Construir la imagen de una figura por un giro

Al comparar una figura con la imagen que se obtiene al hacerla girar en un plano, observamos que se mantienen su forma y su tamaño. Pero, ¿cómo construimos la imagen de una figura por un giro, y cuáles son las propiedades de esta transformación?

I. Definición
Sean O y M dos puntos diferentes del plano, y α un ángulo dado en grados .
Llamemos M' a un punto sobre la circunferencia con centro en O que pasa por M y tal que .
Si al recorrer el arco MM', nos movemos de M a M' en el sentido de las agujas del reloj, decimos que el punto M' es la imagen de M por el giro de centro O y ángulo α, en el sentido de las agujas del reloj.

Si al recorrer el arco MM', nos movemos de M a M' en el sentido contrario a las agujas del reloj, decimos que el punto M' es la imagen de M por el giro de centro O y ángulo α, en sentido contrario a las agujas del reloj.

Caso particular:
Si O es el punto medio de un segmento MM', entonces M' es la imagen de M por un giro de 180° con centro en O (en este caso, el sentido no importa); la imagen de un punto O por un giro de centro O es el mismo puntoO.

Ejemplos: sobre la figura 4, podemos decir que:
—el punto M' es la imagen del punto M por un giro de 120° de centro O en sentido contrario a las agujas del reloj;
—el punto B es la imagen del punto A por un giro de 45° de centro I en el sentido de las agujas del reloj.

Nota: si no se especifica el sentido en que se realiza el giro, se escoge el sentido antihorario, contrario a las agujas del reloj. Esto es lo que sucede en todos los ejemplos que vienen a continuación.
II. Figuras elementales
1. Imagen de una recta
En la figura 5 construimos la imagen de una recta d por un giro de 70° de centro O. Para ello, hemos situado los puntos A, B, C, E y F sobre la recta d y hemos construido sus respectivas imágenes por dicho giro. Comprobamos que los puntos A', B', C', E' y F' están alineados.

Así, admitiremos esta propiedad: un giro transforma puntos alineados en puntos alineados.
Si d' es la recta que pasa por los puntos A', B', C', E' y F', admitiremos que d' es la imagen de la recta d por un giro de 70° de centro O.
Propiedad: la imagen de una recta por un giro es una recta.
2. Imagen de un segmento
En la figura 6, construimos la imagen de un segmento AB por un giro de 90° de centro O. Para ello, hemos obtenido las imágenes A' y B' de A y B por este giro.

Admitimos que el segmento A'B' es la imagen del segmento AB por un giro de 90° de centro O. Observamos que los segmentos AB y A'B' tienen la misma longitud.
Admitiremos esta propiedad general de los giros: un giro conserva las longitudes, es decir, si A' y B' son las imágenes respectivas de A y B por un giro, entonces A'B'= AB.
3. Imagen de un triángulo
En la figura 7, construimos la imagen de un triángulo por un giro de 120° de centro O. Para ello, hemos obtenido las imágenes A', B' y C' de A, B y C por este giro.

Admitimos que el triángulo es la imagen del triángulo por un giro de 120° de centro O. Observamos que los ángulos y tienen la misma amplitud.
Admitiremos esta propiedad general de los giros: un giro conserva los ángulos, es decir, si A', B' y C' son las imágenes de tres puntos distintos por un giro, entonces .
4. Imagen de una figura cualquiera
Las propiedades generales de un giro que hemos visto anteriormente nos permiten afirmar que los giros mantienen la forma y el tamaño de las figuras.
Por ejemplo, la imagen de un círculo por un giro es otro círculo con el mismo radio, y la imagen de un cuadrado por un giro es otro cuadrado con el mismo lado.
III. Figuras que no varían al girar
La figura 8 representa un cuadrado ABCD de centro O.
Construimos la imagen de este cuadrado por un giro de 90° de centro O. Para ello, construimos las imágenes de los puntos A, B, C y D por este giro.
Comprobamos que: A tiene como imagen a D, B tiene como imagen a A, C tiene como imagen a B, y D tiene como imagen a C.
Por tanto, la imagen del cuadrado ABCD por un giro de 90° es el mismo cuadrado ABCD. Podemos decir que el cuadrado no varía por este giro.

