Vertiente





Vertiente
Vertiente, término de geografía física referido bien al ángulo de inclinación de cualquier parte de la superficie de la Tierra o bien a la superficie inclinada, propiamente dicha. El vocablo ‘gradiente’ es un sinónimo para la primera de las acepciones. El segundo significado incluye a todos los elementos de la superficie, desde los casi horizontales hasta los verticales, lo que significa que todas las formas de relieve pueden ser clasificadas según sus diferentes gradientes, formas y dimensiones. El hecho de que las vertientes imponen limitaciones a la actividad humana, a la vez que se ven afectadas por ésta, hace que el estudio de las vertientes sea una importante parte de la geografía física general, y de la geomorfología en particular.
A la hora de estudiar las vertientes, los geomorfólogos usan, con frecuencia, el término más específico y, probablemente, menos confuso de laderas para indicar la superficie con algún tipo de gradiente (esto es, excluye los relieves planos, como las llanuras y terrazas). El estudio de las laderas suele concentrarse en dos aspectos principales —la morfología y su acción—, aunque algunos geógrafos físicos también han intentado desarrollar teorías generales para explicar su evolución. Las laderas presentan multitud de formas que reflejan variaciones en el clima, en la vegetación, en el tipo de roca y en la estructura de ésta. Su evolución es el resultado de la interacción de la meteorización, erosión y deposición.
2
MORFOLOGÍA DE LAS VERTIENTES
El estudio de la morfología de las vertientes empieza, normalmente, con el análisis del perfil. Éste es un corte transversal bidimensional de la ladera, que muestra la línea de mayor pendiente (gradiente).
2.1
Perfiles de las vertientes
El perfil está dividido, tradicionalmente, en secciones más pequeñas, denominadas de diversas formas (componentes, segmentos o elementos), que pueden ser rectas o curvas. Los segmentos rectilíneos se caracterizan por un gradiente, o ángulo de inclinación constante. Pueden ser prácticamente horizontales, como en una llanura, o casi verticales, como en un free face. Se denominan así (free face o cara despejada) porque son demasiado escarpados para retener materiales sometidos a la meteorización o cualquier otro tipo de derrubios. Los acantilados y escarpes son, con frecuencia, free faces. Allí donde aparecen, éstos son el equivalente del segmento máximo, es decir, la parte del perfil más escarpada que cualquier otra, por encima o por debajo de él. Los segmentos curvos son cóncavos o convexos y se definen por el grado de variación de su ángulo, o curvatura. La mayoría de los perfiles de las vertientes están formados por más de uno de estos componentes, aunque algunas secuencias o combinaciones son más frecuentes que otras. Un perfil de ladera típico posee cuatro componentes: un segmento convexo en la parte superior de la vertiente; una free face; un segmento rectilíneo y, en la parte inferior, un elemento cóncavo. La convexidad superior y la concavidad inferior reciben el nombre de pendiente creciente (waxing slope) y pendiente decreciente (waning slope), respectivamente. No obstante, en climas semihúmedos, la pendiente tipo tiene un perfil de tres elementos: un segmento convexo; otro lineal en el medio y una concavidad inferior. Tales vertientes se desarrollan particularmente bien en lechos rocosos de creta, como los South Downs, en el sur de Inglaterra. Las secciones verticales (acantilados, free faces) en pendientes de zonas de clima semihúmedo reflejan el afloramiento de rocas resistentes o la acción de tallado de corrientes fluviales. En zonas menos templadas, como desiertos, regiones semiáridas o montañosas, son más comunes las secciones verticales. En zonas de montaña, los precipicios son, por lo general, resultado de la glaciación.
2.2
Ángulo y formas características
Muchas zonas poseen perfiles de vertientes tan característicos que dan lugar a un paisaje peculiar. Una vertiente tipo es la que más se identifica bajo unas condiciones específicas de tipo de roca y clima. En una zona de un tipo uniforme de roca, de suelos, de vegetación y de fase de desarrollo, los máximos ángulos de pendiente tienden a aproximarse al ángulo de la vertiente tipo. La clase de roca es un importante factor y explica, parcialmente, el hecho de que las vertientes sobre rocas como el granito, las calizas, las areniscas y el esquisto sean tan características. Las investigaciones han demostrado, por ejemplo, que las areniscas y las calizas tienen un ángulo máximo de 21º y los esquistos otro de 9º. También se ha demostrado que las convexidades predominan en perfiles de areniscas, mientras que sobre superficies de esquisto suponen menos de la mitad de unidades del perfil. Los ángulos característicos y la forma de las laderas también son resultado de procesos específicos. Por ejemplo, los ángulos serán más cerrados si la ladera es socavada por un río o por la acción del mar.
2.3
Plantas tridimensionales
El mapa topográfico

