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Comparar fracciones

Comparar fracciones

Cuando comparamos dos números decimales, comenzamos comparando la parte entera de ambos números: si la parte entera es igual, comparamos las décimas; si las décimas son iguales, comparamos las centésimas, y así sucesivamente.
Sin embargo, esto no es así de sencillo cuando comparamos fracciones. ¿Cuál es entonces el procedimiento?

I. Comparar fracciones con denominador común
1. Regla
Para comparar fracciones que tienen un denominador común, simplemente comparamos los numeradores.
Más concretamente: dados a, b y c, que son tres números positivos, y siendo c distinto de cero, si a < b, entonces

(y, por supuesto, si a > b, entonces

).
2. Ejemplos
Queremos comparar

.
Sabemos que 3 < 5, por lo tanto

.
Queremos comparar

.
Sabemos que 2,5 > 2,3, por lo tanto

.
II. Comparar fracciones con denominadores diferentes
En esta ocasión solo vamos a estudiar aquellos ejemplos en los que uno de los denominadores es múltiplo de los demás (o aquellos casos en que puedan ser reducidos fácilmente a un mínimo común denominador).
1. Reduciendo las fracciones a un denominador común
Para comparar fracciones con diferentes denominadores comenzaremos reduciéndolas a común denominador. Esto significa que vamos a reemplazarlas por fracciones equivalentes a ellas pero que van a tener el mismo denominador. De manera que podamos aplicar la regla que vimos en el apartado I.1.
Para hallar una fracción equivalente a otra emplearemos la siguiente regla:

(donde b y k son dos números distintos de cero).
Ejemplo 1: compara

.
Observa que: 8 = 4 × 2, por lo tanto

.
Tenemos que:

(de acuerdo con la regla que vimos en el apartado I.1), así que

.
Ejemplo 2: compara 5 y

.
Observa que:

Tenemos que:

, por lo tanto

.
2. Calculando sus aproximaciones decimales
Para comparar dos fracciones podemos observar sus aproximaciones decimales usando una calculadora.
—si los valores que obtenemos son exactos, comparamos los resultados sin mayor problema;
—en caso contrario, usaremos los valores decimales redondeados hasta la exactitud que necesitemos y que nos permita alcanzar una conclusión.
Ejemplo 1: queremos comparar

.
Usando la calculadora (o dividiendo a mano) encontramos que:

.
Como 3,125 > 3,08, deducimos de esto que

.
En este ejemplo hemos usado valores exactos.
Ejemplo 2: queremos comparar

.
Usando la calculadora (o a mano) encontramos que:

(valores redondeados a las milésimas).
Como 1,676 < 1,684, deducimos que

.
En este ejemplo hemos usado valores redondeados a las milésimas. Si hubiésemos usado los valores redondeados a las centésimas, no hubiéramos podido llegar a ninguna conclusión porque:

.
Ver también los artículos Comparar números, Simplificar fracciones y Reducir fracciones a común denominador.

Comparar números

Un número positivo es mayor que cero y un número negativo es menor que cero. El cero es el único número que es, al mismo tiempo, positivo y negativo. ¿Cómo podemos comparar dos números reales?

I. Comparar dos números decimales
1. Los dos números tienen distinto signo
Todos los números positivos son mayores que los números negativos.
Ejemplo: –19,3 < 3,49.
2. Los dos números son positivos

Primer caso: si ambos números tienen su parte entera diferente, pueden ser ordenados atendiendo solo a ella.
Ejemplo: queremos comparar 3,57 y 2,94.
3 > 2, por lo tanto: 3,57 > 2,94.
Segundo caso: si los dos números tienen la misma parte entera, reescribimos la parte decimal de los números de forma que tengamos la misma cantidad de posiciones decimales (añadiendo ceros si es necesario). Ahora podemos ordenar los dos números atendiendo al valor de su parte decimal.
Ejemplo: queremos comparar 13,84 y 13,838.
Sabemos que 13,84 = 13,840. Comparamos la parte decimal de los números, es decir, 840 milésimas y 838 milésimas:
840 > 838, por lo tanto, 13,84 > 13,838.
3. Los dos números son negativos
Se ordenan los dos números en orden inverso a sus opuestos. Dicho de otra forma, se comparan sus opuestos y será mayor el más pequeño de ellos.
Ejemplo: queremos comparar –54,93 y –54,947.
Comparamos sus opuestos, los cuales son 54,93 y 54,947, y podemos decir que: 54,93 < 54,947. Por consiguiente, tenemos que: –54,93 > –54,947.
Ver también artículo Comparar y ordenar números decimales.
II. Comparar fracciones
1. Casos particulares
Primer caso: si los dos números tienen distinto signo, el número positivo será mayor que el número negativo.
Ejemplo: queremos comparar

.
Tenemos que:

Segundo caso: si los dos números tienen el mismo denominador, realizamos la comparación en función de sus numeradores, siguiendo el mismo criterio que en el epígrafe de los números decimales.
Ejemplo: queremos comparar

.
Estos dos números tienen el mismo denominador (23) y –13 < –11.
Por lo tanto, tenemos que:

.
Tercer caso: si los dos números tienen el mismo numerador, los ordenaremos en orden inverso a sus denominadores. Es decir, será mayor el que menor denominador tenga.
Ejemplo: queremos comparar

.
Estos dos números tienen el mismo numerador; si comparamos sus denominadores: 29 > 23.
Por consiguiente, tenemos que:

.
2. Caso general
Regla: para comparar dos números escritos en forma de fracción, tenemos que reducirlos a común denominador y comparar sus nuevos numeradores. A continuación, las dos fracciones podrán ser ordenadas atendiendo a la comparación de sus numeradores.
Ejemplo 1: queremos comparar:

.
Reducimos las fracciones a común denominador.
Para ello, en primer lugar, hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores por descomposición factorial:

Luego descomponemos cada denominador en su producto de factores primos:

Por tanto, usamos 144 como denominador común de ambas fracciones y cambiamos los numeradores, de manera que las nuevas fracciones sean equivalentes a las originales:

A continuación, comparamos sus numeradores: 96 > 93.
Por lo tanto, tenemos que:

.
Ejemplo 2: queremos comparar:

.
Nota: si alguna de las fracciones viene con su signo indicado en el denominador, lo pasamos al numerador:

.
Reducimos las fracciones a común denominador.
Para ello, hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

Escribimos sus fracciones equivalentes con denominador común:

.
Entonces, comparamos sus numeradores: - 18 < – 15.
Por lo tanto, tenemos que:

.
Nota: también podemos usar la calculadora; obtendremos entonces un valor aproximado de los números fraccionarios que queremos comparar y podremos realizar la comparación usando estos valores aproximados.
Por ejemplo, si queremos comparar las fracciones