Igualdad y semejanza de triángulos

Si transformamos un triángulo en otro, de manera que pueda ser superpuesto a aquél, y si estas series de transformaciones se hacen sin ninguna alteración de las longitudes de los lados de ambos triángulos, entonces podemos decir que los dos triángulos son iguales.
La idea de triángulos iguales es diferente de la idea de triángulos semejantes: dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes tienen la misma amplitud.

I. ¿Cómo podemos comprobar que dos triángulos son iguales?
Dos triángulos son iguales si pueden ser superpuestos mediante traslación o rotación o mediante un giro (simetría axial o central).

Además, si los triángulos y son iguales es posible encontrar una de estas transformaciones —o una serie de ellas— tal que la imagen del triángulo , fuera el triángulo .
Para comprobar que dos triángulos son idénticos, usaremos uno de estos tres casos de igualdad que definimos a continuación.



Habiendo comprobado que dos triángulos son idénticos, podemos probar fácilmente que las longitudes de los lados y/o las amplitudes de los ángulos son iguales.

Ejemplo:
es un triángulo escaleno y ABDE y BCFG son cuadrados. Queremos demostrar que los segmentos CD y AG son de la misma longitud.


Sabemos que:
AB y BD son dos lados del cuadrado ABDE, entonces AB = BD;
BC y BG son dos lados del cuadrado BCFG, entonces BC = BG;
además, .
Los triángulos y tienen un ángulo del mismo tamaño entre dos lados respectivos de la misma longitud; por tanto, de acuerdo con el segundo caso de igualdad de triángulos, los dos triángulos son iguales.
Deducimos que los lados CD y AG son de la misma longitud.
Notaremos que la transformación que convierte el triángulo en el triángulo es un giro de 90º en sentido contrario a las agujas del reloj, en torno a un centro situado en B.
II. ¿Cómo podemos probar que dos triángulos son semejantes?
Definimos triángulos semejantes (o con la misma forma) si sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud.

Para demostrar que dos triángulos son semejantes, solo tenemos que comprobar que dos de sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud. Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, no necesitamos demostrar que el tercer ángulo es igual.

Ejemplo:
A, B, C y D son cuatro puntos de una circunferencia, y AC corta a BD en I. Queremos comprobar que los triángulos y son semejantes.

Los ángulos inscritos y comparten el mismo arco BC, por lo que ambos tienen la misma amplitud; y la misma igualdad es aplicable a los ángulos inscritos y .

Los dos triángulos y tienen dos ángulos respectivos iguales. Por lo tanto, son semejantes.
Nota: para demostrar que dos triángulos son semejantes, también podemos usar el inverso del teorema de los triángulos semejantes (ver más abajo): si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales en longitud, entonces son semejantes.

III. ¿Qué podemos probar usando triángulos semejantes?
Si dos triángulos son semejantes, las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales. Este teorema básico nos permite probar relaciones de equivalencia.
Ejemplo 1:

y son dos triángulos semejantes. Si llamamos k a la razón de las longitudes de los lados de estos triángulos, tendremos:

Si k > 1, k es un coeficiente de agrandamiento; si k < 1, k es un coeficiente de reducción. La razón o ratio de las áreas de los triángulos y es entonces k2.

Ejemplo 2:
A, B, C y D son cuatro puntos de una circunferencia, y AC corta a BD en I. Así mismo, ID = 12 e IB = 36. Queremos comparar las áreas de los triángulos y .

Ya hemos comprobado que estos dos triángulos son semejantes (ver el ejemplo del apartado II), por lo que sus lados son proporcionales, esto es:

La razón del área del triángulo respecto del área del triángulo es igual a 9.
Así: área = k2 × área , esto es: área  = 9 × área .
Resumen
—Si dos triángulos tienen un lado de la misma longitud, adyacente a dos ángulos respectivos iguales, entonces son iguales.
—Si dos triángulos tienen un ángulo igual, formado por dos lados respectivos de la misma longitud, los triángulos son iguales.
—Si los tres lados respectivos de dos triángulos son de la misma longitud, entonces los triángulos son iguales.
—Dos triángulos son semejantes si y solo si las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales.
—Si llamamos k a la razón —ratio— de las longitudes de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes, entonces la razón de sus áreas es k2.

Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita

Nosotros podemos trazar la mediatriz de cada uno de los lados de un triángulo.
¿Qué propiedad cumplen las tres mediatrices de un triángulo y qué es la circunferencia circunscrita a un triángulo?