Un perfil es una representación bidimensional y, sin embargo, las vertientes son tridimensionales. A fin de poder crear una vista planimétrica tridimensional de la forma de la vertiente, en ocasiones se combinan el perfil transversal con el perfil de ladera típica. Cuando la forma de la vertiente se estudia de esta manera, son posibles nueve combinaciones de los tres componentes básicos (las concavidades, las convexidades y los tramos rectos), aunque algunas de ellas son relativamente poco frecuentes. A menudo, estos planos muestran la situación de la ladera en relación con una cuenca de drenaje. Las laderas de los valles tienden a ser rectas (lineales) tanto en el perfil como en la planimetría, como se puede ver también en las curvas de nivel paralelas de los mapas topográficos. Las pendientes de los espolones que se incrustan en los valles son convexas-convexas, según indican las líneas de contorno divergentes, mientras que las rinconadas son cóncavas-cóncavas, como señalan los contornos convergentes. El movimiento de las aguas y del suelo por las laderas se ve afectado por estos patrones.
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PROCESOS GEOLÓGICOS DE LAS VERTIENTES
Todas las vertientes se ven afectadas por procesos geológicos, aunque la velocidad a la que son alteradas es, por lo general, extremadamente lenta; muchas vertientes conservan aspectos de su forma, originada por procesos que han dejado de actuar. Muchas zonas de las islas Británicas y del norte de Europa, por ejemplo, conservan vertientes que reflejan una actividad glaciar y periglaciar desaparecida. Las vertientes que más rápidamente cambian son los acantilados costeros —formados a partir de materiales no consolidados—, en los que es frecuente un retroceso de más de un metro por año. Entre los principales factores que afectan a la forma y evolución de la vertiente se hallan la meteorización y la formación de suelos, así como la erosión fluvial y el desplazamiento de la regolita (o manto detrítico). Las características de este material pueden afectar de modo significativo a estos procesos. Por ejemplo, estos procesos tienden a ser diferentes si actúan sobre material suelto, como arena o grava, que si lo fueran sobre rocas duras. Del mismo modo, la existencia o no de un suelo que actúe de cubierta, afecta al modo en que estos fenómenos geológicos operan. En vertientes cubiertas con suelos, la meteorización y erosión tiene lugar sobre éstos, por lo que es necesario conocerlos a fin de entender los procesos que actúan sobre esas vertientes. Éstas se comportan como sistemas y la interacción de los procesos geológicos y la forma dan origen a unas relaciones en un medio ambiente determinado, representado por un suelo o por una cadena de vertientes.
3.1
El papel del agua
El agua desempeña un significativo papel en el desarrollo de las vertientes de la mayor parte de las regiones climáticas, incluidas las áridas. Éstas surcan la superficie de las laderas en la forma de arroyadas en manto y de escorrentías, o por debajo de la superficie como aguas subterráneas. Las precipitaciones (lluvia, nieve, rocío) que reciben las laderas quedan retenidas en la superficie hasta que se evaporan, se filtran al suelo o empiezan a fluir. La tasa a la cual el agua puede filtrarse se denomina capacidad de filtración. Ésta ejerce un importante control sobre el movimiento del agua y, de forma indirecta, sobre otros procesos que determinan el desarrollo de las vertientes. Las arroyadas superficiales se producen cuando la precipitación supera tanto a la capacidad de filtración como de retención de la superficie. Están regidas, parcialmente, por factores como la intensidad y duración de las precipitaciones, que son externos al sistema de vertientes.
No obstante, los factores más determinantes son los que pertenecen al propio sistema, como el tipo de suelo, la cantidad y tipo de vegetación, la forma y ángulo de la pendiente y la posición relativa de las vertientes. En la década de 1930, el hidrólogo estadounidense Robert Horton desarrolló un modelo de arroyadas superficiales, que todavía se emplea en la actualidad con amplitud. Según éste, la arroyada se produce si la intensidad de la precipitación es mayor que la capacidad de filtración y discurre ladera abajo, incrementando su volumen a medida que desciende. A una distancia crítica de la cima de la vertiente, la profundidad de la arroyada es lo suficientemente importante como para iniciar un proceso erosivo sobre el suelo, o para arrastrarlo. En la zona inferior de la cuenca, y de forma especial si existe una concavidad, puede producirse la deposición de material. Horton, así pues, estableció en el seno de una vertiente una zona de no erosión, situada en la parte superior, una zona de erosión en el centro y una zona inferior de deposición.
