∘y)∘z
= x∘(y∘z) para todas las x, y y z del grupo.
(2) Elemento neutro: El número 0 tiene la
propiedad de que al ser sumado a otro número por la derecha o por la izquierda
da como resultado el mismo número. Por ejemplo, 6 + 0 = 6 = 0 + 6. En todo
grupo debe haber siempre un elemento especial, denotado por e, con la
propiedad de que x∘e = x = e∘x para
cualquier elemento x del grupo. Este elemento especial se denomina elemento
neutro del grupo.
(3) Elemento
recíproco: El número -6 se denomina
recíproco o inverso del 6 pues al sumar -6 y 6 da 0, el elemento neutro.
En un grupo genérico, para todo elemento x debe existir un elemento y
tal que x∘y = e = y∘x.
Formalmente, un grupo
es un conjunto de elementos junto con una operación (∘) que satisface las
propiedades (1), (2) y (3). Si además de estas propiedades, se cumple que x∘y
= y∘x (propiedad conmutativa) para cualquier pareja de elementos
del grupo, entonces se dice que es un grupo conmutativo o abeliano. El
conjunto de los números enteros con la operación de la adición es un grupo
abeliano pues el orden de los sumandos no altera la suma, como muestra el
ejemplo 2 + 7 = 7 + 2.
El conjunto de los
enteros con la operación de la sustracción no es un grupo porque no tiene la
propiedad asociativa. Por ejemplo, (5 - 4) - 3 es distinto de 5 - (4 - 3). El
conjunto que sólo contiene a los números 1 y -1 junto con la operación de la
multiplicación es un grupo abeliano. En este último ejemplo, el elemento neutro
es 1, y el recíproco o inverso de -1 es -1 pues (-1)∘(-1) = 1.
Los grupos aparecen a
menudo relacionados con simetrías. Por ejemplo, tomemos las seis maneras en que
un triángulo equilátero se puede mover manteniéndose igual a sí mismo. En la
figura 1 se muestra el conjunto de los movimientos, que está formado por e,
en la que el triángulo no se mueve, por las rotaciones r1 y r2
de 120 y 240 grados respectivamente alrededor del centro en el sentido de las
agujas del reloj, y por los volteos f1, f2
y f3 alrededor de las líneas L1, L2 y L3
respectivamente. Se define una operación en este conjunto de movimientos de
manera que x∘y es el resultado de hacer primero y y luego x.
Por ejemplo, r1∘f2 es el resultado de
primero voltear alrededor de L2 para dar la figura 2 y después
rotarlo 120 grados para obtener la figura 3. Esta última figura se puede
obtener también con sólo hacer f1, y por tanto r1∘f2
= f1. Este resultado se anota en la tabla de multiplicar de
la figura 4: f1 aparece en una casilla a la derecha de la r1
de la primera columna y por debajo de la f2 de la primera
fila. Se puede demostrar que estos seis elementos junto con la operación ∘ aquí
definida forman un grupo donde e es el elemento neutro. No es un grupo
conmutativo porque r1∘f2 es distinto de f2∘r1,
como se puede ver en la figura 4.