Nota: todo polígono regular con n lados y de centro O no varía por un giro de con centro en O.

Reconocer y trazar una mediatriz

Cuando nos referimos a la mediatriz de un segmento, el nombre en sí no nos dice mucho. Todo lo más que podemos inferir es que se debe de tratar de una línea que corta al segmento por la mitad. Pero, ¿cuáles son realmente las características de esta línea, y cómo se construye?

I. Reconocer una mediatriz
1. Definición

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Dicho de otra forma: es una recta que corta perpendicularmente a un segmento en su punto medio.


La mediatriz de un segmento es un eje de simetría de ese segmento.
2. Propiedades

La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos en el plano que son equidistantes a los extremos del segmento. Si tomamos el segmento AB, todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de A que de B.
Por ejemplo, en la figura 2, el punto M, que pertenece a la mediatriz de AB, está situado a 4 cm de A y a 4 cm de B, y el punto N, también de la mediatriz, está a 2,5 cm de A y a 2,5 cm de B.


Así mismo, si un punto está a la misma distancia de A y de B, podemos decir que ese punto se encuentra formando parte de la mediatriz del segmento AB.
Por ejemplo, en la figura 3, el punto M está a la misma distancia de A y de B (3 cm), y por tanto, está en la mediatriz de AB.


II. Dibujar la mediatriz de un segmento
1. Con un compás
Las series de figuras que se muestran abajo describen las etapas de su construcción. Los pasos deben adaptarse de acuerdo a las medidas que nos den.
Los dos puntos utilizados para dibujar la mediatriz son equidistantes a los extremos del segmento; usaremos la misma abertura de compás para dibujar los dos arcos.

2. Con una regla graduada y un cartabón
Las series de figuras de abajo muestran los pasos a seguir. Debemos adaptarlos de acuerdo a las medidas que nos den.

Ver artículo Usar una regla y un cartabón.

Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales

René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático, desarrolló el método para resolver un problema de geometría sustituyéndolo por un problema de cálculo numérico, utilizando las llamadas ecuaciones cartesianas.
¿Cómo determinar la ecuación de una recta? ¿De qué manera nos ayuda la ecuación de una recta a resolver problemas de paralelismo o de ortogonalidad? En este tutorial desarrollaremos estas dos cuestiones.
También veremos que un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se puede interpretar mediante las ecuaciones de dos rectas. Las coordenadas del punto de corte de estas dos rectas son la solución de este sistema.

I. Determinar la ecuación de una recta
Sean A(xA, yA) y B(xB, yB) dos puntos dados en un sistema de coordenadas cartesianas xy. Para determinar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos (la recta AB) hemos de hallar la condición necesaria y suficiente para que un punto cualquiera M(x, y) esté alineado con A y B: esta condición supone que los vectores y deben tener la misma dirección, es decir, deben ser colineales.

Las coordenadas del vector son (xB - xA, yB - yA), y las coordenadas del vector son (x - xA, y - yA). Para que dichos vectores sean colineales, se debe cumplir que: (x - xA)(yB - yA) = (y - yA)(xB - xA).
Se dan los dos casos siguientes:

—si los puntos A y B tienen el mismo valor de la abscisa, k, entonces xB - xA = 0, y la ecuación de la recta AB es x = k, que es una recta paralela al eje de ordenadas (eje y);
—si xB - xA ≠ 0, podemos calcular la pendiente de la recta AB: y la ordenada en el origen: n = yA - mxA. La ecuación explícita de la recta AB es: y = mx + n.

Recíprocamente, en un sistema de coordenadas cartesianas xy, el conjunto de puntos M de coordenadas (x, y) tales que y = mx + n es una recta que no es paralela al eje y.
Ejemplo:

Sean los dos puntos A(4, 2) y B(-1, 3), y un punto M cualquiera de coordenadas (x, y).

