Raíces de una ecuación

Raíz (matemáticas), enésima de un número real, a, es otro número, b, cuya potencia enésima es a. Se expresa así

 se llama radical, a es el radicando y n el índice de la raíz. El índice es un número entero mayor que 1: n ≥ 2.

La raíz de índice dos se llama raíz cuadrada y se escribe sin explicitar el índice: .

La raíz de índice tres se llama raíz cúbica.

Si el índice es par y a es positivo, existen dos raíces enésimas reales de a, una positiva y otra negativa. Pero la expresión sólo se refiere a la positiva. Es decir, las dos raíces n-ésimas de a son y – . Sin embargo, los números reales negativos no tienen ninguna raíz real de índice par.

Por ejemplo, 25 tiene dos raíces cuadradas, 5 y –5, pues 5² = 25 y (-5)² = 25; y el número 10 tiene dos raíces cuartas y – . Sin embargo, –25 no tiene ninguna raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da –25. Por lo mismo, –10 no tiene ninguna raíz cuarta.

Si el índice es impar, cualquiera que sea el número real, a, tiene una única raíz n-ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de –8 es –2, y 20 tiene una única raíz cúbica que se denomina .

FORMA EXPONENCIAL DE UNA RAÍZ

La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:

Por tanto,  

RAÍZ DE UNA ECUACIÓN

En una ecuación algebraica, si sustituimos la incógnita por un número y la igualdad se cumple, dicho número se denomina raíz de la ecuación. Por ejemplo, 3 es raíz de la ecuación x⁴ – 3x² – 5x – 39 = 0 porque 3⁴ – 3·3² – 5·3 – 39 es igual a 0.

RAÍZ DE UN POLINOMIO

Si un polinomio P(x) se anula cuando se sustituye x por el número a, P(a) = 0, se dice que a es raíz de P(x). Por ejemplo, 3 es raíz del polinomio x⁴ – 3x² – 5x – 39.

Operaciones básicas

Suma

Suma, adición, operación entre números u otros objetos matemáticos.

La palabra suma designa tanto la operación como el resultado de la misma. Por ejemplo, al decir “la suma de números naturales cumple la propiedad asociativa”, la palabra suma hace referencia a la operación. Al decir “la suma de 3 y 2 es 5”, la palabra suma significa el resultado de la operación.

Resta

Resta, sustracción, operación contraria a la suma.

El resultado de restar dos números se llama diferencia.

Multiplicación

Multiplicación, operación entre números u otros objetos matemáticos como polinomios, matrices y funciones. Se designa con el signo · o ×. Véase Aritmética.

División (aritmética)

INTRODUCCIÓN

División (aritmética), la operación opuesta de la multiplicación, para la cual se utiliza el signo : o bien ÷ o /.

5 : 3 = 5 ÷ 3 = 5 / 3

DIVISIÓN ENTERA

Entre dos números naturales a > b se llama división entera de a entre b a la operación en la que se obtienen otros dos números, c, cociente y r, resto, que cumplen las siguientes relaciones:

a = b · c + r 0 ≤ r < b

Entre dos polinomios P(x) y Q(x) tales que grado de P(x) ≥ grado de Q(x), se llama división entera de P(x) entre Q(x) a la operación en la cual se obtienen dos polinomios, C(x), cociente, y R(x), resto, que cumplen las siguientes relaciones:

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) grado de R(x) < grado de Q(x)

Cuando el resto es cero (r = 0 o R(x) = 0) se dice que la división ha sido exacta.