Alquitrán de hulla

Alquitrán de hulla, líquido negro y viscoso producido en la destilación destructiva del carbón para fabricar coque y gas. El alquitrán de hulla es una mezcla compleja de compuestos orgánicos, sobre todo hidrocarburos. Su composición varía según el tipo de carbón, la temperatura a la que se forma y el proceso utilizado.

Cuando se forma a temperaturas por debajo de 600 °C, el alquitrán de hulla se compone de hidrocarburos de la familia de las parafinas y olefinas, además de alcoholes, fenoles y agua. El coque suele producirse a unos 1.000 °C, y el alquitrán de hulla formado a esas temperaturas consiste fundamentalmente en hidrocarburos aromáticos, fenoles y algunos compuestos de nitrógeno, azufre y oxígeno. Esta variación de la composición indica que la mayoría de los compuestos del alquitrán de hulla se forman durante el proceso de coquefacción, y no existen como tales en el carbón original. Se han identificado alrededor de 300 compuestos diferentes en el alquitrán de hulla, de los que unos 50 se separan y tienen un uso comercial. Algunos de los componentes son cancerígenos.

La separación de los compuestos (o grupos de compuestos) que constituyen el alquitrán de hulla se realiza mediante extracción y destilación. Los fenoles pueden extraerse con disoluciones alcalinas, de donde se liberan después por acidificación. Los compuestos de nitrógeno reaccionan con disoluciones ácidas y se disuelven en ellas; a continuación se separan mediante alcalinización. La destilación del alquitrán de hulla produce benceno, tolueno, naftaleno, xileno, antraceno, fenantreno y otros productos valiosos. Según el proceso utilizado se obtienen proporciones diferentes. Después de la destilación quedan restos de brea (chapapote) que se emplean para la construcción de carreteras, el techado de edificios y la fabricación de electrodos para producir aluminio.

En el pasado, el alquitrán de hulla se desechaba sin darle ningún uso. Hoy ha dado lugar a todo un campo nuevo de la química, y sus compuestos son indispensables para un gran número de productos como colorantes, fármacos, explosivos, aromas alimentarios, perfumes, edulcorantes artificiales, pinturas, conservantes, insecticidas o resinas. El alquitrán de hulla también es la principal fuente de los cresoles, un grupo de compuestos empleados para la fabricación de antisépticos, aceite de creosota, disolventes de pinturas y plásticos.

Cuadrado mágico

Cuadrado mágico, en matemáticas, agrupación de diversos números colocados formando un cuadrado en el que la suma de cada columna, la de cada fila y la de las diagonales son todas iguales. Por ejemplo, la siguiente matriz de números

es un cuadrado mágico de tercer orden (el orden es el número de columnas verticales o de filas horizontales), y la suma constante es 15. En la antigüedad, este tipo de configuración numérica se consideraba como amuleto de buena suerte o talismán. Más tarde, los matemáticos empezaron a interesarse en los cuadrados mágicos como problema del análisis matemático.

Los números de un cuadrado mágico de n-ésimo orden están casi siempre limitados a los enteros 1, 2, 3..., n2. La suma de

Por tanto, la suma de cada una de las n filas, de cada una de las n columnas o de las dos diagonales principales del cuadrado mágico es

Este número se denomina constante del cuadrado mágico. Además de las diagonales principales, que en el ejemplo anterior son las tríadas (2,5,8) y (6,5,4), se pueden también considerar las diagonales quebradas, que en este ejemplo son (7,1,4), (6,9,3), (2,1,3) y (7,9,8). Un cuadrado mágico se denomina panmágico o pandiagonal si la suma de cada una de las diagonales quebradas es también igual a la constante. El cuadrado mágico de tercer orden mostrado anteriormente no es panmágico, pero el de cuarto orden

es panmágico pues las sumas de los números de las cuatro filas, las cuatro columnas y las ocho diagonales son todas 34.