Los arroyos hortonianos aparecen en áreas de intensas lluvias, con una escasa cobertura y de suelos poco profundos, como las regiones semiáridas. En zonas de mayor humedad, la vegetación y la relativa porosidad de los suelos poco compactos propician la filtración. Como resultado, las aguas subterráneas, en curso descendente, son más importantes que las arroyadas superficiales. La existencia de corrientes subterráneas se ve favorecida por los diferentes grados de permeabilidad del perfil del suelo, es decir, de las variaciones existentes en la capacidad del agua para filtrarse. Estos diferentes niveles de permeabilidad ocurren porque el suelo está formado por diferentes horizontes o capas que, en algunos casos, pueden ser estratos compactados o cementados denominados capas duras, que son relativamente impermeables. Las vertientes graníticas de Dartmoor (suroeste de Inglaterra), cuyas capas ferruginosas del suelo son importantes iniciadoras de las corrientes subterráneas, son un buen ejemplo de esta situación. Las aguas subterráneas alcanzan, finalmente, la base de las vertientes en donde se puede producir una saturación que a su vez origina una arroyada en la superficie. El agua continuará su desplazamiento por la vertiente a medida que continúan las precipitaciones, ampliando la zona saturada, lo que permite que la arroyada superficial saturada se desplace vertiente abajo. Las variaciones en la permeabilidad también pueden provocar que las corrientes subterráneas se concentren en estrechos canales, a modo de caños.
Las escorrentías superficiales pueden adoptar la forma de arroyadas difusas o mantos de agua que se desplazan vertiente abajo o de arroyadas concentradas o pequeños cañales. Las arroyadas en manto son extremadamente raras, excepto en escasas y especiales situaciones, como en los pedimentos, laderas cóncavas en la base de escarpes, de las zonas áridas. En zonas más húmedas, la rugosidad de la superficie y la cobertura vegetal dan como resultado que la mayoría de las arroyadas adopten la forma de múltiples arroyuelos, pequeños cauces de reducida anchura y profundidad, que erosionan la capa exterior del suelo. Éstos son uno de los principales agentes de erosión y arrastre del suelo. En las vertientes que apenas estén recubiertas por vegetación, el agua de lluvia puede arrastrar los materiales. El impacto de las gotas arranca partículas del suelo, que van al aire. Estas partículas tienden a asentarse en las zonas inferiores de la vertiente; cuando ésta tiene un ángulo de 25º o más, este rociado de partículas se produce, casi en su totalidad, vertiente abajo. En zonas húmedas o de abundante vegetación, el grado de lavado de la superficie es extremadamente bajo, incluso mínimo. No obstante, si la cubierta vegetal es pequeña, la tasa aumenta de forma espectacular, a veces entre 500 y 600 cm3 anuales por centímetro.
3.2
Movimientos en masa
La expresión ‘movimiento en masa’ describe el movimiento de los materiales que se deslizan por la vertiente, consecuencia de la gravedad. No interviene ningún agente externo como el agua, el viento o el hielo. Los movimientos en masa constituyen una progresión continua desde la caída de las rocas, mediante deslizamiento o coladas de barro, hasta la reptación del suelo. Según los diferentes tipos de transporte, los movimientos en masa pueden clasificarse en: desprendimientos, flujos, deslizamientos y reptación. Los flujos suelen producirse en ambientes húmedos, mientras que los otros tipos tienen lugar cuando la humedad es moderada o baja.
El desprendimiento se caracteriza por un descenso a gran velocidad de las rocas o del suelo. La caída de rocas se produce como consecuencia de la rotura, por lo general, en pequeños bloques de vertientes abruptas o de free faces. Esta ruptura está propiciada por grietas y otras debilidades de la roca, que reducen la resistencia de la vertiente, y tiene, normalmente, su origen en un incremento de la presión del agua que se introduce en la roca después de llover o por el proceso de helada-deshielo. Si los derrubios presentes en la parte baja de las vertientes no se desplazan en mucho tiempo, éstos forman los canchales. Los desprendimientos de tierras tienen lugar en vertientes verticales, como los barrancos ribereños.
El deslizamiento es un movimiento lento en su inicio, aunque adquiere, más tarde, gran velocidad por el aporte de rocas, lodo o suelo a lo largo de una superficie de deslizamiento, como una línea de falla o fractura, o el punto de unión entre dos estratos rocosos diferentes. El deslizamiento consiste en un resbalón hacia superficies planas (esto es, paralelas al suelo), o puede ser generado por un movimiento rotatorio constante a lo largo de un plano de deslizamiento cóncavo. Los deslizamientos de rocas, que pueden ser considerados como una enorme caída de roca, son, a menudo, los más espectaculares y catastróficos movimientos en masa en vertientes y pueden tener su causa en terremotos. Muchas de estas caídas se inician, de forma especial, en materiales poco consolidados, por la acción de los ríos y la inundación de los materiales de las vertientes. Por ejemplo, las coladas de barro son masas de derrubios arcillosos en lento movimiento que, por lo general, muestran ciclos de movimiento, relacionados con patrones estacionales de precipitaciones. Los deslizamientos de materiales blandos no conservan siempre la forma inicial de la masa. En estos casos, suelen denominarse hundimientos, más que deslizamientos.