I. Las mediatrices de un triángulo

Definición: la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a este segmento que pasa por su punto medio.
Propiedad: todos los puntos que forman parte de la mediatriz de un segmento AB cumplen la condición de que están a la misma distancia de A y B, es decir, de los extremos del segmento (decimos que son equidistantes aA y B).
Esta propiedad nos permite una construcción fácil, usando la regla y el compás, de la mediatriz del segmento AB que mostramos en la figura 1.

La expresión mediatrices de un triángulo se refiere a las mediatrices de los lados del triángulo. Por consiguiente, un triángulo tiene tres mediatrices.

II. La circunferencia circunscrita a un triángulo
1. Propiedad

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes. El punto de intersección se encuentra a la misma distancia de los tres vértices del triángulo, y es el único punto que cumple esta propiedad. Este punto se denominacircuncentro.
Por lo tanto, el circuncentro es el centro de una circunferencia cuyo trazado pasa por los tres vértices del triángulo.

Notas:
—Esta circunferencia se llama circunferencia circunscrita al triángulo. También podemos decir que el triángulo se encuentra inscrito en la circunferencia o que la circunferencia circunscribe al triángulo. La palabra circunscribe proviene del latín y significa “escribir alrededor”, y la palabra inscrito significa “escribir dentro”.
—En la práctica, solo es necesario trazar dos mediatrices para encontrar el circuncentro que nos permite trazar la circunferencia circunscrita.
2. Posición del circuncentro
En la figura 2, el circuncentro se encuentra dentro del triángulo. En cambio, si observamos la figura 3, vemos que se encuentra fuera del triángulo.

En la figura 4, el circuncentro se encuentra en el punto medio del lado BC. Esto nos confirma que este triángulo es rectángulo y que el ángulo recto se encuentra en A.

Resumiendo:
—Si todos los ángulos del triángulo son agudos, el circuncentro se encuentra dentro del triángulo.
—Si el triángulo es rectángulo, el circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.
—Si el triángulo tiene un ángulo obtuso, el circuncentro estará fuera del triángulo.

Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro

Sobre cualquier triángulo se pueden trazar tres medianas.
¿Cuáles son las propiedades de estas líneas y qué es el baricentro del triángulo?

I. Las medianas de un triángulo
Una mediana de un triángulo es un segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio de su lado opuesto.

Notas:
—En un triángulo hay tres medianas (tantas como número de ángulos).
—Una mediana divide al triángulo en dos triángulos más pequeños que tienen áreas iguales.
II. El baricentro de un triángulo
1. Propiedades
En un triángulo, las tres medianas son concurrentes. Su punto de intersección recibe el nombre de baricentro del triángulo.
En la figura 2, el punto señalado por la letra G es el baricentro del triángulo.

Nota: en la práctica, para localizar el baricentro, tan solo necesitamos trazar dos de las medianas del triángulo.
2. Posición del baricentro
El baricentro de un triángulo está situado a del vértice y a del punto medio del lado opuesto. En otras palabras, el baricentro divide a cada mediana en dos segmentos de forma que uno es doble del otro.
En la figura 2: , y .
Por lo tanto, el baricentro de un triángulo está siempre situado dentro del triángulo.
El baricentro es el centro geométrico del triángulo.

Usar una regla y un compás

Los compases son los instrumentos más conocidos que se usan para dibujar una circunferencia, pero no debemos olvidar que los compases son también muy utilizados para transferir y realizar mediciones.

Por lo tanto, ¿qué figuras pueden ser construidas usando un compás y una regla?

I. Construir un triángulo conocidas las longitudes de sus tres lados
Queremos construir un triángulo con estas dimensiones: AB = 8 cm, AC = 7 cm y BC = 5 cm. La serie de imágenes de abajo muestran su construcción usando una regla graduada y un compás.
Los pasos deben adaptarse de acuerdo con las longitudes que nos hayan dado.



Nota: si tomamos tres longitudes al azar, puede ocurrir que no obtengamos un triángulo. Por ejemplo, no existe un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 4 cm y 3 cm. El diagrama de abajo ilustra esta situación: los dos arcos no se cruzan.



II. Construir polígonos regulares
1. Construir un hexágono regular
Las series de imágenes de abajo muestran la construcción de un hexágono regular.



2. Construir un octógono regular
Un octógono regular es un polígono que tiene ocho lados iguales. Las series de imágenes de abajo muestran la construcción de un octógono regular.