Un cuadrado mágico se denomina bimágico o doblemente mágico si al sustituir cada número por su cuadrado, sigue siendo un cuadrado mágico. Se llama trimágico o triplemente mágico si al reemplazar cada elemento por su cuadrado y por su cubo sigue siendo un cuadrado mágico.

Un cuadrado mágico con los elementos 1,2..., n2, existe para todo orden n excepto n = 2. Hasta la fecha, sin embargo, no se ha podido encontrar una regla general para la construcción de cuadrados mágicos, y no se sabe cuántos cuadrados mágicos distintos existen para cada orden n. Se han desarrollado reglas particulares para la construcción de cuadrados mágicos de tres tipos: aquellos cuyo orden, n, es impar, aquellos cuyo orden, n, es divisible por 2 pero no por 4 y aquellos cuyo orden, n, es divisible por 4. También se han estudiado los cubos mágicos y otras figuras geométricas.

El cuadrado latino, es un cuadrado cuyos elementos son los enteros 1,2..., n (o n números distintos cualesquiera). Cada uno de estos números aparece n veces en el cuadrado, de manera que los enteros de una fila o de una columna son todos distintos entre sí. Por tanto,

son cuadrados latinos. Si se superpone el segundo sobre el primero, manteniendo el mismo orden, se forma un cuadrado de parejas

en el que ninguna pareja se repite. Un cuadrado de parejas como éste, en el que no se repite ninguna, se denomina cuadrado euleriano (en honor al matemático suizo Leonhard Euler), o grecolatino. Los cuadrados latinos y eulerianos han sido ampliamente estudiados.

Regla de la mano derecha

Regla de la mano derecha

La regla de la mano derecha permite recordar la relación que existe entre las direcciones y sentidos de determinadas magnitudes físicas.

Campo magnético e intensidad de corriente

La regla de la mano derecha permite conocer la dirección y sentido del campo magnético creado por un conductor rectilíneo por el que circula una corriente eléctrica (I). Si el pulgar se coloca a lo largo del conductor, en la dirección y sentido de la corriente, los demás dedos se curvan en la dirección y sentido del campo magnético.

Regla de la mano derecha, regla que permite recordar la relación que existe entre las direcciones y sentidos de ciertas magnitudes físicas.

En el estudio del movimiento circular, la regla de la mano derecha se utiliza para determinar la dirección y sentido de la velocidad angular. El dedo pulgar indica la dirección y sentido de la velocidad angular cuando los otros cuatro dedos siguen el sentido de la rotación.

En el electromagnetismo esta regla permite recordar las relaciones que existen entre las direcciones y los sentidos del campo magnético y de la intensidad de la corriente eléctrica. En el caso del campo magnético creado por la corriente eléctrica que circula por un hilo conductor rectilíneo y largo, si el pulgar de la mano derecha se coloca a lo largo del hilo en la dirección y sentido de la corriente, los dedos de dicha mano se curvan en la dirección y sentido del campo magnético. Análogamente, en el caso del campo magnético originado por la corriente que circula por una espira circular, si los dedos de la mano derecha se curvan en el sentido de la intensidad de la corriente eléctrica, el dedo pulgar indicará la dirección y sentido del campo magnético.

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini, algoritmo que permite efectuar la división de un polinomio P(x) por x - a de forma rápida y sencilla.

Puesto que el resto de la división por x - a es igual al valor del polinomio cuando x = a (teorema del resto), la regla de Ruffini sirve también para hallar el valor numérico, P(a), de un polinomio P(x) cuando se da a x el valor a.

Por ejemplo, para dividir P(x) = 3x⁴ – 7x³ + 60x - 11 por x + 2 se procede así:

El proceso, paso a paso, se describe a continuación.