Los flujos son, por lo general, tipos de movimientos en masa más continuos que las caídas o deslizamientos y pueden llegar a deformar la masa hasta adquirir nueva forma. El material es, con frecuencia, pero no siempre, de tamaño más pequeño: partículas de suelo, material meteorizado (regolita) o rocas pulverizadas. Se puede distinguir, atendiendo a su tamaño, entre flujos locales, confinados a laderas de colinas, flujos de valle y flujos catastróficos, que superan cualquier barrera topográfica y destrozan todo lo que encuentran a su paso. También pueden clasificarse según su velocidad. Los más rápidos, y frecuentemente los más devastadores, son las avalanchas, que pueden alcanzar hasta los 400 km por hora y se desplazan decenas de kilómetros. A su vez se subdividen en avalanchas de nieve, de derrubios y de rocas. Las de nieve, que pueden incluir rocas, tienen lugar en zonas de montaña. Las avalanchas de derrubios transportan materiales de escaso tamaño, como sedimentos, y están asociadas, por lo general, a suelos saturados. Se relacionan con la génesis de los conos de deyección, en aquellos lugares donde se produce la transición entre una zona montañosa y una llanura. Las avalanchas de roca, que suelen darse en condiciones de sequedad, se generan por la ruptura de un enorme lecho rocoso, que es destrozado durante el movimiento de descenso. Entre sus causas están la quiebra de líneas de falla o una repentina inundación de la vertiente; los terremotos u otras actividades tectónicas violentas también pueden dar lugar a estas avalanchas. Los ríos de fango y las coladas de barro, originadas en condiciones de saturación, son otra modalidad, más lenta, de flujo. Los ríos de fango suponen el desplazamiento de partículas arcillosas, y son, generalmente, más rápidos y fluidos que las coladas, constituidas por materiales arenosos. Las formas más lentas de flujo son la solifluxión y gelifluxión. La solifluxión se produce bajo condiciones climáticas frías y consiste en el deslizamiento de una masa viscosa de material del suelo saturado sobre una superficie impermeable. Tiene lugar generalmente en vertientes de escasa pendiente. La gelifluxión es similar, pero tiene lugar en ambientes periglaciares o de tundra durante el verano, cuando el material de la capa superficial del suelo, saturada por el deshielo, se desplaza sobre el subsuelo permanentemente helado (permafrost). Esta capa se desplaza entre 10 m y 20 m por año. Cuando la solifluxión cesa, se crean terrazas en forma de lóbulos. Otros modelados producidos por la solifluxión son placas uniformes de material arrancado y franjas alternativas de sedimentos toscos y finos.
El movimiento en masa más lento es la denominada reptación del suelo. Con este término se define el movimiento lento y casi continuo del suelo y regolita, vertiente abajo. Puesto que puede producirse en vertientes de muy escaso desnivel (se considera que el ángulo mínimo es de 5º), la reptación del suelo es la forma más común de movimiento de masas. Al mismo tiempo, sin embargo, es el proceso más inadvertido, aunque el ladeo, cuesta abajo, de los árboles y la acumulación de materiales en torno a cercas de piedra son testimonio de su existencia. Este movimiento tiene su origen en una serie de procesos que inician la expansión y contracción de partículas del suelo. Con la expansión, éstas ascienden la vertiente en sentido perpendicular; cuando se contraen, las partículas descienden verticalmente, bajo la influencia de la gravedad, a una zona inferior. La contracción y expansión son consecuencia de un proceso alternativo de humectación y deshumectación del suelo; de cambios térmicos; de alteraciones químicas asociadas a la meteorización y formación de suelos; y de la acción de raíces, elementos del suelo y animales.
El agua al helarse y expandirse provoca que las partículas del suelo se desplacen hacia adelante. Por lo general, el agua helada adopta un aspecto lenticular, pero en ocasiones forma agujas de hielo, que elevan las piedras de la superficie. El empuje por helada es mayor en suelos muy porosos, como los limos. La velocidad del proceso de reptación es, normalmente, de 1 mm a 5 mm por año en ambientes de clima húmedo, pero en condiciones extremas, como la tundra, se han llegado a registrar velocidades de cientos de milímetros anuales.
La intervención de los diversos procesos geológicos puede relacionarse con la morfología de las vertientes. Los segmentos convexos son, por lo general, zonas de erosión o de acarreo por efecto de la reptación, del choque de gotas de lluvia, lavado de la vertiente, de la solifluxión o de la gelifluxión y en ocasiones por deslizamientos. Las cimas convexas también se pueden formar en zonas donde las rocas más duras desplazan lentamente a rocas más débiles y deformables, en un proceso denominado combamiento. El choque de gotas de lluvia sólo es efectivo en zonas de escasa vegetación, mientras que la reptación predomina allí donde hay suelos bien desarrollados. La erosión hidráulica y los movimientos en masa predominan en las secciones rectilíneas. El ángulo de la superficie de deslizamiento depende, por ejemplo, de la fortaleza del material de la vertiente y de las condiciones de humedad. Los principales movimientos rápidos en masa originan vertientes rectilíneas. Las secciones cóncavas se caracterizan por la reptación y la erosión edafológica y por la acumulación de canchales y coluviones (depósito de material de derrubio) en la base de la vertiente. Las vertientes cóncavas pueden ser relieves modelados por el transporte y erosión de derrubios. Las concavidades más abruptas tienen lugar sobre materiales más bastos. Las zonas de amplia cobertura vegetal dificultan la existencia de las concavidades.
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EVOLUCIÓN DE LAS VERTIENTES
Inselberg en Madagascar
El inselberg granítico está situado al sur de Ambalavao, ciudad tropical localizada en la parte meridional de Madagascar. Los inselbergs o montes isla son destacadas colinas rocosas de empinadas vertientes que se elevan abruptamente sobre una llanura. Tienen mucho interés botánico porque suelen contener especies vegetales que difieren de los ecosistemas que les rodean.

