Calcular una expresión numérica utilizando la calculadora

Con la ayuda de la calculadora, vamos a resolver la siguiente expresión numérica: 2 + 3 × 4. Si introducimos la siguiente secuencia: 2 +  3  ×  4  =, nos dará como resultado 20 o 14, dependiendo del tipo de calculadora. ¿Por qué obtenemos estos resultados tan diferentes?
—Si el resultado es 20, la calculadora es “normal”; es decir, su manera de llevar a cabo las operaciones es en el mismo orden en que nosotros las hemos introducido. En el ejemplo propuesto, calculará primero 2 + 3 = 5, y después multiplicará el resultado por 4; 5 × 4 = 20.
—Si el resultado es 14, la calculadora es “científica”; es decir, su forma de calcular el resultado será haciendo un uso correcto del orden de jerarquía de las operaciones. En el ejemplo, ella primero realizará la multiplicación 3 × 4 = 12, y después hará la suma: 2 + 12 = 14.

I. Calcular una expresión sin fracciones
1. Con una calculadora ordinaria
Observa de nuevo la expresión 2 + 3 × 4. Como ya sabemos, la primera operación que hay que realizar es la multiplicación (ver artículo Orden de las operaciones). Con una calculadora “normal”, la expresión debe ser introducida con las teclas en este orden:
3  ×  4  +  2  =
Si la expresión que vamos a calcular tuviera paréntesis, deberíamos empezar la secuencia de teclas introduciendo primero la operación que se encuentra entre paréntesis. Por ejemplo, para calcular la expresión: 2 × (3 + 4), deberíamos introducir la siguiente secuencia en la calculadora:
3  +  4  ×  2  =
Si hay paréntesis dentro de otros paréntesis, debemos comenzar por aquellas operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis más internos. Por ejemplo, para calcular la expresión 2 + (5 × (4 – 2)), deberíamos introducir la siguiente secuencia:
4  –  2  ×  5  +  2  =
2. Con una calculadora científica
Con una calculadora científica podemos introducir la expresión tal como aparece: escribiéndola tal como la leemos, de izquierda a derecha, gracias a que tiene teclas especiales que nos permiten escribir los paréntesis.
Ejemplo: para calcular la expresión 2 × (6 – (7 – 3 × 2)), introducimos la secuencia:
2 ( 6  –  ( 7  –  3  ×  2 ) )  =
II. Calcular expresiones con fracciones
Damos por hecho que vamos a usar una calculadora científica.
Cuando una expresión numérica contiene un cociente escrito mediante fracción debemos fijarnos en el aspecto que tienen el numerador y el denominador. Especialmente comprobaremos si contienen alguna operación que sea necesario resolver antes de empezar.
En ese caso, debemos escribir la expresión reemplazando la raya de fracción por el símbolo de división (:), y escribiremos el contenido del numerador y del denominador entre paréntesis.
Ejemplo 1: queremos calcular la expresión:

Escribiremos la expresión de esta otra forma: A = 3 + (6 + 4) : (7 – 2).
Debemos introducir la siguiente secuencia en la calculadora: 3  +  (6  +  4)  :  (7  –   2)  =
Y obtendríamos 5 como resultado.
Ejemplo 2: queremos calcular la siguiente expresión:

Para empezar, la expresión puede ser escrita así:

Por lo tanto, también de la siguiente manera: B = 7 – 9 : [(1 + 4) : (2 + 3)].
Para resolverla debemos introducir la siguiente secuencia en la calculadora: 7  –  9  :  ((1  +  4)  :  (2  +  3))  =
Y obtenemos como resultado: –2.

Dividir números racionales

En un libro de física, nos plantean calcular la resistencia total R de un conjunto de 
resistencias en paralelo, usando la fórmula , donde R1 y R2 también son resistencias. Los datos que nos dan son R1 = 3  y R2 = 2  .
Tenemos que realizar el siguiente cálculo: .
Usando las teclas (o ) de la calculadora, podemos comprobar que R = 1,2  (hemos introducido la siguiente secuencia de teclas: 5     6      ).
¿Qué es lo que hace este botón y cómo podemos hallar el resultado sin usar calculadora?
I. El inverso de un número
1. Definición
Un número es el inverso de otro si su producto es igual a 1.
Ejemplos:
–2 y –0,5 son inversos porque -2 × (–0,5) = 1.
es el inverso de porque .
El inverso de 7 es . Observa: .
Por tanto:
—Todo número distinto de cero tiene un inverso.
—Si x es un número distinto de 0, podemos escribir su inverso como (se lee “uno partido de x”) o x–1 (se lee “el inverso de x” o “x elevado a la menos 1”).
—Las calculadoras suelen tener una tecla ( o ) que nos muestra el resultado del inverso del número que tengamos en la pantalla.
2. Propiedades
—Si a y b son dos números enteros distintos de cero, el inverso de es , ya que .
—Un número distinto de cero y su inverso siempre tienen el mismo signo.
—El inverso del opuesto de un número es el opuesto del inverso del número. De forma más general: dado un número a, su opuesto sería –a, y el inverso de este sería , que a su vez se puede expresar como ; es decir, como el opuesto del inverso.
Ejemplo: (el inverso de - 3 es el opuesto del inverso de 3).
II. Calcular la división de números positivos y negativos
1. Definición
Dados x e y como números enteros, donde y es distinto de cero, dividir x entre y es lo mismo que multiplicar x por el inverso de y. Es decir:

2. Primeros ejemplos
Con números:


Con notación algebraica:
Si a y b son dos números, donde b 0, tenemos que:

Si a, b, c y d son números, donde b, c y d son distintos de cero, tenemos que:

Nota: es importante recordar qué puede ocurrir con el signo del resultado del cociente entre a y b.
—si a y b tienen el mismo signo, el resultado (el cociente) es positivo;
—si a y b tienen distinto signo, entonces el cociente es negativo.
3. “Cociente de un cociente”
En los siguientes ejemplos vamos a calcular cocientes de cocientes, o dicho de otra forma, la división de una división.
Ejemplo 1:


Ejemplo 2:


Ejemplo 3:


Nota: la localización del signo igual (=) determina el significado de A, B y C. Es decir, la posición del signo igual nos indica cuál es la fracción principal. En los dos ejemplos de abajo presentamos la raya como dos puntos (:).

Generalización: a es un número real; b, c y d son números reales distintos de cero.
Tenemos las siguientes igualdades:



4. Otra forma de resolver el cociente de un cociente
Regla: cuando tenemos una división de fracciones expresada de la siguiente forma:

a y d reciben el nombre de extremos; b y c reciben el nombre de medios. Pues bien, como hemos visto que dividir un número entre otro es lo mismo que multiplicarlo por el inverso del segundo, podemos expresarlo así:

Observa que estamos multiplicando a · d (extremos) y b · c (medios). Por lo que también podemos resolver de forma más rápida estas divisiones: multiplicando directamente los extremos (cuyo resultado sería el nuevo numerador) y los medios (el denominador). Vamos a verlo con dos ejemplos:
Ejemplo 1: calcula la siguiente división:

Multiplicamos directamente los extremos y los medios:

Y obtenemos: .
Ejemplo 2: supongamos que uno de los números es entero. Calcula la siguiente división:

Si expresamos el número entero 2 como fracción: ; tendremos:

Y resolvemos haciendo el producto de medios y extremos, obteniendo .
Ver también artículo Multiplicar números racionales.