Representación gráfica de una función lineal

Toda función lineal f(x) = ax es una relación de proporcionalidad.
¿Cómo representar una función lineal gráficamente, es decir, cómo representar una relación de proporcionalidad en una gráfica?
I. Representar gráficamente una función lineal

1. Un ejemplo
Representemos gráficamente la función lineal f(x) = 2x.
Para ello, sobre un sistema de coordenadas cartesianas Oxy, tomamos un valor cualquiera x sobre el eje de abscisas y hallamos el correspondiente valor de la ordenada y para obtener las dos coordenadas del punto correspondiente.
Así, si x = 1, tenemos f(1)= 2, de donde obtenemos el punto de coordenadas (1, 2).
Tomamos algunos valores aleatorios de x y hallamos los correspondientes valores de y.
Para ello, resulta cómodo usar una tabla como la siguiente:


Representando estos puntos, obtenemos la gráfica mostrada en la figura 1.

Vemos que los puntos A, B, C y D pertenecen a la recta que pasa por el origen.
De hecho, todos los puntos que obtengamos para esta función están situados sobre esa recta, que es la representación gráfica de la función lineal f(x) = 2x.

2. Propiedades
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es una recta que pasa por el origen.
La representación gráfica de una función lineal f(x) = ax es la recta de ecuación y = ax.
Al coeficiente a de la función lineal se le llama pendiente de la recta.
Ejemplo: la representación gráfica de la función lineal f(x) = 3x es la recta de ecuación y = 3x. Para dibujar esta recta, tomamos valores aleatorios de x, hallamos sus correspondientesvalores de y, y situamos los puntos (x,y) obtenidos.
Nota: la representación gráfica de una función lineal pasa siempre por el origen, ya que la ordenada y correspondiente a x = 0 de cualquier función lineal es 0, resultando el punto de coordenadas (0, 0), es decir, el origen.

3. Ejemplos de aplicación
Sabemos que la representación gráfica de cualquier función lineal f(x) = ax es una recta que pasa por el origen. Esto significa que, para dibujar esa recta, solo tenemos que hallar otro cualquiera de sus puntos diferente del origen.
Ejemplo 1: queremos representar gráficamente la función lineal f(x) = -3x.
Hallamos un punto dándole un valor cualquiera a la x. Por ejemplo, si x = 1 tenemos que f(1) = -3, lo que nos da el punto A(1, –3).
La gráfica es la recta que pasa por A y por el origen.

Ejemplo 2: queremos representar gráficamente la función lineal , y a continuación hallar los valores de y correspondientes a x = –4 y a x = 6, valores de y que leeremos sobre la gráfica.
Para dibujar esta recta tomemos x = 4. Obtenemos ; es decir, f(4) = 2, que nos da el punto B(4, 2). Trazamos la recta que pasa por este punto y por el origen.
Para hallar sobre la gráfica el valor de y correspondiente a x = – 4, buscamos el punto en el que la línea vertical discontinua trazada sobre el valor –4 del eje x corta a la recta, y leemos el valor de y que resulta. Obtenemosf(–4) = –2.
De igual manera procedemos para obtener el valor de y que corresponde a x = 6, obteniendo f(6) = 3.

II. Interpretar la pendiente en una gráfica
Representemos en una misma gráfica las cuatro funciones lineales siguientes:
f(x) = –4x; ; f(x) = 0,2x; f(x) = 3x.
Llamemos D1 a la recta que representa la función f(x) = –4x. Si x = 1, obtenemos f(1) = –4, lo que nos da el punto A(1, –4) sobre D1.
Llamemos D2 a la recta que representa la función . Si x = –4, obtenemos f(–4) = 2, lo que nos da el punto B(–4, 2) sobre D2.
Llamemos D3 a la recta que representa la función f(x) = 0,2x. Si x = 5, obtenemos f(5) = 1, lo que nos da el punto C(5, 1) sobre D3.
Llamemos D4 a la recta que representa la función f(x) = 3x. Si x = 2, obtenemos f(2) = 6, lo que nos da el punto D(2, 6) sobre D4.
Obtenemos esta representación:

Las pendientes de las cuatro rectas son: –4 para la recta D1,para la recta D2, 0,2 para la recta D3 y 3 para la recta D4.
Observando esta gráfica, podemos decir que:
—D1 y D2, que tienen pendiente negativa, son rectas que descienden según aumenta x, mientras que D3 y D4, que tienen pendiente positiva, ascienden según aumenta x.
—D1 está más inclinada que D2 (la pendiente de D1 (-4) es menor que la de D2 ); de forma similar, D4 está más inclinada que D3 (la pendiente de D4 (3) es mayor que la de D2 (0,2)).
Conclusión: la pendiente nos permite distinguir entre rectas “ascendentes” y “descendentes” según aumenta x, y comparar los grados de inclinación de rectas diferentes.