La evolución de las vertientes ha sido objeto de discusión durante más de cien años. William Morris Davis, el geógrafo estadounidense que desarrolló por vez primera la geomorfología como disciplina independiente, propuso en 1889 el primer modelo de evolución de las vertientes, como parte de su ‘ciclo geográfico’ o ‘ciclo erosivo’. Las vertientes se generan por el inicial encajonamiento fluvial, tras bruscos levantamientos tectónicos, y su morfología refleja la naturaleza del afloramiento rocoso. Con el paso del tiempo las vertientes se recubren, desde su cima hasta la base, con una capa de material producto de la meteorización que suaviza el inicial aspecto áspero. Davis la denominó “manto gradual de residuos”. Al principio, este material es basto, pero con el tiempo se hace más fino a medida que el gradiente de la vertiente disminuye. La vertiente final es una llanura extremadamente llana, conocida como penillanura. La teoría de Davis sobre la evolución de las vertientes, denominada, por lo general, como declinación de las vertientes, es difícil de demostrar o rebatirla, puesto que implica una escala temporal de millones de años. No obstante, se considera que es aplicable a los paisajes húmedos con cubierta edafológica, pero no así en las zonas dominadas por los afloramientos rocosos, con escaso suelo y cubierta vegetal, como son las zonas semiáridas de Australia, del sur de África y del suroeste de los Estados Unidos.
Se han sugerido dos teorías para remediar este problema. Son conocidas como ‘sustitución de vertientes’ y ‘retirada de vertientes paralelas’. La primera, formulada por el geólogo alemán Walther Penck en la década de 1920, parte de una vertiente inicial, que retrocede como resultado de una meteorización uniforme, tras lo cual es sustituida desde abajo por otra vertiente más suave. La razón de esto se debe a que el material meteorizado se deposita en la base de la vertiente en retroceso, protegiendo a ésta de futuros procesos de meteorización. La vertiente superior, expuesta a los meteoros, continúa desgastándose, en paralelo a la vertiente inicial, con lo que produce nuevos materiales meteorizados, que a su vez ocultan, cada vez más, a la vertiente inferior. Esta vertiente más suave será, de nuevo, reemplazada por otra aún más suave y, de este modo, la primera vertiente escarpada es sustituida por otra de perfil cóncavo.
La teoría del retroceso de vertientes paralelas fue desarrollada por el geomorfólogo sudafricano L. C. King, quien se basó en investigaciones previas. Ésta supone la erosión lateral y posterior remoción de colinas de vertientes escarpadas o free faces. Aunque estas laderas retroceden, mantienen su ángulo de inclinación original, ya que los derrubios no se acumulan en su base, sino que son desplazados durante intensas precipitaciones. La colina, al ser erosionada por todos sus lados, queda, eventualmente, reducida a un elemento aislado denominado monte isla (inselberg), con pendientes suaves en su base, denominadas pedimentos. Éstos son zonas de acumulación y no de erosión características de regiones semiáridas. Cuando todos los inselberg han retrocedido, la fusión de sus pedimentos forma una llanura plana denominada pedillanura.
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VERTIENTES Y CLIMA
El efecto orográfico sobre las masas de aire

