Infinito

Infinito, término matemático derivado de la teoría de conjuntos tal y como fue propuesto por el matemático alemán Georg Cantor. Los conjuntos se pueden dividir en dos clases dependiendo de si los elementos del conjunto forman una aplicación biunívoca (correspondencia de uno a uno) con los elementos de alguno de sus subconjuntos propios. Un conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B si todos y cada uno de los elementos de A pertenece a B pero B tiene al menos un elemento que no pertenece a A. Los elementos del conjunto [1, 2, 3] no pueden formar una correspondencia biunívoca con los elementos de cualquiera de sus subconjuntos propios; este tipo de conjuntos se denomina conjunto finito. Los elementos del conjunto [2, 4, 6, ..., 2n, ...] pueden formar una aplicación biunívoca con los elementos del subconjunto propio [6, 8, 10, ..., 2n + 4, ...] haciendo corresponder, para un entero positivo n, el elemento 2n del primer conjunto con el elemento 2n + 4 del segundo. Un conjunto que cumple esta propiedad se denomina conjunto infinito. De esta manera, el conjunto N de los enteros positivos, el conjunto R de los números racionales y el conjunto Z de los números reales son conjuntos infinitos.

Los elementos de los conjuntos N y R pueden formar una aplicación biunívoca entre sí por lo que N y R tienen iguales infinitudes; pero ni N ni R pueden formar una correspondencia de uno a uno con un subconjunto de Z. Por tanto, la infinitud de Z es mayor que la infinitud de N. Se puede demostrar que si S es un conjunto cualquiera finito o infinito, el conjunto T de los subconjuntos de S es un conjunto mayor; esto es, los elementos de S forman una correspondencia biunívoca con cualquier subconjunto propio de T, pero no con T mismo.

El término infinito se utiliza en otros ámbitos similares. Por ejemplo, en la serie infinita 1, 4, 9, ..., en la que el término n-ésimo, a_n, es igual a n², donde n = 1, 2, 3, ..., se dice que a_n tiende a infinito cuando n tiende a infinito, lo que significa que aⁿ es mayor que un cierto número arbitrario si n es mayor que determinado valor. En la serie infinita 1, , , ..., en la que el término n-ésimo b_n es 1/n, donde n = 1, 2, 3, ..., se dice que b_n tiende hacia cero cuando n tiende a infinito, lo que significa que la diferencia entre b_n y cero es menor que cierto número positivo arbitrario para n mayor que determinado valor. También se dice que f(x) = 1/(1 - x)² se acerca a, o tiende hacia, infinito cuando la x tiende hacia 1, y que la función tiende hacia cero si x tiende hacia infinito.