Se colocan los coeficientes, 3, -7, 0, 60, -11, del polinomio en las líneas que forman la caja y en la esquina el número -2 (valor de x que anula a x + 2):

Se baja el primer coeficiente, 3, se multiplica por -2 y el resultado, 3 · (-2) = -6, se pone bajo el segundo coeficiente:

Se efectúa la suma -7 - 6 = -13, el resultado se multiplica por –2 y el producto (-13) · (-2) = 26 se lleva bajo el siguiente coeficiente:

Se procede de forma análoga con los siguiente números:
0 + 26 = 26; 26 · (-2) = -52
60 –52 = 8; 8 ·(-2) = -16
–11 –16 = -27

Así se obtienen los números 3, -13, 26 y 8, que son los coeficientes del polinomio cociente: Q(x) = 3x³ - 13x² + 26x + 8

El número -27 es el resto: R = -27 . Por tanto: 3x⁴ - 7x³ + 60x - 11 = (x + 2)(3x³ - 13x² + 26x + 8) – 27

El valor numérico de P(x) para x = -2 es -27. Es decir: 3 · (-2)⁴ - 7 · (-2)³ + 60 · (-2) -11 = -27

Teoría de números

Teoría de números, rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones de los números. Según esta amplia definición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, en particular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita al estudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos de números con propiedades similares al conjunto de los enteros.

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TIPOS DE ENTEROS

Si a, b y c son números enteros tales que a = bc, a es un múltiplo de b o de c, y b y c son divisores de a. Si c es distinto de ±1, entonces b se denomina divisor propio de a. Los enteros pares son los múltiplos de 2, incluyendo el 0, como -4, 0, 2 y 10; un entero impar es aquél que no es par, por ejemplo, -5, 1, 3, 9. Un número perfecto es aquel entero positivo que es igual a la suma de todos sus divisores propios positivos (partes alícuotas); por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3) y 28 (que es igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos. Un entero positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede ser deficiente o superante según que la suma de sus divisores propios positivos sea menor o mayor que él. Así, 9, cuyos divisores son 1 y 3, es deficiente, y 12, cuyos divisores son 1, 2, 3, 4 y 6, es superante.

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NÚMEROS PRIMOS

Gran parte de la teoría de números se dedica al estudio de los números primos. Un número p (p ≠ ±1) es primo si sus únicos divisores son ±1 y ±p. Un número a se denomina compuesto si a = bc, para b y c distintos de ±1. Los diez primeros números primos positivos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29; los diez primeros números compuestos positivos son 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 y 18. Un número compuesto se puede descomponer como producto de números primos o factores primos de forma única (sin considerar el orden de los factores). Por ejemplo, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5 y 12 = 2 × 2 × 3.

El libro IX de Elementos de geometría del matemático griego Euclides contiene la demostración de que la cantidad de números primos es infinita, es decir, no existe un número primo máximo. La prueba es sencilla: sea p un número primo y q el producto de todos los enteros del 1 al p, más uno, es decir, q = (1 × 2 × 3 × ... × p) + 1. El entero q es mayor que p y no es divisible por ningún entero del 2 al p, ambos inclusive. Cualquier divisor de q distinto de 1, y por tanto cualquier divisor primo, debe ser mayor que p, de donde se deduce que debe haber un número primo mayor que p.

Aunque hay infinitos números primos, estos son cada vez más escasos a medida que se avanza hacia números más grandes. Se sabe que la cantidad de números primos entre 1 y n, para n bastante grande, es aproximadamente n dividido por el logaritmo neperiano de n. Un 25% de los números entre 1 y 100, un 17% de los números entre 1 y 1.000, y un 7% de los números entre 1 y 1.000.000 son primos.

Dos números primos cuya diferencia es 2 (por ejemplo, 5 y 7, 17 y 19, 101 y 103) se denominan primos gemelos. No se sabe si la cantidad de primos gemelos es infinita. Aunque todavía no se ha podido demostrar, se cree que todo número mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos; por ejemplo, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 20 = 3 + 17 y 100 = 3 + 97.

El máximo común divisor de dos enteros a y b es el mayor entero positivo que divide a a y b con resto cero. Si el máximo común divisor de dos enteros es 1, se dice que los dos números son primos relativos o primos entre sí.