La forma y evolución de las vertientes están en relación con el equilibrio entre la meteorización y la erosión (o transporte de material). Este equilibrio refleja las características generales del clima de la región en donde se encuentran las vertientes. Las laderas situadas en zonas húmedas tienen suelos relativamente profundos y tienen, por lo general, un perfil convexo-cóncavo o convexo-recto-cóncavo. Los fenómenos predominantes que se producen son las corrientes subterráneas de agua, la reptación del suelo y el deslizamiento. La solución (acción química del agua sobre ciertas rocas, especialmente sobre calizas) es un importante proceso, pero tiene escaso efecto sobre la morfología de las vertientes. Las vertientes de zonas semiáridas, con escaso o nulo suelo, tienen una pequeña convexidad superior, una prominente cara abarrancada y una ladera recta de derrubios (constantes) y una larga base cóncava (pedimento). El impacto de la lluvia determina la convexidad superior. La zona abarrancada tiene su génesis en la meteorización física y en la caída de rocas, mientras que la vertiente de derrubios contiene materiales más finos, lavados fácilmente por corrientes de agua. La base cóncava, como ya se señaló anteriormente, es la zona de acumulación de sedimentos. Las vertientes de zonas montañosas suelen poseer un perfil similar, pero la ladera de derrubios se caracteriza por los canchales.
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LAS VERTIENTES Y LA ACTIVIDAD HUMANA
Las vertientes afectan a la actividad humana y a la inversa. Los desmontes y las terrazas son las modificaciones más usuales, y si no están cuidadosamente realizadas, se pueden derrumbar. Otras vertientes artificiales, como las escombreras carboníferas, pueden provocar serios problemas si no están bien ubicadas y controladas. Uno de los sucesos más trágicos tuvo lugar en 1966 en Aberfan (sur de Gales), donde una escombrera de carbón, levantada sobre un arroyo, se vino abajo y enterró la escuela local, matando a 144 personas, de las cuales 141 eran niños.
Las vertientes costeras necesitan a menudo protección contra la acción del mar y el deslizamiento, en particular aquellas constituidas por materiales relativamente débiles, como arcillas y esquistos. La actividad agrícola en las laderas, por su parte, provoca a menudo la degradación del suelo y la aceleración de la acción erosiva. La erosión originada por senderos constituye, en la actualidad, un serio problema en ciertas zonas de gran belleza paisajística que atraen a miles de visitantes. En Gran Bretaña esto ocurre en el monte Snowdon (Gales) o en el Distrito de los Lagos (norte de Inglaterra).
El cultivo en vertientes escarpadas es difícil y peligroso. En aquellas zonas donde existe una agricultura intensiva y una elevada presión demográfica, como ocurre en muchas partes del Sureste asiático o en Burundi (África), se construyen una serie compleja de terrazas que permiten su cultivo y la protegen de los problemas de la erosión, generados por lo abrupto de la pendiente, al controlar los movimientos del suelo y de las aguas. En otras partes del mundo, especialmente en el sur de África, donde las tierras cultivables tienen un gran valor debido a la escasez de precipitaciones, irregularmente distribuidas con periodos de sequía, se emplea la técnica de arado a nivel para retener la humedad y reducir la erosión del suelo. No obstante, los países en los que la agricultura intensiva es fundamental (particularmente en regiones de clima húmedo) las vertientes más escarpadas se utilizan para pasto y silvicultura. Muchos países han establecido un límite de inclinación de seguridad para el cultivo. Sin embargo, en los países donde el medio ambiente o la población ejercen una presión sobre las tierras agrícolas, para su cultivo se consideran seguras pendientes más abruptas. Por ejemplo, el ángulo superior de cultivo es de 19º en Israel, 25º en España, 10° en el Reino Unido y 14º en Filipinas. En África, por el contrario, donde la presión de la población es, a menudo, más baja, la superficie es más plana y la erosión potencial es muy elevada, el cultivo se limita en muchas zonas a vertientes de 7º, e incluso menos. El ángulo de la vertiente es un importante criterio para la clasificación de las tierras.