Si calculamos las coordenadas de los vectores y , obtenemos (x – 4, y – 2) y (–5, 1).
Decimos que M está alineado con A y B si los “productos cruzados” son iguales, lo que se traduce en la siguiente ecuación: (x – 4) · 1 = (y – 2) · (–5), que es la ecuación de la recta AB.

Transformando esa igualdad, llegamos a la ecuación:


II. Utilizar la ecuación de una recta

Para averiguar si un punto pertenece a una recta: sustituimos en la ecuación de dicha recta el valor de la x por el valor de la primera coordenada del punto, y verificamos si el valor de y que se obtiene coincide o no con la segunda coordenada del punto. Por ejemplo, ¿pertenece el punto E de coordenadas (2, -1) a la recta de ecuación y = –2x + 3?
Para resolver este problema, sustituimos x por 2 en la fórmula –2x + 3; si obtenemos –1, el punto está sobre la recta, de lo contrario no lo está.
Por tanto, si sustituimos x por 2, obtenemos: –2 · 2+ 3 = –1; por tanto, el punto E sí pertenece a la recta dada.
Para dibujar una recta de la que conocemos su ecuación, distinguimos dos casos:

—si la ecuación es de la forma x = k, la recta es paralela al eje y; situamos el punto de coordenadas (k, 0) y dibujamos la recta;
—si la ecuación es de la forma y = mx + n, le damos a x dos valores diferentes x1 y x2, y dibujamos la recta que pasa por los puntos de coordenadas (x1, mx1 + n) y (x2, mx2 + n). Si le damos a x los valores x = 0 y , la recta pasará por los puntos (0, n) y .

Ejemplo: queremos dibujar la recta de ecuación .

Le damos a x el valor x = 6, que es divisible entre 3, y calculamos y: . Obtenemos el punto A de coordenadas (6, 2).
Le damos de nuevo a x otro valor, por ejemplo -3; calculamos y para este valor, y obtenemos el punto B de coordenadas (-3, 5).
Situamos estos dos puntos en el plano cartesiano y dibujamos la recta.


III. Resolución de problemas de geometría con ecuaciones de rectas
Comprobar si dos rectas son paralelas.

Dos rectas de ecuaciones y = mx + n e y = m’x + n’ son paralelas si y solamente si tienen la misma pendiente, es decir, si m = m’.
Por ejemplo, la recta de ecuación y la recta de ecuación y = 0,4x - 1 son paralelas porque podemos escribir y , que es la pendiente de ambas rectas.

Se puede hallar la ecuación de la paralela a una recta dada, que pase por un punto dado.
Por ejemplo, la paralela a la recta de ecuación y = 2x + 3 que pase por el punto A(1, 4) también tendrá de pendiente 2. Su ordenada en el origen, n, valdrá: n = 4 - 2 · 1 = 2. Así, hemos obtenido la ecuación: y = 2x + 2.

IV. Determinar el punto de intersección de dos rectas
La ecuación de una recta D se puede escribir de la forma ax + by = c donde a y b no pueden ser ambos nulos a la vez. Este tipo de ecuación se llama ecuación lineal con dos incógnitas. Las soluciones a esta ecuación son las coordenadas de los puntos pertenecientes a la recta D.
Hallar las coordenadas del punto donde se cortan dos rectas es lo mismo que resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, formado por las ecuaciones de las dos rectas. Es un sistema de la forma:


Resolver este sistema es hallar todos los pares (x, y) que son solución de las dos ecuaciones a la vez. Si tales pares existen, los puntos que vienen dados por estos pares pertenecen a las dos rectas de ecuaciones ax + by =c y a’x + b’y = c’.
Distinguimos tres casos, presentados en la tabla siguiente.



Existen tres métodos de resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
—el método de sustitución, que consiste en despejar de una de las dos ecuaciones una de las incógnitas, expresándola en función de la otra, y sustituirla en la otra ecuación;

—el método de igualación, que consiste en despejar una de las dos incógnitas, la misma, en cada una de las dos ecuaciones, expresándola en función de la otra incógnita, e igualar las expresiones obtenidas;

—el método de reducción, que consiste en combinar las dos ecuaciones en una sola ecuación con una única incógnita. Resolviendo esta ecuación obtendremos el valor de dicha incógnita, y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales, obtendremos el valor de la otra incógnita.