Si p, q,…, u son los divisores primos de un entero positivo n, el número de enteros positivos menores que n y primos con n está dado por

Si a, b y m son números enteros tales que a - b es un múltiplo de m —que es positivo— entonces se dice que a es congruente con b respecto al módulo m. Esto se escribe como a : b (mod m)Esta expresión se denomina congruencia. La teoría de la congruencia es una parte importante de la teoría de números. Una de las aplicaciones de la teoría de la congruencia es la resolución de los problemas conocidos como restos chinos. Un ejemplo ilustrativo de este tipo de problema es el siguiente: encontrar los dos primeros enteros positivos cuyos restos son 2, 3 y 2 al ser divididos por 3, 5 y 7 respectivamente. La respuesta, 23 y 128, fue obtenida por el matemático chino Sun-Tsŭ en el siglo I d.C.

Teoría de decisión

Teoría de decisión, estudio formal sobre la toma de decisiones. Los estudios de casos reales, que se sirven de la inspección y los experimentos, se denominan teoría descriptiva de decisión; los estudios de la toma de decisiones racionales, que utilizan la lógica y la estadística, se llaman teoría preceptiva de decisión. Estos estudios se hacen más complicados cuando hay más de un individuo, cuando los resultados de diversas opciones no se conocen con exactitud y cuando las probabilidades de los distintos resultados son desconocidas. La teoría de decisión comparte características con la teoría de juegos, aunque en la teoría de decisión el ‘adversario’ es la realidad en vez de otro jugador o jugadores.

Teoría de catástrofes

Teoría de catástrofes, término que designa el intento de desarrollar un sistema matemático capaz de representar fenómenos naturales discontinuos que no son descritos satisfactoriamente por el cálculo diferencial. Un ejemplo de “catástrofe” puede ser la rotura súbita de una pieza de metal bajo presión.

La teoría de catástrofes fue presentada en 1968 por el matemático francés René Thom, y atrajo a muchos investigadores en la década de los setenta. Se intentó aplicar esta teoría para describir fenómenos discontinuos de las ciencias sociales y biológicas, pero hoy está en desuso por ser poco práctica.

Dos teorías: Teoría de colas y teoría conciliar

Teoría conciliar

Teoría conciliar, la doctrina medieval que afirmaba la superioridad, bajo ciertas circunstancias, de los concilios generales de la Iglesia sobre el papado. Aunque se basa en las enseñanzas primitivas de los abogados del canon, la doctrina no surgió con claridad y significación práctica hasta el Gran Cisma. En un esfuerzo para resolver el cisma, los canonistas y teólogos desarrollaron la posición de que, al menos en una emergencia, un concilio podía juzgar a un Papa y tomar acción en asuntos urgentes que el Papa no podía o no debía mantener. Esta moderada teoría de 'emergencia' parece haber prevalecido en el concilio de Constancia (en 1414-1418), que agudizó el cisma. Una forma más radical fue presentada más tarde en el concilio de Basilea (1431- 1449); de acuerdo con ella los concilios eran en cualquier circunstancia la mayor autoridad de la Iglesia. Esta forma extrema se llama conciliarismo de una forma habitual. El conciliarismo perdió su fuerza dentro de la Iglesia católica en el siglo XVI, pero parte de su herencia en el siglo siguiente fue la aparición del galicanismo, la tendencia, sobre todo en Francia, asumida por el rey y los obispos para afirmar su independencia de la autoridad papal.

Teoría de colas

Teoría de colas, en matemáticas, rama de la teoría de la probabilidad que estudia las opciones más ventajosas para controlar situaciones o procesos en los que existen líneas de espera. Los problemas van desde aviones en espera para aterrizar hasta programas de ordenador o computadora en espera de ser utilizados. Este campo surgió para estudiar redes telefónicas a principios del siglo XX, y se ocupa de factores como el patrón de llegada a la cola, las distintas necesidades de cada nueva llegada, así como de las probabilidades y patrones estadísticos de los tiempos de espera y de procesado.