Trigonometría





Trigonometría
Cálculo de la altura de un edificio
Para hallar la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de observación a la base del edificio, D, y el ángulo θ (theta) que se muestra en el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la tangente de θ (H/D = tg θ). Para calcular H se multiplica la tangente de θ por la distancia D (H = D tg θ). El ángulo se puede medir con cierta exactitud utilizando un transportador de ángulos y una plomada (hecha con un lápiz que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del transportador y se apunta con la base de éste hacia el tejado del edificio. El ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.

Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
2
TRIGONOMETRÍA PLANA
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas.
2.1
Razones trigonométricas de ángulos agudos
La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.
En un ángulo α de un triángulo rectángulo, ABC, se llama seno de α, y se escribe sen α, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
Análogamente se definen el coseno (cos) como cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y la tangente (tg) como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Hace no muchos años existían tablas numéricas en las que se daban los valores de las razones trigonométricas de una gran cantidad de ángulos. En la actualidad, con una calculadora científica se obtienen con toda precisión los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo cumplen las siguientes propiedades:

Aunque el ángulo
α pertenezca a otro triángulo rectángulo de lados distintos al anterior, los valores obtenidos para sen α, cos α y tg α son los mismos. Es decir, las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo sobre el que se midan. Esto es debido a que dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo son semejantes y, por tanto, los cocientes, a/c, b/c, a/b coinciden en ambos.



Las razones trigonométricas sen y cos de un mismo ángulo guardan la siguiente relación fundamental:



(sen
α)2 + (cos α)2 = 1


En vez de (sen 
α)2 se acostumbra a escribir sen2 α, y lo mismo con las demás razones trigonométricas. Por eso, la igualdad anterior se suele expresar así:



sen2
α + cos2 α = 1


Las razones sen 
α, cos α y tg α se relacionan entre sí del siguiente modo:

2.2
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
Para definir las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (de 0º a 360º) se empieza situando el ángulo en la llamada circunferencia goniométrica, una circunferencia de radio 1 con su centro, O, situado sobre unos ejes coordenados:
El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de sus lados, a, sobre la parte positiva del eje de las X. El segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia goniométrica en un punto, P, cuyas coordenadas son c = cos α y s = sen α. Es decir, P(cos α, sen α). La tg αt se sitúa sobre la recta r, tangente a la circunferencia en U, y queda determinada por el punto T en que el lado b, o su prolongación, corta a r.
Según esta definición, las razones trigonométricas sen, cos y tg toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo α. En la figura siguiente se resumen los signos de las tres razones:
Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente, pues para ellos el segundo lado no corta a la recta r.
Las razones trigonométricas de ángulos no agudos cumplen las mismas relaciones que las de los ángulos agudos: sen2 α + cos2 α = 1