Recuerda
—Si una recta es paralela al eje vertical, su ecuación es de la forma x = k; de no ser así, su ecuación es de la forma y = mx + n, donde m es la pendiente de la recta y n es su ordenada en el origen.
—Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
—Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.
—Para hallar las coordenadas del punto en donde se cortan dos rectas, hemos de resolver el sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones de las dos rectas.

Dibujar la sección de una esfera

Cuando cortamos una naranja por la mitad obtenemos dos secciones iguales. Si en lugar de realizar el corte por la mitad lo hacemos un poco más arriba, lo que obtenemos es un casquete esférico. El objetivo que buscamos es representar la sección de una esfera (la naranja) formada por un plano (creado por el trazo del cuchillo al cortar), esto es, la intersección de una esfera con un plano.

I. Los casos posibles

Parece obvio que si el plano está muy distante de la esfera, ambos no se cortarán. El tamaño del círculo que se obtiene al cortar la esfera con un plano depende de la distancia del plano al centro de la esfera. En consecuencia, primero es necesario definir a qué vamos a llamar distancia de un plano a un punto.
Definición: P es un plano y O un punto del espacio que no pertenece a P. H es el punto de intersección de la recta L, perpendicular a P que pasa por el punto O, con el plano. La distancia OH se denomina distancia del punto O al plano P.

Nota: H es el punto de P más cercano a O.

Consideremos ahora una esfera con centro en O y radio r, y un plano P. El punto H queda definido como hemos hecho más arriba. Podemos decir que OH es la distancia que hay desde el plano P hasta el centro O de la esfera.

Para el estudio de la sección de la esfera por el plano P, podemos distinguir tres casos.
1. Cuando OH > r

La distancia que hay desde el plano P hasta la esfera es lo bastante grande como para que ambos no se corten, como podemos comprobar en la figura 2. En este caso, el plano y la esfera no tienen puntos en común. Se dice que el plano y la esfera son exteriores (sin puntos comunes).

2. Cuando OH = r
En este caso, el punto H forma parte de la esfera, y es el único punto común entre la esfera y el plano (ver figura 3). Decimos que la esfera y el plano son tangentes (con un solo punto en común), de manera similar a lo que ocurre con una recta y una circunferencia que solo tienen un punto en común.

3. Cuando OH < r
En este caso, el plano corta a la esfera. La intersección del plano y la esfera es un círculo con centro en H.
Si el plano corta a la esfera pasando por su centro, entonces la divide en dos mitades iguales llamadas

semiesferas.
En cambio, si el plano corta a la esfera por otro lugar distinto del centro, entonces la superficie de la esfera queda dividida en dos partes desiguales denominadas casquetes esféricos.



Nota: cuanto mayor sea la cercanía del plano P al centro O, mayor será el radio de la sección. En efecto, es posible calcular el radio de la sección si conocemos la distancia OH y el radio de la esfera.
II. Secciones importantes de la esfera terrestre

En la figura 5, la Tierra aparece representada en forma de una esfera, donde los puntos N y S (los cuales son diametralmente opuestos) representan los polos norte y sur. La recta NS se denomina eje polar. Lo aprendido hasta ahora, nos permitirá apreciar que si cortamos la Tierra con unos planos específicos, nos encontraremos una serie de secciones muy usadas por los geógrafos.

—Si cortamos la Tierra con un plano perpendicular al eje polar, pasando por el centro de la esfera, la sección obtenida es un círculo máximo muy significativo de la Tierra: el ecuador. 

—Si cortamos la Tierra con un plano perpendicular al eje polar, sin pasar por el centro de la esfera, la sección obtenida es un paralelo. El trozo de superficie esférica que se encuentra comprendida entre dos paralelos se denomina zona esférica.

—Si cortamos la Tierra con un plano que contenga al eje polar, la sección obtenida es un círculo máximo, de diámetro NS, formado por dos semicírculos que reciben el nombre de meridianos. El trozo de superficie esférica que se encuentra limitado entre dos meridianos recibe el nombre de huso esférico.