2.3
Otras razones trigonométricas
A partir de las razones trigonométricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec), la secante (sec) y la cotangente (cot) del siguiente modo:
Estas razones trigonométricas no están definidas cuando el denominador es cero. Por ejemplo, sec α no está definida para α = 90º ni para α = 270º, pues cos 90º = 0 y cos 270º = 0.
La cotangente es cero donde la tangente no está definida, es decir, cot 90º = 0 y cot 270º = 0.
Estas tres razones trigonométricas se sitúan en la circunferencia goniométrica como se indica en la figura:

2.4
Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos
Si dos ángulos son complementarios (suman 90º) sus razones trigonométricas están relacionadas. También lo están las de los ángulos suplementarios (los que suman 180º) y las de los opuestos (los que suman 360º). A continuación se dan las relaciones fundamentales entre ellas.


• Ángulos complementarios,
α y 90º - α:

• sen (90º - α) = cos α
• cos (90º - α) = sen α
• tg (90º - α) = cos α/sen α = 1/tg α
• Ángulos suplementarios, α y 180º - α:

• sen (180º -
α) = sen α
• cos (180º -
α) = -cos α
• tg (180º -
α) = -tg α
• Ángulos opuestos,
α y -α:

• sen (-
α) = -sen α
• cos (-
α) = cos α
• tg (-
α) = -tg α
• Ángulos que difieren en 180º,
α y α + 180º:

• sen (α + 180º) = -sen α
• cos (α + 180º) = -cos α
• tg (α + 180º) = tg α
2.5
Resolución de triángulos
Las razones trigonométricas de ángulos agudos sirven para resolver triángulos rectángulos, es decir, para averiguar uno de sus elementos desconocidos a partir de algunos otros conocidos.
Por ejemplo, si se conoce la hipotenusa, h, y un ángulo α, se puede calcular el cateto opuesto, c, a ese ángulo, mediante el seno, puesto que al ser sen α c/h se obtiene que sen α.
Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver triángulos oblicuángulos. Por ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros dos lados a y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno permite calcularlo: c2 = a2 + b2 – 2ab·cos C
O bien, si se conocen un lado, a, y los ángulos de un triángulo, se puede hallar otro lado, b, mediante el teorema del seno:
De aquí, despejando b se obtiene:

2.6
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas de la forma siguiente:

El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2
p radianes.



Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus razones trigonométricas se relacionan con las razones de los ángulos comprendidos en el intervalo [0, 2
p) del siguiente modo: si x’ = k · 2p, k número entero, entonces sen x = sen x’, cos x = cos x’, tg x = tg x’. Es decir, si dos números difieren en un número entero de veces 2p, entonces tienen las mismas razones trigonométricas.
De este modo se obtienen las funciones trigonométricas = sen x, = cos x, = tg x, llamadas también funciones circulares. Sus representaciones gráficas son:


Las otras funciones trigonométricas, = cosec x, = sec x, = cot x, por la relación que tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:


Todas las funciones trigonométricas son periódicas: sen, cos, sec y cosec tienen periodo 2p, mientras que tg y cot tienen periodo p.
2.7
Funciones inversas
La expresión “y es el seno de θ” o y = sen θ, es equivalente a la expresión “θ es el ángulo cuyo seno es igual a y”, lo que se expresa como θ = arcsen y, o también como θ = sen-1y. La función arcsen (que se lee arco seno) es la función inversa o recíproca de la función sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y, arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen θ o θ = arcsen y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de θ, puesto que sen p/6 = sen 5p/6 = sen ((p/6) + 2p) =…= y, teniendo en cuenta que los ángulos p/6 y 5p/6 son suplementarios. Por tanto, si θ = arcsen y, entonces θ = (p/6) + 2p y θ = (5p/6) + 2p, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor p/6 se toma como valor principal o fundamental del arcsen y. Para todas las funciones inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas costumbres, pero la más común es que los valores principales de las funciones inversas estén en los intervalos que se dan a continuación:

-
p/2 ≤ arcsen yp/2
0 ≤ arccos y
p
-
p/2 < arctg y < p/2
0 < arccosec y <
p
-
p/2 < arcsec y < p/2
0 < arccot y <
p
3
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos: los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo, que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.
Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente forma para triángulos esféricos:
La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
4
HISTORIA
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de y°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor = 1 en vez de = 60, lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nθ y cos nθ, en función de potencias de sen θ y cos θ.
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.
Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

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